江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

九年级（上）期末试卷

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效.

2.请将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上及本试卷上.

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效.

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是（    ）

A.1 B. C. D.

2.方程的根可以是（    ）

A. B. C. D.

3.如图，，直线，相交于点且分别与，相交于点，，，.若，，，则的长为（    ）

A. B. C. D.

4.若二次函数与的图像重合，则，的值为（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

5.如图，为的直径，，分别与相切于点，，过点作的垂线，垂足为，交于点.若，则长为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

6.如图，在中，，，，过上一点画直线截，使截得的一个三角形与相似.若恰有3种不同的画法，则的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）

7.若，则______.

8.如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______.

9.数据，0，1，2，3，7的方差为______.

10.将抛物线先向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，所得抛物线的表达式是______.

11.已知，是的两个根，则______.

12.已知线段，若，是的两个黄金分割点，则长为______.

13.已知，若的三边分别长为6，8，10，的面积为96，则的周长为______.

14.如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分（用于黏贴）.已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，长为，则原扇形纸板的圆心角度数为______°.

15.如图，内接于，外角的平分线交于点，射线交延长线于点.若，，则的度数为______°.

16.将二次函数（，为常数）的图像沿与轴平行的直线翻折，若翻折后的图像将轴截出长为的线段，则该二次函数图像的顶点的纵坐标为______.

三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（8分）解下列一元二次方程.

（1）；  （2）.

18.（8分）如图，为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接.

（1）求证；

（2）若的度数为108°，求的度数.

19.（8分）如图，在和中，，.

（1）求证；

（2）已知，，求的长.

20.（8分）二次函数的部分图像如图所示.

（1）根据图像，回答以下问题：

①与的数量关系为：______；

②关于的方程的解是______.

（2）若该函数图像经过点，求它的顶点坐标.

21.（8分）甲、乙两人用“分歧终端机”玩“石头、剪刀、布”：两人先把手伸进不透明的圆筒中出手势，然后同时打开圆筒判断胜、负、平，从而使游戏公平进行.

（1）两人玩一次“石头、剪刀、布”，求甲获胜的概率.

（2）两人玩两次“石头、剪刀、布”，则甲胜、负各一次的概率为______.

22.（7分）某机构调查了“消费者换眼镜时长与更换因素”并统计如下.

（1）以下说法正确的是______.（填写正确说法的序号）

①镜片因素是导致消费者更换眼镜的最主要原因；

②消费者的眼镜使用寿命集中在1.5年~2年；

③镜架因素中，镜腿变形所占的比重最大.

（2）请再写出一个正确结论或合理猜想，并使用上图提供的信息加以佐证.

23.（8分）甲同学在操场上向正前方伸直手臂，保持大拇指竖直，视线从大拇指边缘穿过观察植树的乙同学，发现视野中乙同学的身高大概是大拇指高度的五分之一（如左图所示），测得甲同学臂长为60cm，大拇指长为6cm，乙同学的身高为180cm.

（1）在右图中，表示视点，表示臂长，表示乙同学的身高，则表示______，的实际长度为______.

（2）估算甲，乙同学之间的距离.

24.（8分）已知二次函数的图像经过点和点.

（1）若点坐标为，

①求这个二次函数的表达式；

②当时，直接写出的取值范围.

（2）若点坐标为且该函数的图像开口向上，直接写出的取值范围.

25.（8分）如图，在中，，，，是边上的一点，以为圆心，为半径作.

（1）尺规作图：求作，使得与直线相切；（保留作图痕迹）

（2）求（1）中的半径.

26.（9分）一企业生产并销售某种产品（假设销量与产量相等），已知该产品每千克生产成本为40元，售价（元）与产量之间的函数关系为.

（1）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

（2）若企业每销售该产品1kg需支出其他费用元，当时该企业获得的最大利润为2450元，求的值.

27.（8分）解题探索.

几位同学讨论后，梳理出以下几条解题的线索.

（1）根据题意，可知______，______（用表示）.

（2）从线索①入手可以如下解决问题，请填充思路框图.

（3）参考其他线索，用不同的方法解决问题.

写出主要步骤（如①②③…）或画出思路框图，无需写出详细过程.

九年级（上）期末试卷

数学参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分.

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7.       8.       9.       10.       11.2

12.       13.48       14.108       15.40       16.8

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17.（本题8分）

（1）解：移项，得：.∴配方，得：..……2分

∴或.∴，. ……4分

（2）解：移项，得：.∴. ……6分

∴或.∴，. ……8分

18.（本题8分）

（1）证明：连接. ……1分

∵是的直径，∴，即. ……2分

又，∴. ……3分∴. ……4分

（2）解：∵的度数为108°，∴. ……5分

又，，∴. ……7分

∴. ……8分

19.（本题8分）

（1）证明：∵，∴.∴. ……2分

又，∴. ……4分

（2）解：∵，∴. ……6分

又，，∴. ……8分

20.（本题8分）

（1）①；……2分②，. ……4分

（2）解：设所求函数表达式为.

根据题意，当时，；当时，.

∴解得∴所求表达式为. ……7分

∴顶点坐标为. ……8分

21.（本题8分）

（1）解：用表格列出所有可能的结果如下：

共有9种结果，它们出现的可能性相同，其中甲获胜只包含其中3种结果，

所以（甲获胜）. ……6分

（2）. ……8分

22.（本题7分）

（1）①③. ……3分

（2）本题答案不唯一，如：

①消费者的眼镜使用寿命集中在6个月~1.5年，因为这个阶段的条形图明显更长；

②表中数据总和比样本量N大得多，可见很多消费者更换眼镜是多种因素造成的.

③因为最后一行中，26是最大数据，可见更换频次在3年以上的消费者更换眼镜的主要原因是眼镜损坏. 7分

23.（本题8分）

（1）甲、乙两人之间的距离；……1分

1.2cm. ……3分

（2）解：根据题意，得，∴. ……5分

∵，分别是，对应边上的高，∴. ……6分

∴.∴.

答：甲、乙同学之间的距离约为90m. ……8分

24.（本题8分）

（1）①解：根据题意，当时，；当时，.

∴解得∴所求表达式为. ……3分

②. ……6分

（2）. ……8分

25.（本题8分）

（1）如图，即为所求作的圆. ……4分

（2）解：设切点为，连接.

∵与直线相切于，∴.∴. ……5分

∵，∴.又，∴.∴. ……6分

又，，∴，即的半径为. ……8分

26.（本题9分）

（1）解：设当该产品产量为时，获得的利润为元.

根据题意，得……1分……2分. ……3分

∵，∴当时，有最大值，最大值为3200元.

答：当产品产量为80kg时，获得的利润最大，最大利润为3200元. ……4分

（2）解：设当产品产量为千克时，获得的利润为元.

根据题意，得，即，其中.

该函数图像的对称轴为直线. ……6分

①若，则当时，有最大值，即.（不合题意，舍去）……7分

②若，则当时，有最大值，将代入，得.

当时，.解得，（不合题意，舍去）.

综上所述，的值为10. ……9分

27.（本题8分）

（1）；……1分. ……2分

（2）①；……3分②；……4分③. ……5分

（3）本题答案不唯一，如：

①由，易证点，，，在同一个圆上，连接，可得，进而；

②易证，于是，得，所以；

③易证，，所以；

④由②③得，解得，即为的长度. ……8分