浙江省金华市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)

这是一份浙江省金华市2022-2023学年高二上学期期末数学试题(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(共40分，每小题五分)
1. 若直线的方向向量，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
2. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3. 下列命题中正确的是( )．
A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C. 平行于x轴的直线的倾斜角为
D. 若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
4. 在平面直角坐标系xy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为( )
A. B. 1C. 2D. 4
5. 圆 被轴所截得的弦长为( )
A. B. C. 4D.
6. 已知两点到直线的距离相等，则( )
A. 2B. C. 2或D. 2或
7. “直线与直线相互垂直”是“”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 设直线的方程为，圆的方程为，圆上存在个点到直线的距离为，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
10. 已知椭圆：的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的3倍，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为6B. 椭圆的短轴长为2
C. 椭圆的焦距为D. 椭圆的离心率为
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为8B. 面积的最大值为
C. 的取值范围为D. 的取值范围为
12. 已知边长为2的菱形中，(如图1所示)，将沿对角线折起到的位置(如图2所示)，点为棱上任意一点(点不与，重合)，则下列说法正确的是( )
A. 四面体体积的最大值为1
B. 当时，为线段上的动点，则线段长度的最小值为
C. 当时，点到平面的距离为
D. 三棱锥的体积与点的位置无关
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______．
14. 在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.
15. 已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
16. 已知点，点、关于直线对称，若直线过点且与直线交于点，若，且直线的倾斜角大于的倾斜角，则直线的斜截式方程为_______．
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若直线过点C且与直线AB平行，求直线方程；
(2)求线段BC的垂直平分线方程．
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且
(1)若点为上一点，且，证明：平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
19. 已知圆过点．
(1)求圆的一般方程；
(2)已知直线过点且与直线平行，若直线与圆相切，求值以及直线的方程．
20. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
21. 在①圆心在直线上，是圆上点；②圆过直线和圆的交点．
这两个条件中任选一个，补充下面问题中，并进行解答．
问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
22. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，曲线上动点满足.
(1)求曲线方程；
(2)过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上)，设，并设直线和直线交于点.试证明：点恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.
2022-2023学年度第一学期期末检测
高二数学试卷
一、选择题(共40分，每小题五分)
1. 若直线的方向向量，则直线的斜率是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率与方向向量的关系可求得直线的斜率.
【详解】因为直线的方向向量，则直线的斜率是.
故选：D.
2. 若曲线：表示圆，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
【详解】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
3. 下列命题中正确的是( )．
A. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B. 若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C. 平行于x轴的直线的倾斜角为
D. 若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
【答案】D
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.
【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；
对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；
对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；
对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.
故选：D
4. 在平面直角坐标系xy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为( )
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程可知，即可求解.
【详解】因为抛物线x2=2y，
所以，即，
所以焦点F到准线的距离为1，
故选：B
5. 圆 被轴所截得的弦长为( )
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的弦长公式即可求解.
【详解】的圆心和半径分别为， ，
因此圆被轴所截得的弦长为 ，
故选：D
6. 已知两点到直线的距离相等，则( )
A. 2B. C. 2或D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】(1)若在的同侧，
则，所以，，
(2)若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
7. “直线与直线相互垂直”是“”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线垂直，求出的值，则可判断充分性和必要性.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以．
当时，直线与直线相互垂直，
而当直线与直线相互垂直时，不一定成立，
所以“直线与直线相互垂直”是“”的必要而不充分条件，
故选:B．
8. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则该椭圆的离心率为( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理得出，利用椭圆的定义求得、，利用勾股定理可得出关于、的等量关系，由此可解得该椭圆的离心率.
【详解】如下图所示，设，则，，所以，，
所以，，
由椭圆定义可得，，，
所以，，
所以，为等腰直角三角形，可得，，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的方法如下：
(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
(2)齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 设直线的方程为，圆的方程为，圆上存在个点到直线的距离为，则实数的取值可能为( )
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由圆的方程可得圆心和半径，根据题意可知圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式可求得的范围，进而得到结果.
【详解】圆的方程可化为，可知圆心为，半径为，
若圆上存在个点到直线的距离为，则到直线的距离，即，解得：，则实数的取值可能是，.
故选：AC.
10. 已知椭圆：的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的3倍，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为6B. 椭圆的短轴长为2
C. 椭圆的焦距为D. 椭圆的离心率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】先由题意及椭圆的几何性质求得，从而得到，，，由此对选项逐一检验分析即可.
【详解】因为椭圆：的焦点在轴上，所以，
又因为，故，即，故，
对于A，由得，故椭圆的长轴长为，故A正确；
对于B，由得，故椭圆的短轴长为，故B正确；
对于C，因为，所以，故椭圆的焦距为，故C错误；
对于D，易知椭圆的离心率为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左右顶点的任意一点，则下列说法正确的是( )
A. 周长为8B. 面积的最大值为
C. 的取值范围为D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知求得，，.又椭圆的定义，即可判断A项；当点为短轴顶点时，的面积最大，即可得到B项；设出点的坐标，表示出，根据椭圆的范围即可得到范围，进而判断C项；由椭圆的定义可得，，，求出时的值域，即可判断D项.
