2023-2024学年四川省乐山市市中区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年四川省乐山市市中区七年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数和负数.若某地某日最高气温零上5℃记作：+5℃，则该地某日最低气温为零下3℃，记作( )
A. −3℃B. +3℃C. −8℃D. +8℃
2.下列立体图形如图放置，其中同一几何体的左视图与主视图不同的是( )
A. B. C. D.
3.以下说法中正确的是( )
A. 12πab的系数为12B. 3ab2与−3a2b是同类项
C. 22x2y3的次数是7D. m3+2m2n2−5n2是四次三项式
4.如图，AB//CD，若∠2=135∘，则∠1的度数是( )
A. 30∘
B. 45∘
C. 60∘
D. 75∘
5.如图，小明的家在A处，他想尽快赶到学校B处，共有①②③条线路可走，他选择第②条线路，用几何知识解释其道理正确的是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间，线段最短
C. 连结两点的线段叫做线段的长度
D. 垂线段最短
6.已知a−b=2，则代数式2b−2a+4的值是( )
A. −2B. −1C. 0D. 1
7.点O、A、B、C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC=1，OA=OB.若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为( )
A. 1+aB. 1−aC. a−1D. −a−1
8.若|m|=3，n2=4，且|m−n|=n−m，则m+n的值为( )
A. ±1B. ±5C. 1或5D. −1或−5
9.如图，已知直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，OF平分∠AOE.若∠COF=36∘，则∠BOD的度数为( )
A. 20∘B. 18∘C. 16∘D. 14∘
10.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…第n个三角数记为an，计算a2024−a2023的值为( )
A. 2021B. 2022C. 2023D. 2024
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若α=36∘18′，则α的补角为______.
12.用“>”、“<”或“=”填空：−3.14______−π.
13.中国太空站距离地球约400公里，每秒绕地球飞行7.8千米，大约每90分钟绕地球飞行一圈，飞行路程约42000000米，42000000用科学记数法记为______.
14.已知3x2ym+1与−2xn−2y3(m、n是常数)的差是单项式，则(m−n)3=______.
15.如图所示的是一个正方体的展开图，它的每一个面上都写有一个自然数，并且相对的两个面的两个数字之和相等，那么a+b−2c=______.
16.如图是一盏可调节台灯，如图为示意图.固定支撑杆AO⊥底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变.现调节台灯，使外侧光线CD//MN，CE//BA，若∠BAO=158∘，则∠DCE=______.
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
计算：(18+113−1.25)÷(−124)−(−1)2024.
18.(本小题9分)
(1)如图，已知A、B、C三点，画射线BA、线段BC、直线AC；
(2)已知△ABC的面积为6，AC=3，求点B到直线AC的最短距离.
19.(本小题9分)
先化简，再求值：(2x2y−3xy)−2(x2y−xy+12xy2)+xy，其中|x−2|+(y+12)2=0.
20.(本小题10分)
如图8，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠E=∠3.求证：AD平分∠BAC.
请完成下列证明并填空(理由或数学式).
证明：∵AD⊥BC，EC⊥BC(______)，
∴AD//______.
∴∠1=∠E(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠3(______).
∵∠E=∠3(已知)，
∴∠1=∠2(______).
∴AD平分∠BAC(______).
21.(本小题10分)
若用点A、B、C分别表示有理数a、b、c，如图：
(1)判断下列各式的符号：a+b______0，c−a______0，c−b______0；
(2)化简：|a+b|−|c−a|−|c−b|.
22.(本小题10分)
如图，线段AD=28cm，点B在线段AD上，C为BD的中点，且AB=13CD.
(1)图中共有多少条线段；
(2)求线段BC的长.
23.(本小题10分)
从2024年开始，我市中考体育总分将增加到70分.为适应新中考要求，嘉定中学计划在网上购买足球和跳绳共学生体育锻炼.在查阅天猫网店后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元.现有甲乙两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案.甲网店：买一个足球送一条跳绳，乙网店：足球和跳绳都按定价的90%付款.已知该学校要购买足球80个，跳绳x条(x>80).
