人教版七年级数学下册同步精讲精练第六章实数知识串讲+热考题型(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步精讲精练第六章实数知识串讲+热考题型(原卷版+解析)，共75页。

三 个 概 念
●●1、算术平方根与平方根：
◆◆算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
表示方法：a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.
◆◆平方根： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.
正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
●●2、立方根：
◆◆立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
◆◆立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数.
●●3、实数：
◆◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
◆◆2、实数的分类：
（1）按定义分类．
（2）按性质分类.
三 个 性 质
●●1、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.
●●2、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即.
②.
●●3、实数的性质：
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
一 个 运 算
●●实数的运算
◆◆实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.
题型一 平方根、算术平方根、立方根的概念
【例题1】（2022春•信阳期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3B．4=±2
C．0的立方根是0D．1的立方根是±1
【变式1-1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【变式1-2】（2022秋•鸡泽县期末）下列说法中，正确的是（ ）
①﹣64的立方根是﹣4；
②49的算术平方根是±7；
③127的立方根是13；
④116的平方根是14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-3】（2022春•右玉县期末）(−14)2的平方根是（ ）
A．−14B．14C．±14D．±12
【变式1-4】（2022春•陇县期末）﹣8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）
A．0B．4C．﹣4D．0或﹣4
【变式1-5】（2022秋•东明县校级期末）若4是（8+a）的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【变式1-6】（2022秋•东平县期末）两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1B．x2+1C．x+1D．x2+1
【变式1-7】（2021秋•永年区期末）下列说法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣125的立方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤27125的立方根是±35；⑥81的平方根是9，其中正确的说法是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型二 平方根、算术平方根、立方根的计算
【例题2】（2021秋•兴庆区校级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．3−1=−1B．38=±2C．4=±2D．±9=3
【变式2-1】（2023•任城区校级开学）64的平方根是（ ）
A．8B．±8C．±22D．±4
【变式2-2】（2022秋•广饶县校级期末）若a=3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．±2D．3
【变式2-3】（2022秋•屯留区期末）如果x=3−27，那么代数式x（x﹣5）﹣x2的值为（ ）
A．15B．5C．﹣5D．﹣15
【变式2-4】（2022秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（ ）
A．0B．6C．﹣12或6D．0或﹣6
【变式2-5】（2021秋•仁寿县校级期末）已知2x﹣1和5﹣x为某实数的平方根，则x的值为（ ）
A．﹣4B．2C．4或﹣2D．﹣4或2
【变式2-6】（2022春•宁国市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根（ ）
A．±5B．12C．13D．±13
【变式2-7】求下列式子中的x的值：
（1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0．
（3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64．
【变式2-8】（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，31−2b与33b−5互为相反数，求a+2b的值．
【变式2-9】（2022春•前郭县月考）已知2a+1的平方根为±3，a+3b﹣3的立方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
题型三 无理数的识别
【例题3】（2022秋•盱眙县期末）下列各数中，是无理数的为（ ）
A．3.1⋅4⋅B．3.1 415926C．227D．π
【变式3-1】（2022秋•二七区校级期末）在实数3−27，，π，34，227，8，32，0.1010010001中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式3-2】（2022春•长沙期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤33是一个分数．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式3-3】（2022秋•卧龙区校级期末）在实数5、227、0、3−1、3.1415、16、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【变式3-4】（2022秋•渭滨区期末）下列各数3.1415926，9，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），15，3﹣π，﹣2023，34中，无理数有 个．
【变式3-5】（2022秋•秦淮区期中）下列各数：①0.3⋅，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）是无理数的是 （填序号）．
题型四 实数的分类
【例题4】（2022•将乐县模拟）实数﹣3，−5，−12，2中，负整数是（ ）
A．﹣3B．−5C．−12D．2
【变式4-1】（2022春•凤阳县校级期末）在0.1、π、117、2、16、−38数中，有理数的个数是（ ）
A．4B．5C．3D．2
【变式4-2】（2022春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：227，3.14，7，﹣8，32，0.6，0，36，π3．
【变式4-3】（2022秋•新昌县期中）把下列各数分别填在相应的括号内．
−12，0，0.16，312，3，−235，π3，16，−22，﹣3.14．
有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}；
正分数：{ …}．
【变式4-4】（2022秋•扬州期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．
①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|−207|，⑤π2，⑥0，⑦﹣1.121121112，⑧﹣（﹣2）．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【变式4-5】（2022秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：3−1、3.1415、39、−5、13、π2、﹣0.3⋅、64、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
题型五 实数的相反数、倒数、绝对值
【例题5】（2022•新会区模拟）9的相反数和倒数分别是（ ）
A．3，13B．3，−13C．﹣3，−13D．﹣3，13
【变式5-1】（2023•龙华区一模）9的相反数是（ ）
A．﹣3B．33C．13D．−13
【变式5-2】（2022秋•裕华区校级期末）实数−6的绝对值是（ ）
A．6B．−6C．6D．﹣6
【变式5-3】（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（ ）
A．5的绝对值是﹣5B．任何实数都有倒数
C．任何实数都有相反数D．﹣2的倒数是12
【变式5-4】（2022春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是5的数是5B．−2的相反数是±2
C．1−2的绝对值是2−1D．3−8的相反数是﹣2
【变式5-5】（2022•南京模拟）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（ ）
A．0B．−2C．πD．3−8
【变式5-6】（2022秋•屯留区期末）与|2−7|的值相等的是（ ）
A．7−2B．2−7C．2+7D．−2−7
【变式5-7】（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−9与327B．3−8与−38C．|−2|与2D．2与3−8
【变式5-8】已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−3ab+c+d+1的平方根为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
题型六 实数与数轴的关系
【例题6】（2023•泰山区校级开学）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．|m|＞1B．1﹣m＜1C．mn＜0D．m+1＜0
【变式6-1】（2022秋•南安市期末）如图，5在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【变式6-2】（2022秋•桥西区期末）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住数是（ ）
A．3B．5C．6D．7
【变式6-3】（2022秋•江北区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法一定正确的是（ ）
A．a+b＜0B．|a|＞|b|C．a﹣b＞0D．ab＜0
【变式6-4】（2022秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，5的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（ ）
A．−5B．2−5C．4−5D．5−2
【变式6-5】（2022秋•常德期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是（ ）
A．−2，2B．2−1，2+1C．1−2，1+2D．1−2，2
【变式6-6】（2022秋•吉州区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）填空：a 0，b 0，c 0（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）直接写出|a﹣c|＝ ，|a﹣b|＝ ，|1﹣b|＝ ；
（3）化简：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．
【变式6-7】（2022•南京模拟）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和2．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你求出数x的值．
（2）若m为(x−2)的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根．
题型七 实数的非负性的应用
【例题7】（2022春•宣化区期中）已知a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32017D．﹣32017
【变式7-1】（2022春•拜泉县校级月考）已知a−2+（b+5）2+|c+1|＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．4B．﹣2C．﹣4D．2
【变式7-2】（2021春•凉州区校级期中）若|x−3+1|+y−2=0．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+2x﹣3y的值．
【变式7-3】（2022秋•南关区校级期末）已知（a﹣16）2+b−27+|c﹣2|＝0，求代数式（a−3b）c．
【变式7-4】（2022•长阳县校级模拟）已知a，b满足a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab的平方根．
【变式7-5】（2022秋•应城市校级月考）若|2x2−6|+(y+1)2−4=0，且x＜0，y＜0，求x2﹣3y的值．
【变式7-6】（2021春•西峰区校级期中）已知数a，b满足（a﹣2021）2+2020−b=0，求a﹣b的平方根．
题型八 实数的大小比较
【例题8】（2023•佛山开学）对于下列实数3，π﹣1，22，3大小排列正确的是（ ）
A．3＜22＜π﹣1＜3 B．π﹣1＜3＜22＜3
C．3＜π−1＜22＜3 D．3＜π−1＜3＜22
【变式8-1】（2022秋•南召县期末）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3B．−3C．﹣πD．3−8
