专题10.2 解二元一次方程组的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项高分突破（苏科版）

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【典例1】已知关于x，y的方程组{x+2y=5x−2y+mx+9=0
（1）请写出方程x+2y=5的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x−2y+mx+9=0总有一个公共解，你能把求出这个公共解吗？
（4）如果方程组有整数解，求整数m的值．
【思路点拨】
（1）由题意求方程的解且要使x，y都是正整数，将方程移项，再把x和y互相表示出来，在由题意要求x＞0，y＞0，根据以上两个条件可夹出合适的x值,从而代入方程得到相应的y值；
（2）由方程组{x+2y=5x+y=0求得x，y的值，代入方程x−2y+mx+9=0即可求得m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程总有一个固定的解，列出方程组，求出方程组的解即可．
（4）先把m当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，进行判断，再找出符合条件的正整数m的值即可．
【解题过程】
解：（1）由已知方程x+2y=5，移项得x=5-2y，
∵x，y都是正整数，则有x=5-2y＞0，又∵x＞0，
∴0＜y＜2.5，
又∵y为正整数，根据以上条件可知，合适的y值只能是y=1、2，
代入方程得相应x=3、1，
∴方程2x+y=5的正整数解为x=1y=2；x=3y=1
（2）∵x+y=0
∴x+2y=5变为y=5
∴x=-5
将{x=−5y=5代入x−2y+mx+9=0得m=−65.
（3）∵由题意得二元一次方程x−2y+mx+9=0总有一个公共解
∴方程变为(m+1)x-2y+9=0
∵这个解和m无关，
∴x=0，y=92
（4）将方程组{x+2y=5x−2y+mx+9=0两个方程相加得2x+mx+9=5
∴x=−4m+2
∵方程组有整数解且m为整数
∴m+2=±1，m+2=±2，m+2=±4
①m+2=1，计算得：{x=−4y=92（不符合题意）
②m+2=-1，计算得：{x=4y=12（不符合题意）
③m+2=2，计算得：{x=−2y=72（不符合题意）
④m+2=-2，计算得：{x=2y=32（不符合题意）
⑤m+2=4，计算得：x=−1y=3（符合题意）∴m=2
⑥ m+2=-4，计算得：x=1y=2（符合题意）∴m=-6
综上所述整数m的值为2或-6．
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组2x+ay=1bx−y=2时，甲同学看错a得到方程的解为x=3y=4，乙同学看错b得到方程组的x=2y=−3，求x+y的值．
【思路点拨】
把x=3y=4 代入bx﹣y＝2可求出b的值，把x=2y=−3 代入2x+ay＝1可求出a的值，把a、b的值代入原方程组即可求出x、y的值，进而求出x+y的值．
【解题过程】
解：把x=3y=4代入bx−y=2得：3b−4=2，解得：b=2，
把x=2y=−3代入2x+ay=1得：4−3a=1，解得：a=1，
∴原方程组为2x+y=12x−y=2，
解得：x=34y=−12，
∴x+y=34−12=14．
2．（2023·全国·九年级专题练习）甲、乙两人同解方程组ax+by=2,①cx−3y=4．②，甲因看错c的值解得方程组解为x=1y=1，乙求得正确的解为x=2y=−2，求a，b，c的值．
【思路点拨】
根据x=1y=1是方程①的解，代入可得关于a、b的方程，根据x=2y=−2是方程组的解，把解代入ax+by=2,①cx−3y=4．②，可得方程组a+b=2 ①2a−2b=2 ②2c+6=4 ③，解方程组，可得答案．
【解题过程】
解：把x=1y=1代入方程①，把x=2y=−2代入方程组，得
a+b=2 ①2a−2b=2 ②2c+6=4 ③，
①×2得2a+2b=4 ④
④+②得4a=6，
a=1.5.把a=1.5代入①1得1.5+b=2，
b=0.5，
解③得c=−1，
故答案为：a=1.5b=0.5c=−1．
3．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）甲，乙两同学在解方程组ax−by=13cx−y=4时，甲因看错了b的符号，解得x=3y=2．乙因忽略了c，解得x=5y=1，试求a−b−c2022的值．
【思路点拨】
把x=3y=2代入ax+by＝13得出3a+2b＝13③，把x=3y=2代入②得出3c﹣2＝4，求出c，把x=5y=1代入①得出5a﹣b＝13④，由③和④组成方程组3a+2b=135a−b=13，再求出方程组的解即可．
【解题过程】
解：ax−by=13①cx−y=4②，
∵甲因看错了b的符号，解得x=3y=2，
∴把x=3y=2代入ax+by＝13，得3a+2b＝13③，
把x=3y=2代入②，得3c﹣2＝4，
解得：c＝2，
∵乙因忽略了c，解得x=5y=1，
∴把x=5y=1代入①，得5a﹣b＝13④，
由③和④组成方程组3a+2b=135a−b=13，
解得：a=3b=2，
∴（a﹣b﹣c）2022＝（3﹣2﹣2）2022＝（﹣1）2022＝1．
4．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组ax+5y=154x−by=−2时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=−3y=−1；乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4.