(1)若在甲网店购买，需付款______元(用含x的代数式表示)；若在乙网店购买，需付款______元(用含x的代数式表示).
(2)当x=200时，通过计算说明学校在哪家网店购买较为合算.
(3)当x=200时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元.
24.(本小题10分)
(1)已知，点C是线段AB的中点，点D是线段AB上任一点(不与点C重合).
①如图1，若点D在点C的右侧，求证：CD=12(AD−BD)；
②如图2，若点D在点C的左侧，请直接写出CD、AD、BD之间的数量关系；
(2)类比地，如图3，OC平分∠AOB，OD是∠AOB内任一射线，判断∠COD、∠AOD、∠BOD之间的数量关系，并说明理由.
25.(本小题12分)
阅读材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x−0|，这个结论我们可以推广到数轴上任意两点之间的距离，如图，若数轴上两点A、B分别对应有理数a、b，则A、B两点之间的距离为AB=|a−b|.
根据阅读材料，回答下列问题：
(1)数轴上表示2和−3的两点之间的距离是______；
(2)数轴上表示x和−2的两点A、B间的距离是______，若AB=3，则x ______；
(3)求|x−6|−|x+2|的最大值，并求出x的取值范围；
(4)互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C.若|a−b|+|c−a|=|b−c|，请分析判断在点A、B、C中哪个点居于另外两点之间.
26.(本小题13分)
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中∠A=30∘，∠B=60∘，∠D=∠E=45∘.
(1)如图1，∠1与∠3的数量关系是______，理由是______；
(2)如图1，若∠BCE=120∘，求∠2的度数；
(3)如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线BC的上方时，探究以下问题：
①当DE//AB时，求出∠BCD的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接∠BCD角度所有可能的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：某地某日最高气温零上5℃记作：+5℃，则该地某日最低气温为零下3℃，记作−3℃，
故选：A.
正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
本题考查正数和负数，理解具有相反意义的两是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.左视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；
B.左视图是圆，主视图都是矩形，故选项B符合题意；
C.左视图与主视图都是三角形；故选项C不合题意；
D.左视图与主视图都是圆，故选项D不合题意；
故选：B.
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，进而分别判断得出答案．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
3.【答案】D
【解析】解：A.12πab的系数为12π，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.3ab2与−3a2b所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.22x2y3的次数是5，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.m3+2m2n2−5n2是四次三项式，原说法正确，故本选项符合题意．
故选：D.
选项A、C根据单项式的定义判断即可；选项B根据同类项的定义判断即可；选项D根据多项式的定义判断即可．
本题考查了单项式，多项式以及同类项，掌握相关定义是解答本题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB//CD，若∠2=135∘，
∴∠2的同位角为135∘.
∴∠1=180∘−135∘=45∘.
故选B.
要求∠1的度数，只需根据两直线平行，同位角相等的性质求得∠1的邻补角．
本题主要考查平行线的性质以及邻补角的性质．
5.【答案】B
【解析】解：∵两点之间，线段最短，
∴选择第②条线路比较近．
故选：B.
根据线段的性质解答即可．
本题考查的是线段的性质，熟知两点之间，线段最短是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵a−b=2，
∴2b−2a+4
=−2(a−b)+4
=−2×2+4
=0，
故选：C.
将原式变形后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵C所表示的数为a，
∴OC=−a，
∵AC=1，
∴OA=1−a，
∴OB=OA=1−a，
∴点B所表示的数为1−a.
故选：B.
利用点C和AC长求出点A，再利用OA=OB即可求出点B.
本题考查了数轴，线段的和差关系及各数的取值是本题解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵|m|=3，n2=4，
∴m=±3，n=±2，
∵|m−n|=n−m，
∴n−m≥0，即n≥m，
∴n=2，m=−3或n=−2，m=−3，
∴m+n=−1或m+n=−5，
故选：D.