【变式8-2】（2022秋•长沙期末）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．2B．0C．﹣4D．π
【变式8-3】（2022秋•鄞州区期末）比较大小：5 35．（用“＞”或“＜”或“＝”连接）
【变式8-4】（2022秋•沈丘县期末）比较大小：10 22．（填“＞”“＝”或“＜”）
【变式8-5】（2022秋•衡东县期末）比较下列实数的大小：3−12 13．
【变式8-6】（2023•西湖区校级开学）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
−12，﹣3，|﹣2|，94
【变式8-7】对于任意的正实数a，b，c，且b＜c，则ba＜ca．请比较下列各组数的大小：
（1）5−14与14； （2）7+16与23．
【变式8-8】比较下列各组数的大小．
（1）16与255； （2）32与1； （3）5−12与0.5．
【变式8-9】设a=3−12，b=12，c=32，d＝4
（1）比较a与b两个数的大小；
（2）求|a﹣b|+c−d的值．
题型九 实数的规律问题
【例题9】（2022秋•南岗区校级月考）若6≈2.449，60≈7.746，则0.006≈ ．
【变式9-1】（2022春•香洲区校级期中）若30.3≈0.6694，33≈1.442，则3300≈ ．
【变式9-2】（2022春•呼和浩特期末）若325.36=2.938，3253.6=6.329，则3253600= ．
【变式9-3】（2022春•梁平区期末）已知31.12=1.038，311.2=2.237，3112=4.820，则31120= ．
【变式9-4】（2022春•綦江区校级月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈1.289，若x≈462.6，则x＝ ，3−0.00214≈ ．
【变式9-5】（2022春•宁南县校级月考）已知5.217≈2.284，52.17≈22.84．填空：
（1）0.05217≈ ，52170≈ ．
（2）若x≈0.02284，则x＝ ．
【变式9-6】（2022秋•昌平区期中）观察下面的规律：0.03≈0.1732，0.3≈0.5477，3≈1.732，30≈5.477，300≈17.32，3000≈54.77．
（1）30000≈ ；
（2）若0.5≈0.7071，5≈2.236，则0.05≈ ．
【变式9-7】借助计算机可以求得42+32=5，442+332=55，4442+3332=555，…，仔细观察，你猜想44⋯42︸2018个+33⋯32︸2018个的值为（ ）
A．55⋯5︸2018个B．44⋯4︸2018个
C．33⋯3︸2018个D．55⋯5︸2017个
题型十 实数的新定义运算问题
【例题10】（2021春•霍林郭勒市期末）定义运算“*”的运算法则为：a∗b=1a−1b，比如2∗3=16，则(−327)∗(−4)= ．
【变式10-1】规定运算：a△b＝|a﹣b|（a，b为实数）．
计算：(5△3)+(2△5)．
【变式10-2】（2021春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=a+ba−b（a+b＞0），如3*2=3+23−2=5．请计算：
（1）8*7；
（2）6*（5*4）．
【变式10-3】（2022春•宜秀区校级月考）规定一种新的运算a△b＝ab﹣a+b+1，如3△4＝3×4﹣3+4+1，请比较（﹣3）△2与2△（﹣3）的大小．
【变式10-4】对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1．
（1）求（﹣2）#3的值；
（2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系；
（3）若x#（﹣4）＝9，求x的值．
【变式10-5】（2022春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b=aba−b，如2⊗1=212−1=2，求：
（1）3⊗2的值；
（2）5⊗（4⊗2）的值．
【变式10-6】对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b．
（1）计算：9•3−125；
（2）填空：16*（−3−8） （−3−8）*16（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由．
题型十一 实数的估算
【例题11】（2022•文山市模拟）若m=6，则估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2B．2＜m＜3C．2≤m＜3D．3＜m＜4
【变式11-1】（2022秋•武义县期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A．2B．5C．8D．10
【变式11-2】（2021•津南区一模）估计2+13的值（ ）
A．在2和3之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间
【变式11-3】（2021春•渝北区期末）估计11−2的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．3和4之间B．2和3之间C．1和2之间D．0和1之间
【变式11-4】（2021春•海珠区校级月考）下列无理数中，与4最接近的是（ ）
A．8B．12C．14D．17
【变式11-5】（2022•庐阳区校级开学）与1+17最接近的整数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式11-6】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）2023的值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．1D．﹣1
【变式11-7】（2022秋•慈溪市期中）阅读下面的文字，解答问题，大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即2＜7＜3，∴7的整数部分是2，小数部分是7−2．
（1）请解答：（1）13的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果5的小数部分是a，29的整数部分是b，求a+b−5的值．
（3）已知：x是5+13的整数部分，y是其小数部分，求x﹣y的值．
【变式11-8】（2022秋•莲都区期中）【阅读理解】∵4＜5＜9，即2＜5＜3．∴5的整数部分为2，小数部分为5−2，∴1＜5−1＜2，∴5−1的整数部分为1，小数部分为5−2．
【解决问题】已知：a是17−2的整数部分，b是17−3的小数部分，求：
（1）a，b的值；
（2）（b+4）2﹣（﹣a）3的平方根．
题型十二 实数的运算
【例题12】（2022春•淮南期中）计算：
（1）计算：−327+|3−2|−16+2；
（2）计算：(−10)2⋅1100−25+(2)2．
【变式12-1】（2022春•源城区校级期中）计算：（3）2﹣|2−9|−3−27．
【变式12-2】（2022春•乐昌市校级期中）计算：3−27−14+30.125+31−6364．
【变式12-3】计算：
（1）3−827×14−(−2)2； （2）3−25+|3−3|+31−6364．
【变式12-4】（2022春•杭锦后旗期中）计算
（1）﹣12222+364−（﹣1）×9；
（2）（﹣2）2+3−27+3−|2−3|+25．
【变式12-5】（2022春•阳东区期中）计算：﹣22×14−38+9×（﹣1）2023．
【变式12-6】（2022春•大荔县校级月考）计算：25+36+3−8+|2−5|．
【变式12-7】（2022春•漳平市期中）计算：−12021+(−1)2+3−8−|3−2|．
题型十三 实数的实际应用
【例题13】（2021春•赣州期中）用一张面积为64cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为4：3的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是60cm2吗？请通过计算说明．
【变式13-1】（2021秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 cm．
【变式13-2】（2022秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（ ）
A．3B．5C．2D．2
【变式13-3】（2022春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？
【变式13-4】（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．
【变式13-5】（2021春•岳池县期中）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．
【变式13-6】（2022春•余干县期中）小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【变式13-7】（2022春•海沧区校级期末）如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16πcm2的圆？并计算说明．
解题技巧提炼
1、一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
2、 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
3、一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.
解题技巧提炼
1、求一个正数的平方根就是看哪两个数的平方等于这个正数，这两个数就是正数的平方根，其中正的那个为该数的算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0.
2、求立方根就是看哪个数的立方等于这个数，正数的立方根有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0，立方根为其本身的数有±1,0.
解题技巧提炼
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
解题技巧提炼
本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数.
解题技巧提炼
1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
2、数a的倒数是1a(a≠0).
3、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
解题技巧提炼
1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
解题技巧提炼
算术平方根a具有双重非负性,即被开方数a≥0且a≥0，a 中隐含条件
a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值.
解题技巧提炼
常用的实数大小比较的方法：
正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；两个正实数，绝对值大
的数较大；两个负实数，绝对值大的数反而小.
（2）平方法：两数平方后再比较大小；
（3）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；
（4）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子的大小，从而确定它们的大小.
解题技巧提炼
1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位.
2、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位.
解题技巧提炼
根据新运算定义的方法列出式子，再根据实数的运算进行计算即可.
解题技巧提炼
估算a（a≥0）时，首先要确定a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出a在哪两个连续的整数之间，从而确定a的整数部分和小数部分.
解题技巧提炼
实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用.
解题技巧提炼
解决这类问题的关键是列方程，对于最后的结果，一定要检验是否符合实际意义.
七年级下册数学《第六章 实数》
本章知识综合运用
三 个 概 念
●●1、算术平方根与平方根：
◆◆算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
表示方法：a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.
◆◆平方根： 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
表示方法：正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.
正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
●●2、立方根：
◆◆立方根的定义： 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根.
这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
◆◆立方根的表示方法：一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数.
●●3、实数：
◆◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.
◆◆2、实数的分类：
（1）按定义分类．
（2）按性质分类.
三 个 性 质
●●1、平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根.
●●2、立方根的性质：
正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
①互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即.
②.
●●3、实数的性质：
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
一 个 运 算
●●实数的运算
◆◆实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、
开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.