（1）求出原方程组的正确解．
（2）甲把a看成数是多少？乙把b看成的数是多少？
【思路点拨】
（1）根据题意，把x=−3y=−1代入4x−by=−2，求出b的值，把x=5y=4代入ax+5y=15，求出a的值，进而，求出原方程组的解；
（2）根据题意，把x=−3y=−1代入ax+5y=15，求出a的值，把x=5y=4代入4x−by=−2，求出b的值，即可．
【解题过程】
解：（1）∵在解方程组ax+5y=154x−by=−2时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=−3y=−1，
∴把x=−3y=−1代入4x−by=−2，得：4×(−3)−b×(−1)=−2，
解得：b=10，
∵乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4，
∴把x=5y=4代入ax+5y=15，得：5a+5×4=15，
解得：a=−1，
∴原方程组是：−x+5y=15①4x−10y=−2②
①×2+②，得：2x=28，
解得：x=14，
把x=14代入①，得：−14+5y=15，
解得：y=295，
∴原方程组的正确解是：x=14y=295 ；
（2）∵在解方程组ax+5y=154x−by=−2时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为x=−3y=−1，
∴把x=−3y=−1代入ax+5y=15，得：−3a+5×(−1)=15，
解得：a=−203，
∵乙看错了方程组中的b，而得解为x=5y=4，
∴把x=5y=4代入4x−by=−2，得：4×5−4b=−2，
解得：b=112，
答：甲把a看成的数是−203，乙把b看成的数是112．
5．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组2ax+y=52x−by=13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为x=72y=−2，乙看错了方程组中的b，得解为x=3y=−7．
（1）甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？
（2）求出原方程组的正解．
【思路点拨】
（1）已知甲看错了方程组中的a，得解为x=72y=−2，所以把x=72y=−2代入2ax+y=5，得到a=1；乙看错了方程组中的b，得解为x=3y=−7，所以把x=3y=−7代入2x−by=13，得到b=1，即可解答；
（2）将x=72y=−2代入2x−by=13，得到b=−3，将x=3y=−7代入2ax+y=5，得到a=2，将a与b的值代入方程组，求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵解方程组2ax+y=52x−by=13时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为x=72y=−2，
∴把x=72y=−2代入2ax+y=5，得：
2×72a−2=5，
解得：a=1，
解方程组2ax+y=52x−by=13时，由于粗心，乙看错了方程组中的b，得解为x=3y=−7，
∴把x=3y=−7代入2x−by=13，得：
2×3+7b=13，
解得：b=1，
∴甲把a错看成了1，乙把b错看成了1
（2）由题意得：
将x=72y=−2代入2x−by=13，得：
2×72+2b=13，
解得：b=3，
将x=3y=−7代入2ax+y=5，得：
2×3a−7=5
解得：a=2，
∴原方程组为：2×2x+y=52x−3y=13，
即4x+y=5①2x−3y=13②，
①×3+②得：14x=28，
解得：x=2，
将x=2代入①得：4×2+y=5，
解得：y=−3，
∴原方程组的解为：x=2y=−3
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）若方程组m+5n=1+2a6m+2n=3−a的解满足m+n=3，求a的值．
【思路点拨】
程组两方程相加表示出m+n，代入已知等式计算即可求出a的值．
【解题过程】
解：m+5n=1+2a①6m+2n=3−a②，
①+②得：7(m+n)=a+4，
∴m+n=a+47，
∵m+n=3，
∴a+47=3，
解得：a=17，
∴a的值为17．
7．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x、y的二元一次方程组2x+y=kx−2y=−12k的解满足4x+y=15，求k的值．
