辽宁省东北育才学校高中部2021-2022学年高三第六次模拟考试数学试题

2021-2022学年度东北育才学校高中部高三第六次模拟考试数学科试卷

答题时间：120分钟 满分：150分  命题人：高三数学组  校对人：高三数学组

I客观卷

一、单选题（共8小题，每题5分，共40分。每个题目四个选项中有且只有一个是正确答案。）

1．已知全集，，，则（       ）

A． B． C． D．

2．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义．例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离．在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．某大学有两家餐厅，某同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第一天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率是；如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率是；则该同学第2天去餐厅用餐的概率是（       ）

A． B． C． D．

4．如图，已知两个单位向量，，且它们的夹角为，点C在以O为圆心，1为半径的上运动，则·的最小值为（       ）

A．           B．0               C． D．－

5. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6．已知圆C的半径为，其圆心C在直线上，圆C上的动点P到直线的距离的最大值为，则圆C的标准方程为（       ）

A． B．

C． D．

7.已知实数､满足，有结论：①存在，，使得取到最大值；②存在，，使得取到最小值；正确的判断是（       ）

A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立

C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立

8.已知，，，则，，的大小关系是（       ）

A．          B．         C．           D．

二、多选题（共4小题，每题5分，共20分。多选不得分，漏选得2分。）

9．已知函数，设，则成立的一个充分条件是（     ）

A．          B．         C．        D．

10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，P为双曲线的左支上一点，且直线与的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（       ）

A．双曲线的离心率为2                  B．若，且，则

C．以线段，为直径的两个圆外切    D．若点P在第二象限，则

11．若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”，已知函数，，，下列命题正确的是（       ）

A．与有“隔离直线”

B．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围为

C．和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是

D．和之间存在唯一的“隔离直线”

12.在圆锥中，是母线上靠近点的三等分点，，底面圆的半径为，圆锥的侧面积为，则（       ）

A．当时，从点到点绕圆锥侧面一周的最小长度为

B．当时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为

C．当时，圆锥的外接球表面积为

D．当时，棱长为的正四面体在圆锥内可以任意转动

II主观卷

三、填空题（共4小题，每题5分，共20分。）

13．若的展开式的各项系数和为32，则该展开式中的系数是______.

14.对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9545，至少要测量_____次（若，则）．

15．设抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过弦AB的中点M作E的准线的垂线，与抛物线E交于点P，若，则______．

16．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，P为费马点，则的取值范围是__________.

四、解答题（共6小题，共70分。其中第17题10分，第18题至第22题每题12分。）

17.如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东距离60海里处，小岛B北偏东距离海里处有一个小岛 C.

(1)求小岛A到小岛C的距离；

(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向.

18.如图，直三棱柱中，，、、分别是、、的中点.

(1)求证：；

(2)若，求二面角的余弦值.

19.我国南宋时期的数学家杨辉，在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律．此图称为“杨辉三角”，也称为“贾宪三角”．在此图中，从第三行开始，首尾两数为，其他各数均为它肩上两数之和．

（1）把“杨辉三角”中第三斜列各数取出按原来的顺序排列得一数列：，，，，，…，写出与的递推关系，并求出数列的通项公式；

（2）已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．

20.2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：

(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程.

(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.

（i）若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；

（ii）若A区的外来务工人员中甲､乙选择就地过年的概率分别为，，该市政府对甲､乙两人的补贴总金额的期望不超过1500元，求的取值范围.

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，,.

21．已知函数，．

（Ⅰ）若在内单调递减，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点分别为，，证明：．

22.已知椭圆的离心率为，椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是椭圆上的任意一点，射线与椭圆交于点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与椭圆交于两个相异点，证明：面积为定值.