题型一 平方根、算术平方根、立方根的概念
【例题1】（2022春•信阳期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3B．4=±2
C．0的立方根是0D．1的立方根是±1
【分析】根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．
【解答】解：A、0.09的平方根是±0.3，故A不符合题意；
B、4=2，故B不符合题意；
C、0的立方根是0，故C符合题意；
D、1的立方根是1，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义是解题关键．
【变式1-1】（2022春•合肥期末）下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是3
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．
【解答】解：A、3的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．
【变式1-2】（2022秋•鸡泽县期末）下列说法中，正确的是（ ）
①﹣64的立方根是﹣4；
②49的算术平方根是±7；
③127的立方根是13；
④116的平方根是14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别对每小题进行分析，即可得出答案．
【解答】解：①﹣64的立方根是﹣4，原说法正确；
②49的算术平方根是7，原说法错误；
③127的立方根是13，原说法正确；
④116的平方根是±14，原说法错误；
正确的个数有2个；
故选：B．
【点评】此题考查了立方根、平方根和算术平方根，熟练掌握立方根、平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
【变式1-3】（2022春•右玉县期末）(−14)2的平方根是（ ）
A．−14B．14C．±14D．±12
【分析】先根据乘方的定义得出（−14）2=116，再利用平方根的概念求解可得．
【解答】解：∵（−14）2=116，
∴(−14)2的平方根是±14，
故选：C．
【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的概念．
【变式1-4】（2022春•陇县期末）﹣8的立方根与4的算术平方根的和是（ ）
A．0B．4C．﹣4D．0或﹣4
【分析】分别利用立方根的定义和算术平方根的定义进行求解即可．
【解答】解：∵﹣8的立方根为﹣2，4的算术平方根为2，
∴﹣8的立方根与4的算术平方根的和为：﹣2+2＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查立方根的定义及算术平方根的定义，比较简单．
【变式1-5】（2022秋•东明县校级期末）若4是（8+a）的一个平方根，则a的立方根是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
【分析】根据平方根、立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵4是（8+a）的一个平方根，
∴8+a＝16
即a＝8，
∴a的立方根是38=2，
故选：D．
【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握平方根、立方根的定义是关键．
【变式1-6】（2022秋•东平县期末）两个连续自然数，前一个数的算术平方根是x，则后一个数的算术平方根是（ ）
A．x+1B．x2+1C．x+1D．x2+1
【分析】先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的下一个自然数的算术平方根即可．
【解答】解：∵一个自然数的算术平方根是x，
∴这个自然数是x2，
下一个自然数是x2+1，
∴下一个自然数的算术平方根是：x2+1．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，先根据算术平方根求出这个数及它的下一个自然数是解题的关键．
【变式1-7】（2021秋•永年区期末）下列说法：①﹣2是4的平方根；②16的平方根是4；③﹣125的立方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤27125的立方根是±35；⑥81的平方根是9，其中正确的说法是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平方根可以判断①②⑥，根据立方根可以判断③④⑤，根据算术平方根可以判断④．
【解答】解：①﹣2是4的平方根，符合题意；
②16的平方根是±4，不符合题意；
③﹣125的立方根是﹣5，不符合题意；
④0.25的算术平方根是0.5，符合题意；
⑤27125的立方根是35，不符合题意；
⑥81的平方根是±3，不符合题意；
符合题意的有：①④，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键．
题型二 平方根、算术平方根、立方根的计算
【例题2】（2021秋•兴庆区校级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A．3−1=−1B．38=±2C．4=±2D．±9=3
【分析】原式各项计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣1，故本选项计算正确；
B、原式＝2，故本选项计算错误；
C、原式＝2，故本选项计算错误；
D、原式＝±3，故本选项计算错误；
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解本题的关键．
【变式2-1】（2023•任城区校级开学）64的平方根是（ ）
A．8B．±8C．±22D．±4
【分析】直接利用平方根的定义求解即可．
【解答】解：64的平方根，即8的平方根是：±8=±22，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．理解64的平方根即8的平方根是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•广饶县校级期末）若a=3，|b|＝5，且ab＜0，则a+b的算术平方根为（ ）
A．4B．2C．±2D．3
【分析】先根据算术平方根、绝对值意义和ab＜0求出a、b值，从而求出a+b值，再求出其算术平方根即可．
【解答】解：∵a=3，
∴a＝9，
∵|b|＝5，
∴b＝±5，
∵ab＜0，
∴a＝9，b＝﹣5，
∴a+b＝9﹣5＝4，
∴a+b的算术平方根为4=2，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根与绝对值，有理数乘法，熟练掌握正确求出一个数的算术平方根与绝对值是解题的关键．
【变式2-3】（2022秋•屯留区期末）如果x=3−27，那么代数式x（x﹣5）﹣x2的值为（ ）
A．15B．5C．﹣5D．﹣15
【分析】根据求一个数的立方根求得x＝﹣3，代入化简后的式子，即可求解．
【解答】解：∵x=3−27=−3，
∴x（x﹣5）﹣x2＝x2﹣5x﹣x2＝﹣5x＝﹣5×（﹣3）＝15，
故选：A．
【点评】本题考查了求一个数的立方根，代数式求值，单项式乘以多项式，求得x（x﹣5）﹣x2是解题的关键．
【变式2-4】（2022秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（ ）
A．0B．6C．﹣12或6D．0或﹣6
【分析】依据平方根和立方根的定义求得这两个数，然后利用加法法则计算即可．
【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3，
﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根和平方根的定义，掌握立方根和平方根的定义是关键．
【变式2-5】（2021秋•仁寿县校级期末）已知2x﹣1和5﹣x为某实数的平方根，则x的值为（ ）
A．﹣4B．2C．4或﹣2D．﹣4或2
【分析】结合平方根的性质，分两种情况讨论，可得答案．
【解答】解：根据题意得：2x﹣1+5﹣x＝0或2x﹣1＝5﹣x，
解得：x＝﹣4或x＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，一个正数的有两个平方根且两个平方根的和为0，掌握分类讨论思想解答是关键．
【变式2-6】（2022春•宁国市期中）已知x﹣1的平方根是±2，2x+y+5的立方根是3，求x2+y2的算术平方根（ ）
A．±5B．12C．13D．±13
【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入x2+y2求解，再计算出其算术平方根即可得到答案．
【解答】解：∵x﹣1的平方根是±2，
∴x﹣1＝4，
∴x＝5，
又∵2x+y+5的立方根是3，
∴2x+y+5＝27，
∴把x的值代入解得：2×5+y+5＝27，
∴y＝12，
∴x2+y2＝52+122＝169，
∴x2+y2的算术平方根为169=13，
故选：C．
【点评】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案．
【变式2-7】求下列式子中的x的值：
（1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0．
（3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64．
【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．
（3）直接利用平方根的定义计算得出答案；
（4）直接利用立方根的定义计算得出答案．
【解答】解：
（1）18﹣2x2＝0，
则2x2＝18，
故x2＝9，
解得：x＝±3；
（3）（x+1）3+27＝0，
则（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
解得：x＝﹣4．
（4）∵4（x﹣2）2＝49，
∴(x−2)2=494，
∴x−2=±72，
∴x=2±72，
∴x=112或x=−32．
（2）∵（x﹣1）3＝64，
∴x﹣1＝4，
∴x＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算以及平方根、立方根，正确化简各数是解题关键．
【变式2-8】（2022春•海淀区校级期中）已知正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，31−2b与33b−5互为相反数，求a+2b的值．
【分析】利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值，将a，b值代入代数式计算即可．
【解答】解：∵正数a的两个平方根分别是2x﹣3和1﹣x，
∴2x﹣3+1﹣x＝0，
解得：x＝2．
∴2x﹣3＝1，1﹣x＝﹣1，
∴a＝1；
∵31−2b与33b−5互为相反数，
∴1﹣2b+3b﹣5＝0，
解得：b＝4．
当a＝1，b＝4时，
a+2b＝1+2×4＝1+8＝9．
【点评】本题主要考查了实数的性质，平方根，立方根，相反数的意义，利用平方根的意义求出a值，利用相反数的意义求出b值是解题的关键．
【变式2-9】（2022春•前郭县月考）已知2a+1的平方根为±3，a+3b﹣3的立方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【分析】（1）根据立方根、平方根的定义解决此题．
（2）由（1）得a＝12，b＝﹣3，再解决此题．
【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝9，a+3b﹣3＝64．
∴a＝4，b＝21．
（2）由（1）得：a＝4，b＝21．
∴a+b＝4+21＝25．
∴a+b的平方根为±25=±5．
【点评】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握平方根、立方根的定义是解决本题的关键．
题型三 无理数的识别
【例题3】（2022秋•盱眙县期末）下列各数中，是无理数的为（ ）
A．3.1⋅4⋅B．3.1 415926C．227D．π
【分析】根据有理数和无理数的定义即可判断．
