北师大版七年级数学下册同步精讲精练1.5-1.6乘法公式-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练1.5-1.6乘法公式-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了乘法公式的基本运算，完全平方公式，完全平方公式的几何背景，平方差公式的几何背景，乘法公式，乘法公式的综合运算等内容，欢迎下载使用。

知识点一
平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
知识点二
完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
题型一 乘法公式的基本运算
【例题1】下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【变式1-1】计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
【变式1-4】下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
【变式1-5】下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（−13a−1）
题型二 完全平方公式（求系数的值）
【例题2】若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
【变式2-1】如果，那么a、b的值分别为（ ）
A．2；4B．5；-25C．-2；25D．-5；25
【变式2-2】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【变式2-3】已知是一个关于x的完全平方式，则常数n=_______．
【变式2-4】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ．
【变式2-5】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ ．
题型三 完全平方公式的几何背景
【例题3】有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
【变式3-1】用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【变式3-2】现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
【变式3-3】有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【变式3-4】图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．abB．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2
【变式3-5】如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________．
题型四 平方差公式的几何背景
【例题4】如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【变式4-1】如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【变式4-2】如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【变式4-3】我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．
（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ；
（2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式．
【变式4-4】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【变式4-5】如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 ．
题型五 乘法公式（求代数式的值）
【例题5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
【变式5-1】已知，，则的值为______．
【变式5-2】已知，则__________．
【变式5-3】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ ．
【变式5-4】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 ．
【变式5-5】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
题型六 乘法公式的综合运算
【例题6】实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【变式6-1】（阅读理解）“若满足，求的值”．
解：设，，则，，．
（解决问题）（1）若满足，则的值为________；
（2）若满足，则的值为___________；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【变式6-2】学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式： ；
（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式： ；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．
【变式6-3】【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ 2﹣ 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
【变式6-4】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-5】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
解题技巧提炼
套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形
解题技巧提炼
根据完全平方公式推断出多项式里各项的系数.
解题技巧提炼
两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
解题技巧提炼
两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
解题技巧提炼
利用乘法公式进行变形，将各自的值代入计算即可求出值
解题技巧提炼
综合分析后进行求解
1.5-1.6 乘法公式
知识点一
平方差公式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
知识点二
完全平方公式
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
拓展：利用可推导除一些变式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
题型一 乘法公式的基本运算
【例题1】下列运算正确的是（ ）
A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2
C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可．
【解答】解：A、结果是x2﹣y2，原计算正确，故本选项符合题意；
B、结果是x2﹣2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、结果是x2+2xy+y2，原计算错误，故本选项不符合题意；
D、结果是y2﹣x2，原计算错误，故本选项不符合题意；
故选：A．
【变式1-1】计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平方差公式计算即可判断．
【解析】．故选：B．
【变式1-2】下列各式不能运用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【解析】解：、两项都是相同的项，不能运用平方差公式；、、中均存在相同和相反的项，
故选：．
【变式1-3】下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣b2B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+b2D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2
【分析】根据完全平方公式判断即可．
【解答】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误；
B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误；
C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误；
D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确；
故选：D．
【变式1-4】下列乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（m+1）（﹣1+m）B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c）