【思路点拨】
先利用加减消元法解含参数的二元一次方程组，再将求出的x，y代入2x+y＝3可得关于k的方程，解方程即可求解．
【解题过程】
解：2x+y=k①x−2y=−12k②
①×2+②，得5x＝−10k，解得：x＝−2k ，
把x＝−2k代入①，得2×(−2k)+y=k，
解得：y=5k．
把x＝−2k，y=5k代入方程4x+y＝15，
得4×(−2k)+5k=15，
解得：k=−5．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组5x+3y=2m−1x−y=−m+2的解中x与y的和为3，求m的值及此方程组的解．
【思路点拨】
根据题意先用含m的代数式表示出x和y，再根据x与y的和为3求出m的值，代入x=−m+58y=7m−118，即可求解．
【解题过程】
解：5x+3y=2m−1x−y=−m+2，
解得：x=−m+58y=7m−118，
∴x+y=3m−34，
又∵x与y的和为3，
∴3m−34=3，
解得：m=5，
把m=5代入x=−m+58y=7m−118，
解得：x=0y=3，
∴方程组的解为：x=0y=3，
∴m的值为5，方程组的解为：x=0y=3．
9．（2021春·吉林松原·七年级统考期中）已知关于x、y的方程组3x+2y=7,4x+3y=m+3的解适合方程5x−2y=17，求m的值．
【思路点拨】
把一元一次方程3x+2y=7和一元一次方程5x−2y=17联立成方程组，解出x、y，然后代入4x+3y=m+3，求解即可．
【解题过程】
解：∵关于x，y的方程组3x+2y=74x+3y=m+3的解与5x−2y=17相同
∴联立3x+2y=7和5x−2y=17得3x+2y=7①5x−2y=17②
把① +②得：8x=24，解得x=3
把x=3代入① 中，解得y=−1
∴方程组的解为：x=3y=−1
把x=3y=−1代入4x+3y=m+3中得：4×3+3×−1=m+3，
解得m=6。
10．（2022春·广东惠州·七年级惠州一中校考期中）已知关于x，y的方程组x+y=54ax+5by=−22与2x−y=1ax−by−8=0有相同的解．
（1）求a，b的值；
（2）求2a−3b的立方根．
【思路点拨】
（1）依据题意将方程重新联立求得x，y值，进而联立求得a，b的值；
（2）利用立方根的意义解答即可．
【解题过程】
解：（1）∵关于x，y的方程组x+y=54ax+5by=−22与2x−y=1ax−by−8=0有相同的解，
∴x+y=5①2x−y=1②，
解方程组得：x=2y=3．
∴x=2y=3是方程组4ax+5by=−22ax−by−8=0的解，
∴8a+15b=−222a−3b=8，
解方程组得：a=1b=−2．
∴a=1,b=−2；
（2）∵a=1,b=−2，
∴2a−3b=2×1−3×(−2)
=2+6
=8，
∵8的立方根为2，
∴2a−3b的立方根为2．
11．（2023春·七年级单元测试）已知关于x，y的方程组mx+2ny=4x+y=1与x−y=3nx+m−1y=3有相同的解，
（1）求这个相同的解；
（2）求m、n的值；
（3）小明同学说，无论a取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程(3+a)x+(2a+1)y=5的解，这句话对吗？请你说明理由．
【思路点拨】
（1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；
（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可；
（3）将（1）所求的解代入(3+a)x+(2a+1)y=5，再化简，即得出5=5，即说明这句话对．
【解题过程】
解：（1）由题意可得：x+y=1x−y=3，
解得x=2y=−1；
（2）将x=2y=−1代入含有m，n的方程得：2m−2n=42n−m−1=3，
解得：m=6n=4；
（3）将x=2y=−1代入3+ax+2a+1y=5，得：
3+a×2+2a+1×−1=5，
化简得：6+2a−2a−1=5，即5=5．
所以无论a取何值，x=2y=−1都是方程3+ax+2a+1y=3的解．
12．（2022春·四川乐山·七年级统考期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2．所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y=8的正整数解___________．