【解答】解：A、3.1⋅4⋅是循环小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、3.1 415926是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、227是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、π是无理数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【变式3-1】（2022秋•二七区校级期末）在实数3−27，，π，34，227，8，32，0.1010010001中，无理数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的定义即可求解．
【解答】解：3−27=−3，
所以无理数有π，34，8，32，共4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【变式3-2】（2022春•长沙期中）有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、0和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤33是一个分数．其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据实数的分类判断．
【解答】解：∵无限不循环小数是无理数，
∴①错误．
∵0是有理数，
∴②错误．
∵4=2是有理数，
∴③错误．
∵π也是无理数，不含根号，
∴④错误．
∵33是一个无理数，不是分数，
∴⑤错误．
故选：A．
【点评】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键．
【变式3-3】（2022秋•卧龙区校级期末）在实数5、227、0、3−1、3.1415、16、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：3−1=−1，16=4，
故在实数5、227、0、3−1、3.1415、16、4.21、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数有5、3π、6.1010010001…（相邻两个1之间的0依次增加1个），共3个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
【变式3-4】（2022秋•渭滨区期末）下列各数3.1415926，9，1.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2），15，3﹣π，﹣2023，34中，无理数有 个．
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【解答】解：在3.1415926，9=3，1.212212221…（相邻两个 1之间依次增加一个2），15，3﹣π，﹣2023，34中，
3.1415926，9，15，﹣2023是有理数；
1.212212221…（相邻两个 1之间依次增加一个2），3﹣π，，34是无理数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了无理数，求一个数的算术平方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
【变式3-5】（2022秋•秦淮区期中）下列各数：①0.3⋅，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）是无理数的是 （填序号）．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：在实数①0.3⋅，②0.1，③（﹣3）2，④﹣|﹣2|，⑤π2，⑥0.1010010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）中，无理数有π2，0.1010010001……（相邻两个1之间依次增加1个0）．
故答案为：⑤⑥．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
题型四 实数的分类
【例题4】（2022•将乐县模拟）实数﹣3，−5，−12，2中，负整数是（ ）
A．﹣3B．−5C．−12D．2
【分析】根据负数小于0，以及整数的意义，即可解答．
【解答】解：实数﹣3，−5，−12，2中，负整数是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握负数小于0，以及整数的意义是解题的关键．
【变式4-1】（2022春•凤阳县校级期末）在0.1、π、117、2、16、−38数中，有理数的个数是（ ）
A．4B．5C．3D．2
【分析】利用有理数的概念，从所给的数中找出所有的有理数即可．
【解答】解：∵16=4，−38=−2，
∴在0.1、π、117、2、16、−38数中，有理数有：0.1，117，16，−38，
故选：A．
【点评】本题主要考查了有理数的概念，实数的分类，准确找出所有的有理数是解题的关键．
【变式4-2】（2022春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：227，3.14，7，﹣8，32，0.6，0，36，π3．
【分析】根据有理数的分类标准解决此题．
【解答】解：
【点评】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类标准是解决本题的关键．
【变式4-3】（2022秋•新昌县期中）把下列各数分别填在相应的括号内．
−12，0，0.16，312，3，−235，π3，16，−22，﹣3.14．
有理数：{ …}；
无理数：{ …}；
负实数：{ …}；
正分数：{ …}．
【分析】根据有理数和无理数，负实数和正分数的概念即可得到答案．
【解答】解：有理数：{−12，0，0.16，312，16，﹣3.14，…}；
无理数：{3，−235，π3，−22，…}；
负实数：{−12，−235，−22，﹣3.14…}；
正分数：{ 0.16，312，…}，
故答案为：−12，0，0.16，312，16，﹣3.14，；
3，−235，π3，−22；
−12，−235，−22，﹣3.14；
0.16，312．
【点评】本题考查了实数的分类，理解有理数、无理数、负实数和正分数的有关概念是解决问题的关键．
【变式4-4】（2022秋•扬州期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．
①﹣3.8，②﹣10，③4.3，④﹣|−207|，⑤π2，⑥0，⑦﹣1.121121112，⑧﹣（﹣2）．
整数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}．
【分析】根据实数的分类解答即可．
【解答】解：整数集合：{②⑥⑧…}；
分数集合：{①③④⑦…}；
负数集合：{①②④⑦…}；
有理数集合：{①②③④⑥⑦⑧…}；
无理数集合：{⑤…}．
故答案为：②⑥⑧，①③④⑦，①②④⑦，①②③④⑥⑦⑧，⑤．
【点评】此题考查实数，关键是根据实数的分类解答．
【变式4-5】（2022秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：3−1、3.1415、39、−5、13、π2、﹣0.3⋅、64、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）
有理数集合：{ …}；
无理数集合：{ …}；
正实数集合：{ …}；
分数集合：{ …}；
【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空．
【解答】解：有理数集合：{3.1415、13、﹣0.3⋅、64、0、（﹣2）3、…}；
无理数集合：{3−1、39、−5、π2、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）…}；
正实数集合：{3−1、3.1415、39、13、π2、64、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）…}；
分数集合：{3.1415、13、﹣0.3⋅、…}．
故答案为：3.1415、13、﹣0.3⋅、64、0、（﹣2）3；3−1、39、−5、π2、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）；3−1、3.1415、39、13、π2、64、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）；3.1415、13、﹣0.3⋅．
【点评】此题主要考查了有理数、无理数及实数的定义，用到的知识点为：有理数和无理数统称实数；整数和分数统称有理数；无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键．
题型五 实数的相反数、倒数、绝对值
【例题5】（2022•新会区模拟）9的相反数和倒数分别是（ ）
A．3，13B．3，−13C．﹣3，−13D．﹣3，13
【分析】直接利用相反数以及倒数的定义分别得出答案．
【解答】解：9=3，则3的相反数和倒数分别是：﹣3，13．
故选：D．
【点评】此题主要考查了算术平方根以及倒数，正确掌握相关定义是解题关键．
【变式5-1】（2023•龙华区一模）9的相反数是（ ）
A．﹣3B．33C．13D．−13
【分析】根据算术平方根和相反数的概念求即可．
【解答】解：9=3，
∴9的相反数是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，相反数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【变式5-2】（2022秋•裕华区校级期末）实数−6的绝对值是（ ）
A．6B．−6C．6D．﹣6
【分析】根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：−6的绝对值是：6．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．
【变式5-3】（2022秋•西湖区校级期中）下列结论正确的是（ ）
A．5的绝对值是﹣5B．任何实数都有倒数
C．任何实数都有相反数D．﹣2的倒数是12
【分析】直接利用绝对值的性质，以及相反数、倒数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、5的绝对值是5，不符合题意；
B、0没有倒数，不符合题意；
C、任何实数都有相反数，符合题意；
D、﹣2的倒数是−12，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质，绝对值的性质，以及相反数、倒数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【变式5-4】（2022春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．绝对值是5的数是5B．−2的相反数是±2
C．1−2的绝对值是2−1D．3−8的相反数是﹣2
【分析】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论．
【解答】解：∵绝对值是5的数是5或−5，
∴A选项的结论不正确；
∵−2的相反数是2，
∴B选项的结论不正确；
∵1−2的绝对值是2−1，
∴C选项的结论正确；
∵3−8=−2，
∴3−8的相反数为2．
∴D选项的结论不正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数的性质，绝对值的意义，立方根，相反数的意义，正确利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义进行解答是解题的关键．
【变式5-5】（2022•南京模拟）下列各数中，它的相反数与它的绝对值不相等的是（ ）
A．0B．−2C．πD．3−8
【分析】根据绝对值和相反数的定义进行判断即可．
【解答】解：A.0的相反数是0，0的绝对值是0，故A不符合题意；
B.−2的相反数是2，−2的绝对值是2，故B不符合题意；
C．π的相反数是﹣π，π的绝对值是π，故C符合题意；
D.3−8=−2，﹣2的相反数是2，﹣2的绝对值是2，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了绝对值和相反数的定义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