C．2021×2019D．（x﹣3y）（3y﹣x）
【分析】平方差公式，要求有一项完全相同，另一项互为相反项．根据公式的结构特点解答即可．
【解答】解：不能用平方差公式计算的是（x﹣3y）（3y﹣x）＝（x﹣3y）×[﹣（x﹣3y）]＝﹣（x﹣3y）2，
故选：D．
【变式1-5】下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（2a+b）（2b﹣a）B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）
C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b）D．（13a+1）（−13a−1）
【分析】只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
【解答】解：A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
B．原式＝﹣（2b+a）（2b﹣a），符合平方差公式，故本选项符合题意；
C．原式＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
D．原式＝﹣（13a+1）（13a+1）只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；
故选：B．
题型二 完全平方公式（求系数的值）
【例题2】若多项式4x2﹣mx+9是完全平方式，则m的值是（ ）
A．6B．12C．±12D．±6
【分析】根据完全平方公式得到4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，从而得到m的值．
【解答】解：∵多项式4x2﹣mx+9是一个完全平方式，
∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，
即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，
∴m＝12或m＝﹣12，
故选：C．
【变式2-1】如果，那么a、b的值分别为（ ）
A．2；4B．5；-25C．-2；25D．-5；25
【分析】已知等式左边利用完全平方公式展开，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故选D．
【变式2-2】如果x2+8x+m2是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．4B．16C．±4D．±16
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解答】解：∵x2+8x+m2是一个完全平方式，
∴m2＝16，
解得：m＝±4．
故选：C．
【变式2-3】已知是一个关于x的完全平方式，则常数n=_______．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出n的值．
【解析】解：∵25x2＋20（n−1）x＋8n是一个关于x的完全平方式，
25x2＋20（n−1）x＋8n＝（5x）2＋2×5x×2（n−1）＋（2）2，∴2（n−1）=±2，
解得：n＝2±，故答案为：2±．
【变式2-4】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k为常数），则常数k的值为 ±4 ．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k为常数），
∴m＝±2，
∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2，
∴k＝±4．
故答案为：±4．
【变式2-5】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m＝ 3或﹣1 ．
【分析】根据完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2•x•2，求出m即可．
【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，
∴﹣2（m﹣1）x＝±2•x•2，
解得：m＝3或﹣1．
故答案为：3或﹣1．
题型三 完全平方公式的几何背景
【例题3】有A，B两个正方形，按图甲所示将B放在A的内部，按图乙所示将A，B并列放置构造新的正方形．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
A．13B．19C．11D．21
【分析】设A，B两个正方形的边长各为a、b，则由题意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面积之和为a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可计算出结果．
【解答】解：设A，B两个正方形的边长各为a、b，
则图甲得（a﹣b）2
＝a2﹣2ab+b2
＝3，
由图乙得（a+b）2﹣（a2+b2）
＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）
＝2ab
＝16，
∴正方形A，B的面积之和为，
a2+b2
＝（a2﹣2ab+b2）+2ab
＝（a﹣b）2+2ab
＝3+16
＝19，
故选：B．
【变式3-1】用4块完全相同的长方形拼成如图所示的正方形，用不同的方法计算图中阴影部分的面积，可得到一个关于a，b的等式为（ ）
A．4a（a+b）＝4a2+4abB．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
【分析】由观察图形可得阴影部分的面积为4ab，也可以表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得结果．
【解答】解：∵图形中大正方形的面积为（a+b）2，
中间空白正方形的面积为（a﹣b）2，
∴图中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a﹣b）2，
又∵图中阴影部分的面积还可表示为4ab，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
【变式3-2】现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，则（a﹣b）²＝4b²＝16，解得b＝2即可就得最后结果．
【解答】解：设小长方形的长为a，宽为b，由图1可得a＝3b，
则（a﹣b）²＝（3b﹣b）²＝（2b）²＝4b²＝4²＝16，
解得b＝2或b＝﹣2（不合题意，舍去），
∴每个小长方形的面积为，
ab＝3b•b＝3×2²＝12，
故选：C．
【变式3-3】有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B，如图丙摆放，则阴影部分的面积为（ ）
A．28B．29C．30D．31
【分析】设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），得图甲中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，可解得a﹣b＝1，图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）²＝（a﹣b）²+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以图丙中阴影部分的面积为（2a+b）²﹣（3a²+2b²）＝a²+4ab﹣b²＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可计算出结果．
【解答】解：设正方形A，B的边长各为a、b（a＞b），
得图甲中阴影部分的面积为
（a﹣b）2＝a²﹣2ab+b²＝1，
解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），
图乙中阴影部分的面积为（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，
可得（a+b）²
＝a²+2ab+b²
＝a²﹣2ab+b²+4ab
＝（a﹣b）²+4ab
＝1+2×12
＝25，
解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），
∴图丙中阴影部分的面积为
（2a+b）²﹣（3a²+2b²）
＝a²+4ab﹣b²
＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab
＝5×1+2×12
＝5+24
＝29，
故选：B．
【变式3-4】图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．abB．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2
【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
【解析】图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，
∴正方形的边长为：a+b，∴正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=a2﹣2ab+b2．故选：D．
【变式3-5】如图，正方形 ABCD，根据图形写出一个正确的等式：________．
【分析】根据图形，从两个角度计算面积即可求出答案.