（2）若6x−3为自然数，则求出满足条件的正整数x的值．
（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值．
【思路点拨】
（1）根据二元一次方程的解的定义求出即可；
（2）根据题意得出x−3=6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【解题过程】
解：（1）由方程3x+2y=8得，y=8−3x2=4−3x2（x、y为正整数）．
要使y=4−3x2为正整数，则3x2为正整数，
可知：x为2的倍数，从而x=2，代入y=4−3x2=1．
所以3x+2y=8的正整数解为x=2y=1，
故答案为：x=2y=1；
（2）若6x−3为自然数，则(x−3)的值为6，3，2，1，
则满足条件的正整数x的值有9，5，6，4；
（3）x+2y=9①2x+ky=10②，
①×2−②：4−ky=8，
解得：y=84−k，
∵x，y是正整数，k是整数，
∴4−k=1，2，4，8．k=3，2，0，−4．
但k=3时，x不是正整数，故k=2，0，−4．
13．（2022春·内蒙古乌兰察布·七年级统考期末）阅读学习∶
已知实数m，n满足m＋n = 5且{9m+8n=11k−138m+9n=10，求k的值．
行知中学七年级五班的三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路∶
甲同学∶直接求解法，先解关于m、n的方程组{9m+8n=11k−138m+9n=10，再求k的值．
乙同学∶观察法，先将原方程组中的两个方程相加，再求k的值
丙同学∶组合法，先解方程组{m+n=58m+9n=10，再求k的值．
解决问题∶
（1）选择其中一名同学的思路，解答此题．
（2）已知关于x、y的方程组{x+2y=k+52x+y=5k+1的解互为相反数，求k的值．
【思路点拨】
（1）选乙同学的方法进行整体代入计算即可，选丙同学则组建新的方程组求出m和n的值，再代入求k值即可；
（2）结合第（1）问的方法进行整体代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：选择乙同学的解法：
{9m+8n=11k−13①8m+9n=10②，
①+②，得
17m+17n=11k-3，
∵m＋n = 5，
∴17m+17n=85，
即11k-3=85，
解得k=8．
选择丙同学：
由题意，得
{m+n=58m+9n=10，
解得{m=35n=−30，
将{m=35n=−30代入9m+8n=11k−13，得
9×35+8×（-30）=11k-13，
解得k=8．
（2）解：{x+2y=k+5①2x+y=5k+1②，
①+②，得
3x+3y=6k+6，
∵关于x、y的方程组的解互为相反数，
∴x+y=0，
∴6k+6=0，
解得k=-1．
14．（2023春·七年级单元测试）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y=4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y=4−23x=2．所以2x+3y=12的正整数解为x=3y=2．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y=8的正整数解___________．
（2）若6x−2为自然数，则求出满足条件的正整数x的值．
（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值．
【思路点拨】
（1）先移项，在把x的系数化为1，可得x=8−2y3，再根据x、y为正整数，即可求解；
（2）根据6x−2为自然数，x为正整数，可得x-2取6或3或2或1，即可求解；
（3）先求出方程组的解为x=20−9k4−ky=84−k，再根据方程组的解是正整数，可得4-k=8或4或2或1，从而得到k取-4或0或2或3，即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵3x+2y=8，
∴3x=8−2y，
解得： x=8−2y3，
∵x、y为正整数，
∴8−2y是3的倍数，且8−2y>0，
∴0＜y＜4，
∴y=1，
∴方程3x+2y=8的正整数解为x=2y=1；
故答案为：x=2y=1
（2）解：∵6x−2为自然数，x为正整数，
∴x-2取6或3或2或1，
∴x取8或5或4或3；