【变式5-6】（2022秋•屯留区期末）与|2−7|的值相等的是（ ）
A．7−2B．2−7C．2+7D．−2−7
【分析】利用负数的绝对值是它的相反数即可求解．
【解答】解：∵2−7＜0，
∴|2−7|=7−2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值化简，正确理解绝对值的意义是解题的关键．
【变式5-7】（2022秋•武义县期末）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．−9与327B．3−8与−38C．|−2|与2D．2与3−8
【分析】利用相反数的定义判断．
【解答】解：A、∵−9=−3，327=3，
∴−9与327互为相反数，A选项符合题意；
∵3−8=−2，−38=−2，
∴3−8=−38，B选项不符合题意；
|−2|=2，C选项不符合题意；
∵3−8=−2，
∴2与3−8不是互为相反数，D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
【变式5-8】已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−3ab+c+d+1的平方根为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，
∴ab＝1，c+d＝0，
则−3ab+c+d+1
＝﹣1+0+1
＝0．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键．
题型六 实数与数轴的关系
【例题6】（2023•泰山区校级开学）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．|m|＞1B．1﹣m＜1C．mn＜0D．m+1＜0
【分析】由图可知：m＜0＜1＜n，|m|＞1．根据绝对值的定义、不等式的性质以及实数的运算解决本题．
【解答】解：由图可知：m＜0＜1＜n，|m|＞1，|m|＞n，
A．由图知：|m|＞1，故A不符合题意．
B．由图知：1﹣m＞1，故B符合题意．
C．由图知：mn＜0，故C不符合题意．
D．由图知：m+1＜0，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值，实数的运算以及不等式的性质，熟练掌握绝对值，实数的运算以及不等式的性质是解决本题的关键．
【变式6-1】（2022秋•南安市期末）如图，5在数轴上对应的点可能是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
【分析】5在2到3之间，故找2与3之间的点即可．
【解答】解：4＜5＜9，
即2＜5＜3，
故选：D．
【点评】本题考查的是数轴与实数，解题的关键是会用夹逼法求5的范围．
【变式6-2】（2022秋•桥西区期末）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住数是（ ）
A．3B．5C．6D．7
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数3、5、6、7的大小即可．
【解答】解：数轴被墨迹污染的数介在1与2之间，
∵12＝1，22＝4，32＝9，
∴1＜3＜2，2＜5＜3，2＜6＜3，2＜7＜3，
故选：A．
【点评】本题考查实数与数轴，算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式6-3】（2022秋•江北区期末）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列说法一定正确的是（ ）
A．a+b＜0B．|a|＞|b|C．a﹣b＞0D．ab＜0
【分析】有数轴可知a＜0，b＞0，|a|＜|b|，有运算法则可知，ab＜0．
【解答】解：有数轴可知a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
根据有理数的运算法则可得，
∴a+b＞0，a﹣b＜0，ab＜0，
故选：D．
【点评】本题考查的是实数与数轴，解题的关键是根据数轴得出隐含条件a＜0，b＞0，|a|＜|b|．
【变式6-4】（2022秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，5的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（ ）
A．−5B．2−5C．4−5D．5−2
【分析】设点A表示的数是a，求出BC之间的距离，求出AB，即可得出关于a的方程，求出即可．
【解答】解：设点A表示的数是a，
∵在数轴上数表示2，5的对应点分别是B、C，
∴B、C之间的距离是BC=5−2，
∵B是AC的中点，
∴AB＝BC=5−2，
∵B点表示的数是2，A点表示的数是a，
∴2﹣a=5−2，
解得：a＝4−5，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是AB＝|xA﹣xB|．
【变式6-5】（2022秋•常德期末）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A、B，则点A、B表示的数分别是（ ）
A．−2，2B．2−1，2+1C．1−2，1+2D．1−2，2
【分析】先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离＝较大的数﹣较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
【解答】解：数轴上正方形的对角线长为：12+12=2，由图中可知1和A之间的距离为2．
∴点A表示的数是1−2；点B表示的数为1+2．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
【变式6-6】（2022秋•吉州区期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）填空：a 0，b 0，c 0（填“＞”、“＜”或“＝”）；
（2）直接写出|a﹣c|＝ ，|a﹣b|＝ ，|1﹣b|＝ ；
（3）化简：|a﹣c|﹣2|1﹣c|+|a﹣b|．
【分析】（1）根据数轴得出答案即可；
（2）根据绝对值的性质化简即可；
（3）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）由数轴可得，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
故答案为：＞，＞，＜；
（2）由（1）知：a﹣c＞0，a﹣b＜0，1﹣b＜0，
∴|a﹣c|＝a﹣c，|a﹣b|＝b﹣a，|1﹣b|＝b﹣1，
故答案为：a﹣c，b﹣a，b﹣1；
（3）由数轴可得，a﹣c＞0，1﹣c＞0，a﹣b＜0，
原式＝（a﹣c）﹣2（1﹣c）﹣（a﹣b）
＝a﹣c﹣2+2c﹣a+b
＝c+b﹣2．
【点评】本题考查了绝对值，数轴，实数的大小比较等知识点，能根据数轴得出c＜0＜a＜b和|c|＜|a|＜|b|是解此题的关键．
【变式6-7】（2022•南京模拟）如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和2．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x．
（1）请你求出数x的值．
（2）若m为(x−2)的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）根据题意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是1和2，
∴AB=2−1，
∴OC=AB=2−1，
∴点C表示的数x=2−1；
（2）由（1）知x=2−1，
∴x−2=2−1−2=−1，x−2=2−1−2=2−3，
∴m＝﹣（﹣1）＝1，n=|2−3|=3−2，
∴m+n=1+3−2=4−2，
∵1＜2＜4，
∴1＜2＜2，
∴2＜4−2＜3，
∴4−2的整数部分为2，其立方根为32．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，数轴上两点的距离，相反数和绝对值，正确估算1＜2＜2及2＜4−2＜3是解题的关键．
题型七 实数的非负性的应用
【例题7】（2022春•宣化区期中）已知a+2+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2022的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32017D．﹣32017
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可计算．
【解答】解：∵a+2+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1，
∴（a+b）2022
＝（﹣1）2022
＝1．
故选：B．
【点评】本题考查非负数的性质，关键是掌握：非负数之和等于0时，各项都等于0．
【变式7-1】（2022春•拜泉县校级月考）已知a−2+（b+5）2+|c+1|＝0，则a+b﹣c的值是（ ）
A．4B．﹣2C．﹣4D．2
【分析】先根据算术平方根的非负性、二次方的非负性和绝对值的非负性求出a、b、c的值，然后再代入代数式求值即可．
【解答】解：∵a−2+(b+5)2+|c+1|=0，
∴a−2=0b+5=0c+1=0，
解得：a=2b=−5c=−1，
∴a+b﹣c＝2+（﹣5）﹣（﹣1）＝2﹣5+1＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是非负数的性质，涉及到求代数式的值，算术平方根的非负性，二次方的非负性和绝对值的非负性，根据题意求出a、b、c的值是解题的关键．
【变式7-2】（2021春•凉州区校级期中）若|x−3+1|+y−2=0．
（1）求x，y的值；
（2）求x2+2x﹣3y的值．
【分析】（1）根据非负数的性质求出x、y的值；
（2）代入计算即可．
【解答】解：（1）∵|x−3+1|+y−2=0，
∴x−3+1＝0，y﹣2＝0，
即x=3−1，y＝2；
（2）当x=3−1，y＝2时，
x2+2x﹣3y
＝（3−1）2+2×（3−1）﹣6
＝3﹣23+1+23−2﹣6
＝﹣4，
即x2+2x﹣3y的值为﹣4．
【点评】本题考查非负数的性质，掌握绝对值、算术平方根的非负性是正确解答的关键．
【变式7-3】（2022秋•南关区校级期末）已知（a﹣16）2+b−27+|c﹣2|＝0，求代数式（a−3b）c．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b，c的值，进而代入求出答案．
【解答】解：∵（a﹣16）2+b−27+|c﹣2|＝0，
∴a﹣16＝0，b﹣27＝0，c﹣2＝0，
解得：a＝16，b＝27，c＝2，
∴（a−3b）c
＝（16−327）2
＝（4﹣3）2
＝1．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确得出a，b，c的值是解题关键．
【变式7-4】（2022•长阳县校级模拟）已知a，b满足a+1+|b﹣1|＝0，求a2012+b2013﹣4ab的平方根．
【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a+1+|b﹣1|＝0，
∴a+1＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣1，b＝1，
∴a2012+b2013+4＝1+1+4＝6，
∴a2012+b2013+4 的平方根为±6．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0是解题的关键．
【变式7-5】（2022秋•应城市校级月考）若|2x2−6|+(y+1)2−4=0，且x＜0，y＜0，求x2﹣3y的值．
【分析】直接利用非负数的性质得出x2＝3，y＝﹣3，进而代入得出答案．
【解答】解：∵|2x2−6|+(y+1)2−4=0，且x＜0，y＜0，
∴2x2﹣6＝0，（y+1）2﹣4＝0，
解得：x2＝3，y＝﹣3，
故x2﹣3y＝3﹣3×（﹣3）
＝3+9
＝12．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x2，y的值是解题关键．
【变式7-6】（2021春•西峰区校级期中）已知数a，b满足（a﹣2021）2+2020−b=0，求a﹣b的平方根．