【解析】解：（a+b
+ ·`1）2=a2+2ab+b2 故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2
题型四 平方差公式的几何背景
【例题4】如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一个梯形（如图2），利用这两个图形的面积，可以验证的等式是（ ）
A．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】分别表示图1、图2中阴影部分的面积，根据两者面积相等，即可得出结论．
【解答】解：∵图1中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积为：12（2b+2a）（a﹣b），
∴a2﹣b2=12（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【变式4-1】如图1，将一个大长方形沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形，正好是边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）．这两个图能解释下列哪个等式（ ）
A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x+1）2＝x2+2x+1D．x（x﹣1）＝x2﹣x
【分析】用代数式分别表示出图1和图2中白色部分的面积，由此得出等量关系即可．
【解答】解：图1的面积为：（x+1）（x﹣1），
图2中白色部分的面积为：x2﹣1，
∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，
故选：B．
【变式4-2】如图（1），从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图（2），通过计算阴影部分的面积可以得到（ ）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2
C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2D．（a+b）2＝a2+2ab+b2
【分析】利用大正方形面积减去4个小正方形面积即可得出图（1）中阴影部分的面积；根据矩形的面积公式可得图（2）的面积，据此可得结果．
【解答】解：图（1）中阴影部分的面积为：a2﹣4b2；
图（2）中长方形的长是a+2b，宽是a﹣2b，面积是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，
∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．
故选：C．
【变式4-3】我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路．
（1）在整式乘法公式的学习中，小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，先画了边长为a，b的大小两个正方形，再延长小正方形的两边，把大正方形分割为四部分，并分别标记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后补出图形Ⅴ．显然图形Ⅴ与图形Ⅳ的面积相等，所以图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面积和与图形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积和相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是 ；
（2）计算：（x+a）（x+b）= ；请画图说明这个等式．
【分析】（1）根据各部分的面积以及两种方式的面积相等的关系即可解答；
（2）将（x+a）（x+b）展开即可；画一个长为x+b，宽x+a的长方形即可．
【解析】解：（1），故答案为；
（2），故答案为：，画图如下：
【变式4-4】从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2 B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） C、a2+ab=a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
【解析】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），
则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B；
（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；
②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
=×=．
【变式4-5】如图1，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，再沿图中的虚线剪开，然后按图2所示进行拼接，请根据图形的面积写出一个含字母a，b的等式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ．
【分析】分别表示出两个图形的面积，再根据面积相等得出等式即可．
【解答】解：图1面积为a2﹣b2，图2的面积为（a+b）（a﹣b），
因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
题型五 乘法公式（求代数式的值）
【例题5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．
（1）求（x﹣2）（y+2）的值；
（2）求x2﹣xy+y2的值．
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；
（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，
∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．
【变式5-1】已知，，则的值为______．
【分析】根据题意直接利用完全平方公式将原式变形，进而计算即可得出答案．
【解析】解：∵（x-y）2=25，∴x2-2xy+y2=25，∵xy=14，∴x2+y2=25+2xy=25+28=53．故答案为：53．
【变式5-2】已知，则__________．
【分析】利用完全平方公式化简，然后将代入计算即可得出结果。
【解析】解：
当时，原式．故答案为：2．
【变式5-3】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，则xy＝ 5 ．
【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy进行解答．
【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，
∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，
∴58﹣18＝8xy，
∴xy＝5．
故答案是：5．
【变式5-4】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，则a2+b2的值为 53 ．
【分析】运用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解决此题．
【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81．
∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53．
故答案为53．
【变式5-5】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代数式的值：
（1）ab；
（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．
【分析】（1）把a﹣b＝6两边平方，展开，即可求出ab的值；
（2）先分解因式，再整体代入求出即可．
【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，
∴（a﹣b）2＝36，
∴a2﹣2ab+b2＝36，
∴﹣2ab＝36﹣20＝16，
∴ab＝﹣8；
（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，
∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3
＝﹣ab（a2+2ab+b2）