先根据绝对值运算、平方根的定义分别求出m，n的值，再代入计算即可得．
本题考查了绝对值、平方根，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵OE⊥OC，
∴∠COE=90∘，
∵∠COF=36∘，
∴∠EOF=∠COE−∠COF=90∘−36∘=54∘，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=54∘，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=54∘−36∘=18∘，
∴∠BOD=∠AOC=18∘，
故选：B.
由垂直的定义得出∠COE=90∘，即可求出∠EOF的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOF的度数，从而求出∠AOC的度数，最后根据对顶角相等即可求出∠BOD的度数．
本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，求出∠AOC的度数是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意：a2−a1=3−1=2，
a3−a2=6−3=3，
a4−a3=10−6=4，
a5−a4=15−10=5，
…，
∴an−an−1=n，
∴a2024−a2023=2024.
故选：D.
先求出：a2−a1=3−1=2，a3−a2=6−3=3，a4−a3=10−6=4，a5−a4=15−10=5，…根据规律可以写出a2024−a2023的结果．
本题考查规律型：数字的变化类问题，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后即可解决问题．
11.【答案】143∘42′
【解析】解：∵α=36∘18′，
∴α的补角=180∘−36∘18′=143∘42′.
故答案为：143∘42′.
用180∘减去∠α的度数，求出的差就是α的补角的度数．
本题主要考查补角，熟练掌握求一个角的补角的方法是解决问题的关键．
12.【答案】>
【解析】解：∵|−3.14|=3.14，|−π|=π，
3.14<π，
∴−3.14>−π，
故答案为：>.
根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
本题考查了有理数的大小比较和绝对值的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
13.【答案】4.2×107
【解析】解：42000000=4.2×107，
故答案为：4.2×107.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】−8
【解析】解：∵3x2ym+1与−2xn−2y3(m、n是常数)的差是单项式，
∴m+1=3，n−2=2，
∴m=2，n=4，
∴(m−n)3=(2−4)3=−8，
故答案为：−8.
根据同类项的定义求得m，n的值后代入(m−n)3中计算即可．
本题考查同类项，代数式求值，结合已知条件求得m，n的值是解题的关键．
15.【答案】38
【解析】解：由题意8+a=b+4=c+25
所以b−c=21，a−c=17，
所以a+b−2c=(a−c)+(b−c)=17+21=38.
故答案为：38.
由已知条件相对两个面上所写的两个数之和相等得到：8+a=b+4=c+25，进一步得到a−c，b−c的值，整体代入a+b−2c=(a−c)+(b−c)求值即可．
本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．解答本题的关键是得到a−c，b−c的值后用这些式子表示出要求的原式．
16.【答案】68∘
【解析】解：过点B作BF//CD，延长OA交BF于点F，如图，
∵AO⊥MN，
∴∠AON=90∘，
∵CD//MN，
∴CD//BF//MN，
∴∠AFB=∠AON=90∘，∠BCD+∠CBF=180∘，
∵∠BAO=158∘，
∴∠ABF=∠BAO−∠AFB=68∘，
∵CE//AB，
∴∠BCE+∠ABC=180∘，
∴∠BCE+∠CBF+∠ABF=180∘，
得∠BCE+∠CBF=112∘，
∵∠CBF+∠BCE+∠ECD=180∘，
∴∠ECD=180∘−(∠CBF+∠BCE)=68∘.
故答案为：68∘.
过点B作BF//CD，延长OA交BF于点F，由平行线的性质可求得∠AFB=90∘，从而可求∠ABF的度数，再由平行线的性质可得∠BCE+∠ABC=180∘，∠BED+∠CBF=180∘，从而可求∠ECD的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适当的辅助线．
17.【答案】解：原式=(18+43−54)×(−24)−1
=18×(−24)+43×(−24)−54×(−24)−1
=−3−32+30−1
=−6.
