中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题15 函数与其他实际运用问题（2份打包，原卷版+教师版）

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题型精讲
题型一：拱桥类问题
【例1】甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面 SKIPIF 1 < 0 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽 SKIPIF 1 < 0 ，桥拱顶点 SKIPIF 1 < 0 到水面的距离是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
（2）一只宽为 SKIPIF 1 < 0 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 时，桥下水位刚好在 SKIPIF 1 < 0 处．有一名身高 SKIPIF 1 < 0 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，该抛物线在 SKIPIF 1 < 0 轴下方部分与桥拱 SKIPIF 1 < 0 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，平移后的函数图象在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值随 SKIPIF 1 < 0 值的增大而减小，结合函数图象，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1）y= SKIPIF 1 < 0 x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的头顶不会触碰到桥拱，理由见详解；（3）5≤m≤8
【分析】（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，根据待定系数法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y= SKIPIF 1 < 0 x2+2x，得到对应的y值，进而即可得到结论；
（3）根据题意得到新函数解析式，并画出函数图像，进而即可得到m的范围．
【详解】（1）根据题意得：A(8，0)，B(4，4)，设二次函数的解析式为：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次函数的解析式为：y= SKIPIF 1 < 0 (x-8)x= SKIPIF 1 < 0 x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由题意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y= SKIPIF 1 < 0 x2+2x，得y= SKIPIF 1 < 0 ×12+2×1= SKIPIF 1 < 0 ＞1.68，
答：他的头顶不会触碰到桥拱；
（3）由题意得：当0≤x≤8时，新函数表达式为：y= SKIPIF 1 < 0 x2-2x，
当x＜0或x＞8时，新函数表达式为：y=- SKIPIF 1 < 0 x2+2x，
∴新函数表达式为： SKIPIF 1 < 0 ，∵将新函数图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，
∴ SKIPIF 1 < 0 （m，0）， SKIPIF 1 < 0 （m+8，0）， SKIPIF 1 < 0 （m+4，-4），如图所示，
根据图像可知：当m+4≥9且m≤8时，即：5≤m≤8时，平移后的函数图象在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的值随 SKIPIF 1 < 0 值的增大而减小．
题型二：实际运用类问题
【例2】如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体 SKIPIF 1 < 0 处，另一端固定在离地面高2米的墙体 SKIPIF 1 < 0 处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度 SKIPIF 1 < 0 （米）与其离墙体 SKIPIF 1 < 0 的水平距离 SKIPIF 1 < 0 （米）之间的关系满足 SKIPIF 1 < 0 ，现测得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两墙体之间的水平距离为6米．
图2
（1）直接写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 SKIPIF 1 < 0 米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 米；（3）352
【分析】（1）根据题意，可直接写出点A点B坐标，代入 SKIPIF 1 < 0 ，求出b、c即可；
（2）根据（1）中函数解析式直接求顶点坐标即可；
（3根据 SKIPIF 1 < 0 ，先求得大棚内可以搭建支架的土地的宽，再求得需搭建支架的面积，最后根据每平方米需要4根竹竿计算即可．
【详解】解：（1）由题意知点A坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点B坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
将A、B坐标代入 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
即大棚最高处到地面的距离为 SKIPIF 1 < 0 米；
（3）由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
可知大棚内可以搭建支架的土地的宽为 SKIPIF 1 < 0 （米），
又大棚的长为16米，故需要搭建支架部分的土地面积为 SKIPIF 1 < 0 （平方米）
共需要 SKIPIF 1 < 0 （根）竹竿．
题型三：体育活动类问题
【例3】2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．
（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？
（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）12米；（3）．
【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；
（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；
（3）由抛物线可知坡顶坐标为 ，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．
【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，
，解得：，∴抛物线的函数解析式；
（2）∵运动员与小山坡的竖直距离为米，∴，
解得：（不合题意，舍去）， ，
故当运动员运动水平线的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为米；
（3）∵点A（0，4），∴抛物线，
∵抛物线，∴坡顶坐标为 ，
∵当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，
∴，解得：．
提分训练
1．（2021·浙江）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【答案】（1）6m；（2）①；②2m
【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可；
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可；
②设彩带长度为h，则，代入求值即可．
【详解】解（1）设，由题意得，，，
，当时，，桥拱顶部离水面高度为6m．
（2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，
，，，，(左边抛物线表达式：)
②设彩带长度为h，则，当时，，
答：彩带长度的最小值是2m ．
2．下图是某同学正在设计的一动画示意图，轴上依次有，，三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1．5，台阶到轴距离．从点处向右上方沿抛物线：发出一个带光的点．
（1）求点的横坐标，且在图中补画出轴，并直接指出点会落在哪个台阶上；
（2）当点落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与形状相同的抛物线，且最大高度为11，求的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点；
（3）在轴上从左到右有两点，，且，从点向上作轴，且．在沿轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线下落的点能落在边（包括端点）上，则点横坐标的最大值比最小值大多少？
（注：（2）中不必写的取值范围）
【答案】（1），见解析，点会落在的台阶上；（2），其对称轴与台阶有交点；（3）．
【分析】（1）二次函数与坐标轴的交点坐标可以直接算出，根据点的坐标可以确定轴，利用函数的性质可以判断落在那个台阶上；
（2）利用二次函数图象的平移来求解抛物线，再根据函数的对称轴的值来判断是否与台阶有交点；
（3）抓住二次函数图象不变，是在左右平移，要求点横坐标的最大值比最小值大多少，利用临界点法，可以确定什么时候横坐标最大，什么时候横坐标最小，从而得解．
【详解】解：（1）当，，解得：，
在左侧，，关于对称，轴与重合，如下图：
由题意在坐标轴上标出相关信息，当时，，解得：，
，∴点会落在的台阶上，坐标为，
（2）设将抛物线，向下平移5个单位，向右平移的单位后与抛物线重合，则抛物线的解析式为：，
由（1）知，抛物线过，将代入，，
解得：（舍去，因为是对称轴左边的部分过），抛物线:，
关于，且，其对称轴与台阶有交点．
（3）由题意知，当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最大；
当，，解得：（取舍），故点的横坐标最大值为：，
当沿轴左右平移，恰使抛物线下落的点过点时，此时点的横坐标值最小；
当，，解得：（舍去），故点的横坐标最小值为：，
则点横坐标的最大值比最小值大：，故答案是：．
3．如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 SKIPIF 1 < 0 与注水时间 SKIPIF 1 < 0 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
（1）图②中折线 SKIPIF 1 < 0 表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 SKIPIF 1 < 0 表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）
【答案】（1）乙，甲，16；（2）2分钟
【分析】（1）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深16cm之后增加的变慢，即可得到铁块的高度；
（2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解．
【详解】解：（1）图②中折线 SKIPIF 1 < 0 表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；
线段 SKIPIF 1 < 0 表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；铁块的高度为16 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设甲槽中水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴甲槽中水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，
根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，
设乙槽DE段水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入，可得
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴甲槽中水的深度为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．