【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，再根据平方根的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣2021＝0，2020﹣b＝0，
∴a＝2021，b＝2020，
∴a﹣b＝2021﹣2020＝1，
∴a﹣b的平方根是±1．
【点评】本题考查了非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质求出a、b的值．
题型八 实数的大小比较
【例题8】（2023•佛山开学）对于下列实数3，π﹣1，22，3大小排列正确的是（ ）
A．3＜22＜π﹣1＜3 B．π﹣1＜3＜22＜3
C．3＜π−1＜22＜3 D．3＜π−1＜3＜22
【分析】求出各无理数的近似值，再比较大小即可．
【解答】解：∵π≈3.14，
∴π﹣1≈2.14；
∵2≈1.41，3≈1.73，
∴22≈2.82，
∵3＞2.82＞2.14＞1.7，3，
∴3＜π﹣1＜22＜3．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟记各无理数的近似值是解题的关键．
【变式8-1】（2022秋•南召县期末）下列各数中最小的数是（ ）
A．﹣3B．−3C．﹣πD．3−8
【分析】根据负数比较大小的法则进行比较即可．
【解答】解：−3≈−1.73，﹣π≈﹣3.14，3−8=−2，
∵3.14＞3＞2＞1.73，
∴﹣3.14＜﹣3＜﹣2＜﹣1.73，即﹣π＜﹣3＜3−8＜−3．
故选：C．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知两个负数相比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
【变式8-2】（2022秋•长沙期末）下列四个实数中，最大的数是（ ）
A．2B．0C．﹣4D．π
【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出答案．
【解答】解：∵﹣4＜0＜2＜π，
∴最大的数是π，
故选：D．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，掌握2≈1.414，π≈3.14是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋•鄞州区期末）比较大小：5 35．（用“＞”或“＜”或“＝”连接）
【分析】根据实数的性质化简，故可比较．
【解答】解：∵5＞4=2，35＜38=2，
∴5＞35．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的性质．
【变式8-4】（2022秋•沈丘县期末）比较大小：10 22．（填“＞”“＝”或“＜”）
【分析】利用平方运算比较10与22的大小，即可解答．
【解答】解：∵（10）2＝10，（22）2＝8，
∴10＞8，
∴10＞22，
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
【变式8-5】（2022秋•衡东县期末）比较下列实数的大小：3−12 13．
【分析】由算术平方根的含义可得2736＞2536，可得32＞56=12+13，再利用不等式的性质可得答案．
【解答】解：∵2736＞2536，即32＞56=12+13，
∴32−12＞13，
∴3−12＞13．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是无理数的大小比较，算术平方根的含义，掌握无理数的大小比较的方法是解本题的关键．
【变式8-6】（2023•西湖区校级开学）将下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号把它们连接起来．
−12，﹣3，|﹣2|，94
【分析】将这些数表示在数轴上表示出来，根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大即可写出答案．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，94=32，
将这四个数在数轴上所示出来（如下图）：
∴这四个数的大小关系为：−3＜−12＜94＜|−2|．
【点评】本题考查了算术平方根，数轴与实数，掌握数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题的关键．
【变式8-7】对于任意的正实数a，b，c，且b＜c，则ba＜ca．请比较下列各组数的大小：
（1）5−14与14； （2）7+16与23．
【分析】（1）与5接近的两个平方数是4与9，接下来根据5＞4=2，可比较出5与1的大小，然后结合已知进一步比较即可；
（2）与7接近的两个平方数是4与9，接下来根据7＜9=3，比较7+与4的大小，然后结合已知进一步比较即可．
【解答】解：（1）因为5＞4=2，故5−1＞1，则5−14＞14；
（2）因为7＜9=3，故7+1＜4，23=46，则7+16＜23．
【点评】本题考查了实数大小比较的题目，解答本题的关键是掌握无理数大小的估算方法．
【变式8-8】比较下列各组数的大小．
（1）16与255； （2）32与1； （3）5−12与0.5．
【分析】（1）根据平方法进行实数的大小比较即可；
（2）根据作差法进行实数的大小比较即可；
（3）根据作差法进行实数的大小比较即可．
【解答】解：（1）因为162＝256，256＞255，
所以16＞255；
（2）因为32−1=32−22=3−22，
3＜4，4=2，
所以3＜2，
所以3−22＜0，
所以32＜1；
（3）∵5−12−0.5=5−12−12=5−22，
5＞4，4=2，
∴5＞2，
∴5−22＞0，
∴5−12＞0.5．
【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是掌握算术平方根的定义．
【变式8-9】设a=3−12，b=12，c=32，d＝4
（1）比较a与b两个数的大小；
（2）求|a﹣b|+c−d的值．
【分析】（1）先估算出3的范围，再变形，即可得出答案；
（2）先代入，再求出即可．
【解答】解：（1）∵3＜4，
∴3＜2，
∴3−1＜1，
∴3−12＜12，
即a＜b；
（2）∵a=3−12，b=12，c=32，d＝4，
∴原式＝|3−12−12|+32−4
=2−32+32−2
＝﹣1．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，绝对值，实数的大小比较，算术平方根等知识点，能估算出3的大小和正确去掉绝对值符号是解此题的关键．
题型九 实数的规律问题
【例题9】（2022秋•南岗区校级月考）若6≈2.449，60≈7.746，则0.006≈ ．
【分析】根据“一个正数扩大（或缩小）100倍，10000倍……，其算术平方根就扩大（或缩小）10倍，100倍……”进行计算即可．
【解答】解：∵60≈7.746，
∴0.006=6010000=60100≈7.746100=0.07746，
故答案为：0.07746．
【点评】本题考查算术平方根，掌握“一个正数扩大（或缩小）100倍，10000倍……，其算术平方根就扩大（或缩小）10倍，100倍……”是正确解答的关键．
【变式9-1】（2022春•香洲区校级期中）若30.3≈0.6694，33≈1.442，则3300≈ ．
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【解答】解：∵30.3≈0.6694，
∴3300=30.3×1000=30.3×10≈0.6694×10≈6.694，
故答案为：6.694．
【点评】本题主要考查了立方根，理解题意掌握立方根的性质是解题的关键．
【变式9-2】（2022春•呼和浩特期末）若325.36=2.938，3253.6=6.329，则3253600= ．
【分析】利用立方根特征求解．
【解答】解：因为根指数是3，所以被开方数需要三位三位地移动，立方根是一位一位地移动，
故答案为：63.29．
【点评】本题考查了立方根的性质，理解概念是解题的关键．
【变式9-3】（2022春•梁平区期末）已知31.12=1.038，311.2=2.237，3112=4.820，则31120= ．
【分析】根据立方根的性质即可求解．
【解答】解：∵31.12=1.038，
∴31120=10.38．
故答案为：10.38．
【点评】此题主要考查了立方根，解题的关键是掌握小数点的移动的规律．
【变式9-4】（2022春•綦江区校级月考）已知2.14≈1.463，21.4≈4.626，30.214≈0.5981，32.14≈1.289，若x≈462.6，则x＝ ，3−0.00214≈ ．
【分析】根据算术平方根的被开方数的扩大10000倍，算术平方根的值扩大100倍求解；根据负数的立方根是负数，立方根的被开方数缩小1000倍，立方根的值就缩小10倍求解．
【解答】解：∵21.4=4.626，
∴214000=462.6，
∴x＝214000，
∵32.14=1.289，
∴3−0.00214=−0.1289．
故答案为：214000，﹣0.1289．
【点评】本题考查了立方根和算术平方根，掌握算术平方根的被开方数的扩大（或缩小）100倍，算术平方根的值扩大（或缩小）10倍，立方根的被开方数扩大（或缩小）1000倍，立方根的值就扩大（或缩小）10倍是解题的关键．
【变式9-5】（2022春•宁南县校级月考）已知5.217≈2.284，52.17≈22.84．填空：
（1）0.05217≈ ，52170≈ ．
（2）若x≈0.02284，则x＝ ．
【分析】依据被开放数小数点向左或向右移动2n位，对应的算术平方根的小数点向左或向右移动n位求解即可．
【解答】解：（1）∵5.217=2.284，
∴0.05217=0.2284，52170=228.4
（2）∵x=0.02284，0.05217=0.2284，
x＝0.0005217．
故答案为：（1）0.2284；228.4；（2）0.0005217．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
【变式9-6】（2022秋•昌平区期中）观察下面的规律：0.03≈0.1732，0.3≈0.5477，3≈1.732，30≈5.477，300≈17.32，3000≈54.77．
（1）30000≈ ；
（2）若0.5≈0.7071，5≈2.236，则0.05≈ ．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则解决此题．
（2）根据二次根式的除法法则解决此题．
【解答】解：（1）∵3≈1.732，
∴30000=3×10000=3×10000=1003≈173.2．
故答案为：173.2．
（2）∵5≈2.236，
∴0.05=5100=5÷100=110×5=0.1×5≈0.2236．
故答案为：0.2236．
【点评】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决本题的关键．
【变式9-7】借助计算机可以求得42+32=5，442+332=55，4442+3332=555，…，仔细观察，你猜想44⋯42︸2018个+33⋯32︸2018个的值为（ ）
A．55⋯5︸2018个B．44⋯4︸2018个
C．33⋯3︸2018个D．55⋯5︸2017个
【分析】当根式内的两个平方和的底数为1位数时，结果为5，当根式内的两个平方和的底数为2位数时，结果为55，当根式内的两个平方和的底数为3位数时，结果为555，当根式内的两个平方和的底数为2016位数时，结果为2016个5．
【解答】解：∵42+32=5，
442+332=55
4442+3332=555，
…，
∴44⋯42︸2018+33⋯32︸2018=55⋯5︸2018．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用计算器进行数的开方，解题时先求出较简单的数，然后找出规律，推理出较大数的结果．
题型十 实数的新定义运算问题
【例题10】（2021春•霍林郭勒市期末）定义运算“*”的运算法则为：a∗b=1a−1b，比如2∗3=16，则(−327)∗(−4)= ．
【分析】求出−327的值，再根据定义运算“*”的运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣3）*（﹣4）
=−13+14
=−112，
故答案为：−112．
【点评】本题考查立方根，求出−327的值是解决问题的前提，理解定义运算的运算法则是正确计算的关键，
【变式10-1】规定运算：a△b＝|a﹣b|（a，b为实数）．
计算：(5△3)+(2△5)．
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．
