南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案解析），共26页。试卷主要包含了本试卷共6页，若，则______等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。
2．请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上及本试卷上。
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是（）
A． B． C． D．1
2．方程的根可以是（）
A．B．C．D．
3．如图，，直线，相交于点且分别与，相交于点，，，．若，，，则的长为（）
A．B．C．D．
4．若二次函数与的图像重合，则，的值为（）
A．，B．，
C．，D．，
5．如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．如图，在中，，，，过上一点画直线截，使截得的一个三角形与相似．若恰有3种不同的画法，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）
7．若，则______．
8．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．
9．数据，0，1，2，3，7的方差为______．
10．将抛物线先向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线的表达式是______．
11．已知，是的两个根，则______．
12．已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为______．
13．已知，若三边分别长为6，8，10，的面积为96，则的周长为______．
14．如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）．已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______°．
15．如图，内接于，外角平分线交于点，射线交延长线于点．若，，则的度数为______°．
16．将二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为______．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列一元二次方程．
（1）；（2）．
18．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC=CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证；
（2）若的度数为，求的度数．
19．如图，在和中，，．
（1）求证；
（2）已知，，求的长．
20．二次函数的部分图像如图所示．
（1）根据图像，回答以下问题：
①与的数量关系为：______；
②关于方程的解是______．
（2）若该函数图像经过点，求它的顶点坐标。
21．甲、乙两人用“分歧终端机”玩“石头、剪刀、布”：两人先把手伸进不透明的圆筒中出手势，然后同时打开圆筒判断胜、负、平，从而使游戏公平进行．
（1）两人玩一次“石头、剪刀、布”，求甲获胜的概率．
（2）两人玩两次“石头、剪刀、布”，则甲胜、负各一次的概率为______．
22．某机构调查了“消费者换眼镜时长与更换因素”并统计如下．
（1）以下说法正确的是______．（填写正确说法的序号）
①镜片因素是导致消费者更换眼镜的最主要原因；
②消费者的眼镜使用寿命集中在1．5年~2年；
③镜架因素中，镜腿变形所占比重最大．
（2）请再写出一个正确结论或合理猜想，并使用上图提供的信息加以佐证．
23．甲同学在操场上向正前方伸直手臂，保持大拇指竖直，视线从大拇指边缘穿过观察植树的乙同学，发现视野中乙同学的身高大概是大拇指高度的五分之一（如左图所示），测得甲同学臂长为，大拇指长为，乙同学的身高为．
（1）在右图中，表示视点，表示臂长，表示乙同学的身高，则表示______，的实际长度为______．
（2）估算甲，乙同学之间的距离．
24．已知二次函数的图象经过点和点．
（1）若点坐标为，
①求这个二次函数的表达式；
②当时，直接写出的取值范围．
（2）若点坐标为，且该函数的图象开口向上，直接写出的取值范围．
25．如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作．
（1）尺规作图：求作，使得与直线相切；（保留作图痕迹）
（2）求（1）中的半径．
26．一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），已知该产品每千克生产成本为元，售价（元）与产量之间的函数关系为．
（1）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
（2）若企业每销售该产品需支出其他费用元，当时该企业获得的最大利润为元，求的值．
27．解题探索．
几位同学讨论后，梳理出以下几条解题的线索．
（1）根据题意，可知______，______（用表示）．
（2）从线索①入手可以如下解决问题，请填充思路框图．
（3）参考其他线索，用不同的方法解决问题．
写出主要步骤（如①②③…）或画出思路框图，无需写出详细过程．在中，，，，，点在延长线上，将射线绕点顺时针旋转角后得到射线，过点A作垂线，与射线交于点，点关于点的对称点为，连接．
当时，用表示的长．
解：过作，设，
……
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．A
【解析】列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，所以概率为 ，故选A．
【点睛】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解决本题的关键是得到至少有一次硬币正面朝上的情况数．
2．A
【解析】利用因式分解法求出方程的解即可．
【详解】解∶方程可化为，故或，所以．故选∶A．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
3．C
【解析】根据平行线分线段成比例定理即可解答．
【详解】∵，直线，相交于点且分别与，相交于点，，，，
∴，即，
∴．故选C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例．掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解题关键．
4．D
【解析】将二次函数化为一般式，根据图像重合，得到，，即可得到答案．
【详解】解：，且与的图像重合，
，，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图像和性质，将二次函数化为一般式是解题关键．