（3）解：解方程组x+2y=92x+ky=10得：x=20−9k4−ky=84−k，
∵方程组的解是正整数，
∴8是4−k的倍数，
∴4-k=8或4或2或1，
∴k取-4或0或2或3，
当k=-4时，x=20−9×−44+4=7，符合题意；
当k=0时，x=204=5，符合题意；
当k=2时，x=20−9×24−2=1，符合题意；
当k=3时，x=20−9×34−3=−7，不符合题意；
综上所述，整数k的值为-4或0或2．
15．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x、y的方程组x+2y=62x−2y+mx=8；
（1）请写出方程x+2y=6的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x+y=0，求m的值；
（3）当m每取一个值时，2x−2y+mx=8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗；
（4）如果方程组有整数解，求整数m的解．
【思路点拨】
（1）确定出方程的正整数解即可；
（2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值；
（3）方程变形后，确定出公共解即可；
（4）根据方程组有整数解，确定出整数m的值即可．
【解题过程】
（1）解：方程x+2y=6整理得y=3-x2，
∴方程x+2y=6的正整数解有：x=2y=2，x=4y=1；
（2）解：将x+2y=6记作①，x+y=0记作②，
由②，得x=-y，
将x=-y代入①，得-y+2y=6，
解得y=6，
∴x=-6，
∴2×（-6）-2×6-6m=8．
解得，m=−163；
（3）解：2x-2y+mx=8变形得：（2+m）x-2y=8，
令x=0，得y=-4，
∴无论m取如何值，x=0y=−4都是方程2x-2y+mx=8的解，
∴公共解为x=0y=−4；
（4）解：x+2y=6①2x−2y+mx=8②，
①+②得，3x+mx=14，
∴x=143+m，
由（1）得y=3-x2，
∵方程组有整数解，且m是整数，x是偶数，
∴3+m=±1，3+m=±7，
∴m=-2或-4；m=4或-10．
此时m=-2，-4，4，-10．
当m=-2时，x=14，y=-4，符合题意；
当m=-4时，x=-14，y=10，符合题意；
当m=-10时，x=-2，y=4，符合题意，
当m=4时，x=2，y=2，符合题意，
综上，整数m的值为-2或-4或-10或4．
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组nx+(n+1)y=n+2x−2y+mx=−5(n是常数)．
（1）当n=1时，则方程组可化为x+2y=3x−2y+mx=−5
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
（2）当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
（3）当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【思路点拨】
（1）根据题意直接写出①的解；②加减消元法求出方程组的解，再代入x−2y+mx=−5，求出m的值．
（2）当m每取一个值时，这些方程有一个公共解，就是与m的取值无关，可得，x=0，代入求出y，即可求出公共解．
（3）当n=3时方程组，结合方程组有整数解且m为整数，求出满足条件的m的值，再求出对应的方程组的解．
【解题过程】
解：（1）①x=3y=0或x=1y=1
②由题意得x+2y=3①x+y=2②
由①－②得:y=1
把y=1代入①得:x=1
方程组的解是x=1y=1
把x=1y=1代入x−2y+mx=−5中得：1-2+ m=-5
∴m= -4
∴m的值为 -4．
（2）∵x−2y＋mx＝−5
∴(m+1)x−2y＝−5
∵当m每取一个值时，这些方程有一个公共解
∴x=0
∴−2y＝−5
∴y=52
x=0y=52是这些方程有公共解
（3）当n=3时方程组为3x+4y=5x-2y+mx=−5
∴（5+2m）x=−5
∵方程组有整数解且m为整数
∴5+2m=±1或5+2m=±5
当5+2m=1时，即 m= -2，方程组的解为x=−5y=5
当5+2m=-1时，即 m= -3，方程组的解为x=5y=−52
当5+2m=5时，即 m= 0，方程组的解为x=−1y=2
当5+2m= -5时，即 m= -5，方程组的解为x=1y=12
综上所述整数m的值为-2或0．