【解答】解：根据题中的新定义得：5△3＝|5−3|＝3−5，2△5=|2−5|=5−2，
则原式＝3−5+5−2＝1．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
【变式10-2】（2021春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b=a+ba−b（a+b＞0），如3*2=3+23−2=5．请计算：
（1）8*7；
（2）6*（5*4）．
【分析】（1）根据定义的新运算a*b=a+ba−b，进行计算即可解答；
（2）根据定义的新运算，先算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）8*7=8+78−7
=15；
（2）6*（5*4）＝6*5+45−4
＝6*3
=6+36−3
＝1．
【点评】本题考查了实数的运算，理解并应用定义的新运算是解题的关键．
【变式10-3】（2022春•宜秀区校级月考）规定一种新的运算a△b＝ab﹣a+b+1，如3△4＝3×4﹣3+4+1，请比较（﹣3）△2与2△（﹣3）的大小．
【分析】由于规定一种新的运算：a△b＝a×b﹣a+b+1，那么根据法则首先分别求出：﹣3△2和2△（﹣3），然后比较大小即可求解．
【解答】解：∵a△b＝a×b﹣a+b+1，
∴（﹣3）△2=（﹣3）×2−（﹣3）+2+1＝4﹣22，
2△（﹣3）=2×（﹣3）−2+（﹣3）+1＝﹣42−2，
∵4﹣22＞−42−2，
∴﹣3△2＞2△（﹣3）．
【点评】此题考查实数的大小比较，解题的关键是首先正确理解定义的运算法则，然后根据法则计算即可解决问题．
【变式10-4】对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1．
（1）求（﹣2）#3的值；
（2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系；
（3）若x#（﹣4）＝9，求x的值．
【分析】（1）将a＝﹣2，b＝3代入公式计算可得；
（2）依据公式计算出3#（﹣2）的值，比较大小即可得；
（3）由原等式得出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：（1）（﹣2）#3＝（﹣2）×3﹣（﹣2）﹣1
＝﹣6+2﹣1
＝﹣5；
（2）3#（﹣2）＝3×（﹣2）﹣3﹣1
＝﹣6﹣3﹣1
＝﹣10，
而（﹣2）#3＝﹣5，
∴3#（﹣2）＜（﹣2）#3；
（3）∵x#（﹣4）＝9，
∴﹣4x﹣x﹣1＝9，
解得：x＝﹣2．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握新定义及实数的混合运算顺序和运算法则，也考查解一元一次方程的能力．
【变式10-5】（2022春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b=aba−b，如2⊗1=212−1=2，求：
（1）3⊗2的值；
（2）5⊗（4⊗2）的值．
【分析】（1）根据题目给出的信息列式计算即可；
（2）根据题目给出的信息列式计算即可．
【解答】解：（1）3⊗2=323−2=31=3；
（2）5⊗(4⊗2)=5⊗(424−2)=5⊗(42)=5⊗2=525−2=53．
【点评】本题主要考查了新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键．
【变式10-6】对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b．
（1）计算：9•3−125；
（2）填空：16*（−3−8） （−3−8）*16（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由．
【分析】（1）9•3−125=3×3•3(−5)×(−5)×(−5)即可计算
（2）根据题意的运算规则，即可进行判断
（3）对于实数ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a，则交换a，b位置有，b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b．
【解答】解：
（1）9•3−125=3×3•3(−5)×(−5)×(−5)=3×（﹣5）＝﹣15
（2）由运算规则得，
16*(−3−8)=16•(−3−8)−16+3−8=2
(−3−8)*16=(−3−8)•16+3−8−16=2
故16*(−3−8)=(−3−8)*16
故答案为：＝
（3）满足
理由如下
∵对于实数ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a
∴b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b＝a*b
∴这种运算“*”满足交换律
【点评】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可．
题型十一 实数的估算
【例题11】（2022•文山市模拟）若m=6，则估计m的值所在的范围是（ ）
A．1＜m＜2B．2＜m＜3C．2≤m＜3D．3＜m＜4
【分析】根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜6＜3，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜6＜3是解题关键．
【变式11-1】（2022秋•武义县期末）如图，数轴上点M表示的数可能是（ ）
A．2B．5C．8D．10
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数2、5、8、10的大小即可．
【解答】解：∵1＜2＜2，2＜5＜3，2＜8＜3，3＜10＜4，
而2.2＜5＜2.3，2.8＜8＜2.9，
∴数轴上点M表示的数可能是8，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式11-2】（2021•津南区一模）估计2+13的值（ ）
A．在2和3之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间
【分析】直接利用估算无理数的大小的方法得出3＜13＜4，进而得出答案．
【解答】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜13＜4，
∴5＜2+13＜6，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
【变式11-3】（2021春•渝北区期末）估计11−2的值在下列哪两个整数之间（ ）
A．3和4之间B．2和3之间C．1和2之间D．0和1之间
【分析】根据二次根式的意义，估算11的近似值，再判断11−2的近似值即可．
【解答】解：∵9＜11＜16，
∴3＜11＜4，
∴1＜11−2＜2，
故选：C．
【点评】本题考查无理数的估算，理解二次根式的意义是解决问题的关键．
【变式11-4】（2021春•海珠区校级月考）下列无理数中，与4最接近的是（ ）
A．8B．12C．14D．17
【分析】求出42＝16，再逐个判断即可．
【解答】解：∵42＝16，
∴与4最接近的数是17，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出每个数的大小是解此题的关键．
【变式11-5】（2022•庐阳区校级开学）与1+17最接近的整数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】估算无理数17的大小，进而确定1+17最接近的整数即可．
【解答】解：∵16＜17＜25，即4＜17＜5，
∴5＜1+17＜6，
∴1+17最接近整数5，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式11-6】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜10＜n，则（m﹣n）2023的值是（ ）
A．2023B．﹣2023C．1D．﹣1
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数10的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵3＜10＜4，而m＜10＜n，其中m，n为两个连续的整数，
∴m＝3，n＝4，
∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式11-7】（2022秋•慈溪市期中）阅读下面的文字，解答问题，大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即2＜7＜3，∴7的整数部分是2，小数部分是7−2．
（1）请解答：（1）13的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果5的小数部分是a，29的整数部分是b，求a+b−5的值．
（3）已知：x是5+13的整数部分，y是其小数部分，求x﹣y的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数13的大小即可；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数13、29的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；
（3）根据算术平方根的定义估算无理数13的大小，进而得出5+13的大小，确定x、y的值，再代入计算即可；
【解答】解：（1）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴13的整数部分为3，小数部分为13−3，
故答案为：3，13−3；
（2）∵2＜5＜3，5＜29＜6，
∴5的整数部分为2，小数部分a=5−2，29的整数部分为b＝5，
∴a+b−5=5−2+5−5=3，
答：a+b−5的值为3；
（3）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
∴8＜5+13＜9，
∴5+13的整数部分x＝8，小数部分y＝5+13−8=13−3，
∴x﹣y＝8−13+3＝11−13．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式11-8】（2022秋•莲都区期中）【阅读理解】∵4＜5＜9，即2＜5＜3．∴5的整数部分为2，小数部分为5−2，∴1＜5−1＜2，∴5−1的整数部分为1，小数部分为5−2．
【解决问题】已知：a是17−2的整数部分，b是17−3的小数部分，求：
（1）a，b的值；
（2）（b+4）2﹣（﹣a）3的平方根．
【分析】（1）先估算出17的大小，再估算出17−2的大小，从而得出a与b的值；
（2）把a与b代入要求的式子，再进行计算，然后根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜17＜5，
∴2＜17−2＜3，
∴a＝2，b=17−4；
（2）∵（b+4）2﹣（﹣a）3＝（17−4+4）2﹣（﹣2）3＝17+8＝25，
∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±5．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出4＜17＜5是解题关键．
题型十二 实数的运算
【例题12】（2022春•淮南期中）计算：
（1）计算：−327+|3−2|−16+2；
（2）计算：(−10)2⋅1100−25+(2)2．
【分析】（1）根据平方根的性质、立方根定义和绝对值定义进行化简，然后再进行计算即可；
（2）先根据平方根的性质进行化简，然后再进行计算即可．
【解答】解：（1）−327+|3−2|−16+2
=−3+3−2−4+2
=0−2+2−4
＝﹣4；
（2）(−10)2⋅1100−25+(2)2
=10×110−5+2
＝1﹣5+2
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握平方根的性质、立方根定义和绝对值定义，是解题的关键．
【变式12-1】（2022春•源城区校级期中）计算：（3）2﹣|2−9|−3−27．
【分析】直接利用立方根的性质、绝对值的性质、平方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣（3−2）﹣（﹣3）