＝﹣（﹣8）×（20﹣16）
＝32．
题型六 乘法公式的综合运算
【例题6】实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【分析】（1）分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
（2）①利用平方差公式将4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
【变式6-1】（阅读理解）“若满足，求的值”．
解：设，，则，，．
（解决问题）（1）若满足，则的值为________；
（2）若满足，则的值为___________；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是200，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【分析】（1）根据题目所给的方法进行计算即可；（2）运用题目所给的方法进行计算即可；
（3）根据题意易得DG、ED的长，然后结合图形及运用题目所给的方法求解即可．
【解析】（1）解：设，，则，
，
，故答案为：140；
（2）解：设，，则，，
．
（3）解：矩形的面积，设，，
则；
∴阴影部分的面积．答：阴影部分的面积为1056．
【变式6-2】学习《乘法公式》时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，是由边长为a、b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大长方形，由图1可得等式： ；
（2）知识迁移：①如图2，是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，可得等式： ；
②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代数式a3＋b3的值．
【分析】（1）用两种不同的方法表示大长方形的面积，可以得到一个等式，
（2）①用两种不同的方法表示大正方体的体积，可以得到一个等式，②利用等式变形，可求出答案．
【解析】解：（1）如图1，整体上长方形的面积为（a＋b）（2a＋b），组成大长方形的六部分的面积和为a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2，
因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案为：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；
（2）①整体上大正方体的体积为（a＋b）3，组成大正方体的2个小正方体和6个小长方体的体积的和为a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案为：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．
②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，
a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91．
【变式6-3】【阅读理解】
我们知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
所以ab=(a+b)24−(a−b)24=(a+b2)2−(a−b2)2．
利用上面乘法公式的变形有时能进行简化计算．
例：51×49=(51+492)2−(51−492)2=502−12=2500﹣1＝2499．
【发现运用】根据阅读解答问题
（1）填空：102×98＝ （102+982） 2﹣ （102−982） 2；
（2）请运用你发现的规律计算：19.2×20.8．
【分析】（1）根据规律解答即可；
（2）根据规律计算19.2×20.8即可．
【解答】解：（1）102×98=(102+982)2−(102−982)2；
故答案为：（102+982），（102−982）；
（2）19.2×20.8=(19.2+20.82)2−(19.2−20.82)2=202﹣0.82＝400﹣0.64＝399.36．
【变式6-4】我们将（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b)2−(a2+b2)2等．根据以上变形解决下列问题：
（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，则ab＝ 20 ．
（2）已知，若x满足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，连接CD，CE，若AC•BC＝10，则图中阴影部分的面积为 10 ．
【分析】（1）将a2+b2＝8，（a+b）2＝48代入题干中的推导公式就可求得结果；
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，则（25﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，再代入计算即可；
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）−12a²−12b²=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]=12×2ab＝ab＝10．
【解答】（1）∵a2+b2＝8，（a+b）2＝48，
∴ab=(a+b)2−(a2+b2)2=48−82=20，
（2）设25﹣x＝a，x﹣10＝b，
由（a+b）2＝a2+2ab+b2进行变形得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴（25﹣x）2+（x﹣10）2
＝[（25﹣x）+（x﹣10）]²﹣2（25﹣x）（x﹣10）
＝15²﹣2×（﹣15）
＝225+30
＝255，
（3）设AD＝AC＝a，BE＝BC＝b，
则图中阴影部分的面积为12（a+b）（a+b）−12（a²+b²）
=12[（a+b）²﹣（a²+b²）]
=12×2ab
＝ab
＝10
【变式6-5】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；方法2： ；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【分析】（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，两式子直接作差即可求解；
②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，可得x+y＝1，再由已知可得x2+y2＝5，先求出xy＝﹣2，再求（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2即可．
【解答】解：（1）方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S＝b2+ab+ab+a2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
（2）由（1）可得（a+b）2＝a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（3）①∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝13①，
（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25②，
由①﹣②得，﹣4ab＝﹣12，
解得：ab＝3；
②设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，
∴x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，
∴x2+y2＝5，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，
∴2xy＝1﹣（x2+y2）＝1﹣5＝﹣4，
解得：xy＝﹣2，
∴（2021﹣a）（a﹣2020）＝﹣2
解题技巧提炼
套用公式公式的前提是式子满足公式形式。当题目中的形式比较复杂，不能直接套用公式时，我们可以将式子拆分，或者部分套用公式，或者对式子进行一定的变形
解题技巧提炼
根据完全平方公式推断出多项式里各项的系数.
解题技巧提炼
两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
解题技巧提炼
两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
解题技巧提炼
利用乘法公式进行变形，将各自的值代入计算即可求出值
解题技巧提炼
综合分析后进行求解