5．C
【解析】
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，直径，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长．
6．D
【解析】
【分析】如图，过点P有4种不同的画法与相似，当时有，由题意可知，当D、C重合后，恰有3种不同的画法，求出范围即可．
【详解】解：如图，过点P有4种不同的画法与相似，
当时，
，
由题意可知，当D、C重合后，恰有3种不同的画法，
有，
即：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到与已知三角形相似三角形个数的临界点．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置）
7．
【解析】根据比例的性质得到，代入求值即可得到答案．
【详解】解：，，，，故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练比例的性质进行代换是解题关键．
8．
【解析】
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可．
【详解】解：如图，点为位似中心，．
故答案为：．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
9．##
【解析】
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：这组数据的平均数，
这组数据的方差
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差的计算，解题关键是熟练掌握方差公式．
10．
【解析】根据“上加下减，左加右减”的原则即可求出平移后的二次函数的解析式．
【详解】解：由题意可知，平移后抛物线表达式为：
，即，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律．
11．2
【解析】
【分析】根据题意，利用根与系数的关系求出的值，把代入得到关系式，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：是的两个根，
，即，
则原式．
故答案为∶2．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
12．
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念先计算出，然后再计算，最后根据即可求出答案．
【详解】如图，，是的两个黄金分割点，设，
根据题意得，
．
故答案为:．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，熟练掌握黄金比是解题的关键．
13．48
【解析】
【分析】首先根据勾股定理的逆定理，可证得是直角三角形，即可求得的面积，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：的三边分别长为6，8，10，，
是直角三角形，
的面积为：，
设的周长为x，
，
，
解得，故答案为：48．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．
14．108
【解析】根据圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面周长计算．
【详解】解∶圆锥的底面半径为，底面周长为，
设原扇形纸板的圆心角度数为度，
解得．
故答案为∶108
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
15．40
【解析】
【分析】根据已知可得，由圆周角定理可得，进而求出，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．
【详解】∵，
∴，
∴
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．
【解析】
【分析】设设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，则再进行变形得出再代入可得进而可得出该二次函数图像的顶点的纵坐标
【详解】二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，
翻折前两交点间的距离不变，
设翻折后图像与x轴的两个交点的横坐标分别为，
则
又的纵坐标为，
即该二次函数图像顶点纵坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，根据翻折的特征求得翻折后的图像与x轴交点之间的距离是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1），（2），
【解析】（1）移项后，利用配方法求解即可；（2）移项后，利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：移项，得：.
配方，得：，
或，
，；
【小问2详解】
解：移项，得：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
18．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）连接，首先证明，即可求解；
（2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解．
【小问1详解】
如图：连接
是的直径
，即
又
．
【小问2详解】
的度数为
又，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
19．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）利用相似三角形的判定定理证得与相似；
（2）利用（1）中的相似三角形的对应边成比例得到：，由此可以求得的长度．
小问1详解】
证明：∵，
∴
∴．
又，
∴.
【小问2详解】
解：∵，
∴．
又，，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（1）①；②；（2）
【解析】
【分析】（1）①根据函数图像可知，抛物线的对称轴为，由此可得与的数量关系；
②根据抛物线的对称轴为，图像与x轴的一个交点为，可知另一个交点为，由此可解答．
（2）根据与的数量关系，再将两点代入求得函数解析式，再根据函数的性质解答即可．
【小问1详解】
①解：对称轴为，
，
．
故答案为：．
②解：对称轴为，图像与x轴的一个交点为，
轴与图像的另一个交点为，
可得方程的解为，．
故答案为：，．
【小问2详解】
解：设所求函数表达式为，
根据题意，将，代入函数解析式，
得：，
解得，
∴所求表达式为.，