【解析】将原式变形后利用乘法分配律及有理数的乘方计算即可．
本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：如图，
(2)△ABC的面积为6，AC=3，
∴B点到射线AC的距离为：6×2÷3=4.
【解析】(1)按要求作出相应的图形即可；
(2)利用三角形的面积公式进行求解即可．
本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．
19.【答案】解：(2x2y−3xy)−2(x2y−xy+12xy2)+xy
=2x2y−3xy−2x2y+2xy−xy2+xy
=−xy2，
∵|x−2|≥0，(y+12)2≥0，|x−2|+(y+12)2=0，
∴x−2=0，y+12=0.
∴x=2，y=−12.
∴原式=−2×(−12)2
=−2×14
=−12.
【解析】先化简整式，再根据非负数的和为零确定x、y的值，最后代入求值．
本题考查了整式的化简求值，掌握去括号法则、合并同类项法则，非负数的性质等知识点是解决本题的关键．
20.【答案】已知 EC 两直线平行，内错角相等 等量代换 角平分线定义
【解析】解：∵AD⊥BC，EC⊥BC(已知)，
∴AD//EC.
∴∠1=∠E(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠3(两直线平行，内错角相等).
∵∠E=∠3(已知)，
∴∠1=∠2(等量代换).
∴AD平分∠BAC(角平分线定义).
故答案为：已知，EC；两直线平行，内错角相等；等量代换；角平分线定义．
证AD//EC，再由平行线的性质得∠1=∠E，∠2=∠3，然后由∠E=∠3得∠1=∠2，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】<><
【解析】解：(1)由数轴可得a|b|，则
a+b<0，c−a>0，c−b<0，
故答案为：<；>；<；
(2)|a+b|−|c−a|−|c−b|
=−a−b−(c−a)−(b−c)
=−a−b−c+a−b+c
=−2b.
(1)由数轴可得a|b|，从而可得a+b<0，c−a>0，c−b<0；
(2)根据绝对值的性质进行化简即可．
本题考查实数与数轴，绝对值，结合已知条件得出a|b|是解题的关键．
22.【答案】解：(1)线段有AB、AC、AD，BC、BD，CD，
答：共有6条线段；
(2)设AB=xcm，则CD=3xcm，
∵C为BD的中点，
∴BC=CD=3x，
∴3x+3x+x=28，
解得x=4，
∴BC=3×4=12(cm).
【解析】(1)按顺序计算即可得出线段数量；
(2)设AB=xcm，则BC=CD=3xcm，根据题意列出方程求解即可．
本题考查的是两点间的距离，解一元一次方程，根据题意得出各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键．
23.【答案】(30x+9600)(27x+10800)
【解析】解：(1)若在甲网店购买，需付款150×80+30(x−80)=(30x+9600)(元)；
若在乙网店购买，需付款(150×80+30x)×90%=(27x+10800)(元)；
故答案为：(30x+9600)；(27x+10800)；
(2)当x=200时，
30x+9600=30×200+9600=15600(元)，
27x+10800=27×200+10800=16200(元)，
∵15600<16200，
∴在甲网店购买合算；
(3)当x=200时，先从甲网店购买80个足球，送80条跳绳，需付款150×80=12000(元)，
再从乙网店购买120条跳绳，需付款120×30×90%=3240(元)，
共付款12000+3240=15240(元)，
∵15240<15600<16200，
∴省钱的购买方案是：先从甲网店购买80个足球，送80条跳绳，再从乙网店购买120条跳绳，共付款15240元．
(1)根据题意列得代数式即可；
(2)将x=200代入所列代数式中计算后比较大小即可；
(3)根据题意列式计算即可．
本题考查列代数式及代数式求值，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键．
24.【答案】(1)①证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD=BC−BD，
∴CD=AC−BD=AD−CD−BD，
∴2CD=AD−BD，
∴CD=12(AD−BD)；
②解：CD=12(BD−AD)，理由如下：
∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵CD=AC−AD，
∴CD=BC−AD=BD−CD−AD，
∴2CD=BD−AD，
∴CD=12(BD−AD)；
(2)解：∠COD=12(∠BOD−∠AOD)，理由如下：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOD+∠COD=∠AOC，∠BOC=∠BOD−∠COD，
∴∠AOD+∠COD=∠BOD−∠COD，
∴2∠COD=∠BOD−∠AOD，
∴∠COD=12(∠BOD−∠AOD).