＝3﹣3+2+3
=2+3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【变式12-2】（2022春•乐昌市校级期中）计算：3−27−14+30.125+31−6364．
【分析】直接利用立方根的性质、平方根的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝﹣3−12+0.5+14
＝﹣234．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【变式12-3】计算：
（1）3−827×14−(−2)2； （2）3−25+|3−3|+31−6364．
【分析】（1）直接利用立方根以及平方根的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用立方根以及平方根的性质分别化简得出答案；
【解答】解：（1）原式=−23×12−2
＝﹣213；
（2）原式=3−5+3−3+14
=−74；
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【变式12-4】（2022春•杭锦后旗期中）计算
（1）﹣12222+364−（﹣1）×9；
（2）（﹣2）2+3−27+3−|2−3|+25．
【分析】（1）直接利用立方根的性质、平方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用立方根的性质、平方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+4+1×3
＝﹣1+4+3
＝6；
（2）原式＝4﹣3+3−（3−2）+5
＝4﹣3+3−3+2+5
＝6+2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
【变式12-5】（2022春•阳东区期中）计算：﹣22×14−38+9×（﹣1）2023．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：﹣22×14−38+9×（﹣1）2023
＝﹣4×12−2+3×（﹣1）
＝﹣2﹣2﹣3
＝﹣7．
【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【变式12-6】（2022春•大荔县校级月考）计算：25+36+3−8+|2−5|．
【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．
【解答】解：原式=25+6−2+5−2=35+2．
【点评】本题主要考查了实数的混合计算，掌握相关计算法则是解题的关键．
【变式12-7】（2022春•漳平市期中）计算：−12021+(−1)2+3−8−|3−2|．
【分析】根据算术平方根，立方根，绝对值的意义以及有理数乘方进行计算即可得到答案．
【解答】解：−12021+(−1)2+3−8−|3−2|
=−1+1−2−(2−3)
=−1+1−2−2+3
=−4+3．
【点评】本题主要考查了实数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
题型十三 实数的实际应用
【例题13】（2021春•赣州期中）用一张面积为64cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为4：3的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是60cm2吗？请通过计算说明．
【分析】设长方形纸片的长是4xcm，宽是3xcm，根据长方形的面积公式求出x，进而求出长方形纸片的长与宽，再根据正方形面积求出边长，比较大小，得出结论．
【解答】解：设长方形纸片的长是4xcm，宽是3xcm．
∴4x•3x＝60，
解得x＝±5，
∵x＞0，
∴x=5，
长：45cm，宽35；
正方形纸片边长：64=8（cm），
∵45＞8，
∴该长方形纸片的面积不可能是60cm2．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义的用法，根据题意列出等式是解题关键．
【变式13-1】（2021秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 cm．
【分析】根据8个小正方体的体积之和等于大正方体的体积64cm3，列方程可求出答案．
【解答】解：设小正方体的棱长为xcm，由题意得，
8x3＝64，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查立方根，利用体积公式得出8x3＝64是解决问题的关键．
【变式13-2】（2022秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（ ）
A．3B．5C．2D．2
【分析】因为正方形的面积与长方形的面积相等，可知正方形的边长．
【解答】解：∵长方形的长为2，宽为1，
∴长方形的面积：2×1＝2，
设正方形的边长为a，则可得：a2＝2，
∴a=±2，
∵a是正方形的边长，即a＞0，
∴a=2，
故选：C．
【点评】本题考查了长方形和正方形的面积，平方根的定义，掌握等积变形是解题的关键．
【变式13-3】（2022春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？
【分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解．
【解答】解：由题意可得R＝5Ω，t＝2s，Q＝40J，
∴40＝I2×5×2，
∴I2＝4，
∴I＝±2（负值不符合实际情况，舍去）
∴电流的值是2A．
【点评】本题考查了二次方程的实际应用，解题关键在于能够分析题目列出方程式．
【变式13-4】（2022秋•越城区期中）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是72cm2，求这个长方形的周长．
【分析】设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，根据面积是72cm2列方程求出x的值，然后根据周长公式计算即可．
【解答】解：设这个长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
由题意得：2x⋅x＝72，即x2＝36，
∵x＞0，
∴x＝6，即这个长方形的宽为6cm，长为12cm，
则这个长方形的周长2×（12+6）＝36（cm）．
【点评】本题考查了实数的实际应用，根据题意列出方程是解答本题的关键．
【变式13-5】（2021春•岳池县期中）如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长．
【分析】设小长方形的宽为xcm，长为2xcm，根据题意列等式，解出即可．
【解答】解：设小长方形的宽为xcm，长为2xcm．
根据题意得2x•x＝162，
解得x＝±9，
∵x＞0，
∴x＝9，
2x＝18（cm），
答：正方形纸板的边长18cm．
【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根定义，根据题意列出等式是解题关键．
【变式13-6】（2022春•余干县期中）小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
【分析】设长方形纸片的长为4a，宽为3a，根据面积计算出长和宽，在求出原正方形的边长，比较大小即可得出结论．
【解答】解：∵900=30（cm），
∴原正方形纸片的边长为30cm，
设长方形纸片的长为4a，宽为3a，
由题意知4a×3a＝600，
解得a＝52（舍负），
∴长方形纸片的长为52×4＝202（cm），宽为52×3=152（cm），
∵202＜30，
∴同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点评】本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键．
【变式13-7】（2022春•海沧区校级期末）如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16πcm2的圆？并计算说明．
【分析】根据长方形的长宽比，设出长和宽，根据长方形的面积公式列出方程，求出长方形的长，然后根据圆的面积公式求出圆的半径，进而求得圆的直径，最后用长方形的长除以圆的直径，得出结果．
【解答】解：∵长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，
∴设长方形的长为4xcm，宽为3xcm，
由题知，4x•3x＝612，
12x2＝612，
x2＝51，
∵x＞0，
∴x=51（cm），
长方形的长：4x＝451（cm），
长方形的宽：3x＝351（cm），
设圆的半径为r，
∵πr2＝16π，
∴r2＝16，
∵r＞0，
∴r＝4，
圆的直径＝2r＝8cm，
451÷8=512，
∵7＜51＜8，
∴3.5＜512＜4，
∴在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出3个面积为16π的圆．
【点评】本题考查算术平方根，用方程思想、求算术平方根得出长方形的长和圆的半径是解本题的关键．解题技巧提炼
1、一般地，如果一个正数x的平方等于a，即 x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
2、 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
3、一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根.
解题技巧提炼
1、求一个正数的平方根就是看哪两个数的平方等于这个正数，这两个数就是正数的平方根，其中正的那个为该数的算术平方根，0的算术平方根和平方根都是0.
2、求立方根就是看哪个数的立方等于这个数，正数的立方根有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根为0，立方根为其本身的数有±1,0.
解题技巧提炼
（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数；
（2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环.
解题技巧提炼
本题采用分类法解答，可先把题目中所列各数分成有理数和无理数两类，再从有理数中找整数及分数.
解题技巧提炼
1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
2、数a的倒数是1a(a≠0).
3、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
解题技巧提炼
1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
解题技巧提炼
算术平方根a具有双重非负性,即被开方数a≥0且a≥0，a 中隐含条件
a≥0要灵活运用.
2、几个非负数的和等于零，则每个非负数的值都等于零，据此得出关于字母的方程，运用方程思想求相关字母的值.
解题技巧提炼
常用的实数大小比较的方法：
正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；两个正实数，绝对值大
的数较大；两个负实数，绝对值大的数反而小.
（2）平方法：两数平方后再比较大小；
（3）作差法：通过相减判断得到的差的正负来比较大小；
（4）用中间量法比较大小，先找个中间量帮助比较出两个同分母的分数的分子的大小，从而确定它们的大小.
解题技巧提炼
1、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动两位，其算术平方根的小数点相应向左（右）移动一位.
2、利用计算器探究发现，被开方数的小数点向左（右）移动三位，其立方根的小数点相应向左（右）移动一位.
解题技巧提炼
根据新运算定义的方法列出式子，再根据实数的运算进行计算即可.
解题技巧提炼
估算a（a≥0）时，首先要确定a的整数部分，根据算术平方根的定义，得出a在哪两个连续的整数之间，从而确定a的整数部分和小数部分.
解题技巧提炼
实数的混合运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.有理数的运算律实数同样适用.
解题技巧提炼
解决这类问题的关键是列方程，对于最后的结果，一定要检验是否符合实际意义.