∴顶点坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
21．（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出表格可得共有9种结果，它们出现的可能性相同，其中甲获胜只包含其中3种结果，再由概率公式计算，即可求解；
（2）分别求出甲第一局获胜，第二局负的概率；甲第一局负，第二局获胜的概率，即可求解．
【小问1详解】
解：根据题意，列出表格如下：
共有9种结果，它们出现的可能性相同，其中甲获胜只包含其中3种结果，
所以甲获胜的概率．
【小问2详解】
解：由（1）得：甲第一局获胜的概率为，第二局负的概率，
∴甲第一局获胜，第二局负的概率，
甲第一局负的概率为，第二局获胜的概率，
∴甲第一局负，第二局获胜的概率，
∴甲胜、负各一次的概率为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确列出表格或画出树状图是解题的关键．
22．（1）①③（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据图示统计可知①③正确，消费者的眼镜使用寿命集中在6个月~1年和1年~年；
（2）根据图示信息进行判断即可．
【小问1详解】①③．
【小问2详解】
本题答案不唯一，如：
①消费者的眼镜使用寿命集中在6个月~年，因为这个阶段的条形图明显更长；
②表中数据总和比样本量N大得多，可见很多消费者更换眼镜是多种因素造成的．
③因为最后一行中，26是最大数据，可见更换频次在3年以上的消费者更换眼镜的主要原因是眼镜损坏．
【点睛】此题考查了统计图，解题的关键是读懂图片提供的信息并根据信息进行判断．
23．（1）甲、乙两人之间的距离，（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合图形进行解答即可；
（2）由，得出，根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知：表示甲、乙同学之间的距离；
的实际长度，
故答案为：甲、乙两人之间的距离，；
【小问2详解】
解：根据题意，得，
，
，分别是，对应边上的高，
.，
，
，
答：甲、乙同学之间的距离约为．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是理解题意把实际问题转化为相似三角形的问题．
24．（1）①；②（2）
【解析】
【分析】（1）①利用待定系数法解答，即可求解；②把二次函数的解析式化为顶点式可得当时，y取得最大值，最大值为，再由二次函数的性质可得当时，y取得最小值，即可求解；
（2）把点和代入，可得，再由，即可求解．
【小问1详解】
解：①根据题意，当时，；当时，．
∴，解得，
∴所求表达式为；
②∵，
∵，
∴当时，y取得最大值，最大值，
∵，
∴若，当时，y取得最小值，最小值为，
∴当时，的取值范围为；
【小问2详解】
解：把点和代入得：
，解得：，
∵该函数的图象开口向上，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择怡当的方法设出关系式，从而代入数值求解也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
25．（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）作的平分线交于点D，再过D点作垂线交于P点，然后以P点为圆心，为半径作圆即可；
（2）设切点为，连接，根据切线的性质推出，接着证明，再结合题目条件和两个相似三角形的性质即可求解．
小问1详解】
如图，即为所求作的圆
【小问2详解】
设切点为，连接
与直线相切于
又
又
即的半径为．
【点睛】本题考查了作图，解决此类问题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解为基本作图，逐步操作，也考查了切线的判定与性质和相似三角形．
26．（1）当产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为元（2）
【解析】
【分析】（1）设当该产品产量为时，获得的利润为元，根据利润等于售价减去进价乘以销售量，列出函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解；
（2）设当产品产量为千克时，获得的利润为元，得出，该函数图像的对称轴为直线，由，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：设当该产品产量为时，获得的利润为元．
根据题意，得．
∵，
∴当时，有最大值，最大值为元．
答：当产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为元．
【小问2详解】
解：设当产品产量为千克时，获得的利润为元．
根据题意，得，
即，
其中．
该函数图像的对称轴为直线．
①若，则当时，有最大值，
即．（不合题意，舍去）
②若，则当时，有最大值，
将代入，得．
当时，．
解得，（不合题意，舍去）．
综上所述，的值为．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
27．
（1）；；
（2）①；②；③；
（3）见解析（答案不唯一）．
【解析】
【分析】（1）根据垂直和旋转的性质，即可证明；利用勾股定理即可求出的长；
（2）过作交于点F，作交延长线于点G，则四边形是矩形，根据对称的性质，设，则，再根据等腰三角形的判定和性质，得到，进而得到，即可得到①答案；根据垂直得到，再利用三角形内角和定理和平角性质，得到，，推出，即可证明，得到②答案；根据相似三角形的性质，得到，，推出，即可用t表示出的长，得到③答案；
（3）作辅助线如图，设，根据，易证点，A，，在同一个圆上，可得，再根据三角形内角和定理和互余，得到，进而得到；证明，得到，求出，；根据等腰三角形的判定和性质得到，从而得到，推出，解得，即为的长度．
【小问1详解】
解：，
，
射线绕点顺时针旋转角后得到射线，
，
，
，
，
，，，
由勾股定理得：，
故答案为：；；
【小问2详解】
解：过作交于点F，作交延长线于点G，则四边形是矩形，
点关于点的对称点为，
设，则，
，，
，
，
四边形是矩形，
，即①；
，，
，
，，
，
，即②；
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，
，即③；
【小问3详解】
解：过作，连接AF，设，
，
，A，，四点共圆，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，四点共圆的判定，圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键。
石头
剪刀
布
石头
（石头，石头）
（石头，剪刀）
（石头，布）
剪刀
（剪刀，石头）
（剪刀，剪刀）
（剪刀，布）
布
（布，石头）
（布，剪刀）
（布，布）