【解析】(1)①根据线段的和差求解即可；②根据线段的和差求解即可；
(2)根据角平分线定义及角的和差求解即可．
此题考查了线段的和差及角的计算，熟记线段中点定义及角平分线定义是解题的关键．
25.【答案】5|x+2|−5或1
【解析】解：(1)2−(−3)=5，
∴表示2和−3的两点之间的距离是5，
故答案为：5；
(2)|x−(−2)|=|x+2|，
∵|x+2|=3，
∴x=−5或1，
故答案为：|x+2|，−5或1；
(3)|x−6|−|x+2|表示的是x与6和x与−2的距离的差，
当x≤−2时，6−(−2)=8，
∴x的取值范围为x≤−2；
(4)∵|a−b|+|c−a|=|b−c|，
∴AB+AC=BC，
∴点A位于点B、C之间．
(1)绝对值内相减即可解答；
(2)绝对值内相减，再代入3即可解答；
(3)分析差最大时的点应在−2或−2的左侧即可解答；
(4)根据已知判断AB+AC=BC，即可解答．
本题考查了数轴，绝对值的性质的应用是解题关键．
26.【答案】∠1=∠2同角的余角相等
【解析】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，
∴∠1=∠2.
故答案为：∠1=∠2；同角的余角相等．
(2)∵∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，
∴∠1+2∠2+∠3=180∘，
又∵∠BCE=120∘，
∴∠1+∠2+∠3=120∘，
∴∠2=60∘；
(3)①延长BC交DE于点F，如图1所示：

∵∠B=60∘，DE//AB，点D在直线BC的上方，
∴∠DFC=180∘−∠B=120∘，
∵∠D=∠E=45∘，
∴∠DCF=180∘−(∠DFC+∠D)=180∘−(120∘+45∘)=15∘，
∴∠BCD=180∘−∠DCF=165∘；
②∵改变三角尺DCE的位置，且点D在直线BC的上方，
∴当两块三角尺存在一组边互相平行的情况有以下五种：
(ⅰ)当CE//AB时，如图2所示：

则∠ACE=∠A=30∘，
由(1)可知：∠BCD=∠ACE=30∘；
(ⅱ)当DE//BC时，如图3所示：

则∠BCD=∠D=45∘；
(ⅲ)当CD//AB时，如图4所示：

则∠ACD=∠A=30∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=120∘；
(ⅳ)当DE//AC时，如图5所示：

则∠ACD=∠D=45∘，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135∘；
(ⅴ)当DE//AB时，与(3)①相同，∠BCD=165∘.
综上所述：∠BCD的度数为30∘或45∘或120∘或135∘或165∘.
(1)由∠ACB=∠DCE=90∘得∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘，据此可得出答案；
(2)由∠1+∠2=90∘，∠2+∠3=90∘得∠1+2∠2+∠3=180∘，再根据∠BCE=120∘得∠1+∠2+∠3=120∘，据此可得出∠2的度数；
(3)①延长BC交DE于点F，由平行线的性质得∠DFC=180∘−∠B=120∘，进而得∠D=∠E=45∘，则∠DCF=15∘，再根据邻补角的定义可得∠BCD的度数；
②依题意有以下五种情况(ⅰ)当CE//AB时，(ⅱ)当DE//BC时，(ⅲ)当CD//AB时，(ⅳ)当DE//AC时，(ⅴ)当DE//AB时，根据每一种情况画出图形，利用平行线的性质可得出∠BCD的度数．
此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，理解查了平行线的性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．