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福建省福州第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份福建省福州第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷（Word版附解析），文件包含福建省福州第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题原卷版docx、福建省福州第一中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z满足，其中i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为正项等比数列，是它前n项和，若，且与的等差中项为3，则等于（ ）
A B. C. D.
4. 已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且三点共线，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知O为坐标原点，双曲线左、右焦点分别为，过点的直线l与E的右支交于点P，Q设与的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是，则，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量的坐标为
B. “”是“直线与直线平行”充要条件
C. 若正数a，b满足，且，则
D. 已知为两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若，则
10. 已知为数列的前n项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（ ）
A. 常数数列B. 是等比数列
C. 为递减数列D. 是等差数列
11. 在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A. 过点E，F，G的平面截三棱锥所得截面是菱形
B. 平面平面BCD
C. 异面直线AC，BD互相垂直
D. 三棱锥外接球的表面积为
12. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到点的距离为4，过点的直线l交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交y轴于，两点，设线段的中点为，则（ ）
A. B. 的取值范围为
C. 若，则直线l的斜率为D. 有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________．
14. 写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．
①中心在原点，焦点在y轴上；②离心率为；③焦距大于8．
15. 已知的半径是1，点P满足，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，设，则当___________时，取得最大值．
16. 已知正四面体的棱长为2，为的中点，为中点，是棱上的动点，是平面内的动点，则当取得最小值时，线段的长度等于___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求的大小；
（2）若，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把的面积分成相等的两部分，求的最小值．
18. 已知数列的前项积为，且．
（1）证明：是等差数列；
（2）从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：；
（2）试求BF的长，使平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为．
20. 某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A、B、C三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．
（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A”的概率；
（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B”的天数为X，求X的分布列及数学期望．
21. 已知椭圆的上、下顶点分别是A，B，点E（异于A，B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为，椭圆C的短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P，N，若为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
22. 已知函数有两个不同的零点，分别记为，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立（e为自然对数的底数），求正数k的取值范围．
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2. 复数z满足，其中i为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知为正项等比数列，是它前n项和，若，且与的等差中项为3，则等于（ ）
A B. C. D.
4. 已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 设直线与圆交于，两点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且三点共线，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，半圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知O为坐标原点，双曲线左、右焦点分别为，过点的直线l与E的右支交于点P，Q设与的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是，则，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数，若关于x的不等式有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确是（ ）
A. 向量在向量上的投影向量的坐标为
B. “”是“直线与直线平行”充要条件
C. 若正数a，b满足，且，则
D. 已知为两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若，则
10. 已知为数列的前n项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（ ）
A. 常数数列B. 是等比数列
C. 为递减数列D. 是等差数列
11. 在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A. 过点E，F，G的平面截三棱锥所得截面是菱形
B. 平面平面BCD
C. 异面直线AC，BD互相垂直
D. 三棱锥外接球的表面积为
12. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上的点到点的距离为4，过点的直线l交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交y轴于，两点，设线段的中点为，则（ ）
A. B. 的取值范围为
C. 若，则直线l的斜率为D. 有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，则__________．
14. 写出一个同时满足下列性质①②③的椭圆的标准方程为___________．
①中心在原点，焦点在y轴上；②离心率为；③焦距大于8．
15. 已知的半径是1，点P满足，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，设，则当___________时，取得最大值．
16. 已知正四面体的棱长为2，为的中点，为中点，是棱上的动点，是平面内的动点，则当取得最小值时，线段的长度等于___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，17题10分，其他小题各12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求的大小；
（2）若，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且PQ把的面积分成相等的两部分，求的最小值．
18. 已知数列的前项积为，且．
（1）证明：是等差数列；
（2）从中依次取出第1项，第2项，第4项……第项，按原来顺序组成一个新数列，求数列的前项和．
19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
（1）求证：；
（2）试求BF的长，使平面AEF与平面PCD夹角的余弦值为．
20. 某公司食堂每天中午给员工准备套餐，套餐只有A、B、C三种，公司规定：每位员工第一天在3个套餐中任意选一种，从第二天起，每天都是从前一天没有吃过的2种套餐中任意选一种．
（1）若员工甲连续吃了3天的套餐，求第三天吃的是“套餐A”的概率；
（2）设员工甲连续吃了5天的套餐，其中选择“套餐B”的天数为X，求X的分布列及数学期望．
21. 已知椭圆的上、下顶点分别是A，B，点E（异于A，B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为，椭圆C的短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P，N，若为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．
22. 已知函数有两个不同的零点，分别记为，，且．
（1）求实数的取值范围；
（2）若不等式恒成立（e为自然对数的底数），求正数k的取值范围．
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