辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2023-2024学年高三第六次模拟考试暨假期质量测试数学试题

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中项是符合题目要求的．
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 在的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.若是上周期为3的偶函数，且当时，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且．则（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
6. 函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
7. 是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，有下列3个命题：
= 1 \* GB3 ①若对任意的正整数均有，则为和谐数列；
= 2 \* GB3 ②若等差数列是和谐数列，则一定存在最小值；
= 3 \* GB3 ③若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有 （ ）个
A．3 B．2 C．1 D．0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题有（ ）
A.若随机变量，则
B.数据6，2，3，4，5，7，8，9，1，10的分位数是8.5
C.若随机变量，，则
D.若事件,满足且，则与独立
10. 如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，则（ ）
A. 存在唯一点，使得
B. 存在唯一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C. 若，则三棱锥外接球的表面积为
D. 若异面直线与所成的角为，则动点的轨迹是抛物线的一部分
11. 已知函数的定义域均为，且满足，，，则（ ）
A. B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若复数（其中表示虚数单位），则____________．
13.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，向量的斜坐标为，，，则的面积为______.
14. 已知的三个内角A，B，C满足，当最大时，动点P使得AP，AB，PB的长依次成等差数列，此时的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
求的通项公式；
（2）设，求数列的前2n项和．
16. （15分）
如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（15分）
某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，已知每只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的概率为，设随机变量表示只白鼠在未接种疫苗时接触病鼠后被感染的白鼠数，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为．团队提出函数模型为．现将接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．
（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计．
参考数据：．
（17分）
如图，已知抛物线，点，过点任作两条直线，分别与抛物线交于A,B与C，D.
（1）若的斜率分别为，求四边形的面积；
（2）设
（ⅰ）找到满足的等量关系；
（ⅱ）交于点，证明：点在定直线上.
19. （17分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性：
（2）若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．