【详解】
由可得，，，.
对于A项，的周长为，故A项错误；
对于B项，设，，则，所以当点为短轴顶点时，的面积最大，最大面积为，故B项正确；
对于C项，设，，，，则，，则.因为，所以，所以，又，所以，所以的取值范围为，故C项正确；
对于D项，由可得，，由C知，，则，因为，所以，所以，同理有.所以，当时有最大值4，当或时，值为3，但是且，所以的取值范围为，故D项正确.
故选：BCD.
12. 已知边长为2的菱形中，(如图1所示)，将沿对角线折起到的位置(如图2所示)，点为棱上任意一点(点不与，重合)，则下列说法正确的是( )
A. 四面体体积的最大值为1
B. 当时，为线段上的动点，则线段长度的最小值为
C. 当时，点到平面的距离为
D. 三棱锥的体积与点的位置无关
【答案】ABC
【解析】
【分析】逐一进行验证，对A，平面平面时有体积最大，计算即可;对B建系计算判断；对C，计算即可；对D依据图形判断即可.
【详解】如图
设是的中点，根据题意知，，，，
当折到平面平面时，四面体的体积最大，
此时四面体的最大体积，故A正确；
当时，因为，所以，
所以，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，，其中，，，
当，时，取得最小值为，故B正确；
，，，，则，，，设为平面的一个法向量，
则，令，得，所以点到平面(即平面)的距离，故C正确；
对于选项D，显然随着点的移动，该三棱锥的高(点到平面的距离)发生变化，因而其体积也发生变化，不是定值，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点P到平面的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.
【详解】依题意，，而平面的法向量为，
所以点P到平面距离.
故答案为：
14. 在平面直角坐标系中，若圆和圆关于直线对称，则直线的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】直线为两个圆心的中垂线，分别求圆心，利用点斜式求解即可.
【详解】若圆和圆关于直线对称，
则直线为两个圆心的中垂线，
的圆心为，
的圆心为.
，中点为
可得直线为 ，整理得：.
故答案为：.
15. 已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】依题意，椭圆方程为，所以，
所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，
根据椭圆的定义可知，
，
所以的最大值为.
故答案为：
16. 已知点，点、关于直线对称，若直线过点且与直线交于点，若，且直线的倾斜角大于的倾斜角，则直线的斜截式方程为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用两点关于直线的对称性求出点的坐标，求出以及直线的方程，设点，利用点到直线的距离公式以及求出的值，根据直线的斜率的取值范围为得出点的坐标，进而可求得直线的方程.
【详解】设点，线段的中点为，直线的斜率为，
由题意可得，解得，即点，
设点，直线的方程为，且，
点到直线的距离为，
，解得或.
因为直线的倾斜角大于的倾斜角，且直线的斜率为，
设直线的斜率为，则.
若时，则点，此时，合乎题意；
若时，则点，，不合乎题意.
所以，直线的方程为.
故答案为：.
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若直线过点C且与直线AB平行，求直线的方程；
(2)求线段BC的垂直平分线方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用直线平行求得，再利用点斜式即可求得直线的方程；
(2)先利用中点坐标公式求得BC的中点，再利用直线垂直求得，从而利用点斜式即可求得所求.
【小问1详解】
因为，，所以，
因为直线与直线AB平行，所以，
又因为直线过点，所以直线为，即.
【小问2详解】
因为，，
所以BC的中点为，，
故线段BC的垂直平分线的斜率为，
所以直线为，即.
18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且
(1)若点为上一点，且，证明：平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)根据空间向量的坐标运算求线面夹角的正弦值.
【小问1详解】
作交于点，连接，
因为，所以,
又因为，且，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面,平面,
所以,
又因为，所以
则可以以为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则，令则，
所以，
设直线与平面所成角为，
.
19. 已知圆过点．
(1)求圆的一般方程；
(2)已知直线过点且与直线平行，若直线与圆相切，求的值以及直线的方程．
【答案】(1);
(2);直线的方程为.
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法设出圆的一般方程，代入已知点即可求解；
(2)根据(1)的结论及圆的标准方程，利用平行系及直线与圆相切的条件，结合点到直线的距离公式及点在直线上即可求解.
【小问1详解】
设圆的一般方程为.
因为三点都在圆上，
所以，解得,
故圆的一般方程为.
【小问2详解】
由(1)知，圆的标准方程为,
所以圆心，半径为.
因为直线与直线平行，
所以设直线的方程为，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离为,即，解得或，
当时，直线的方程为，
又因为点在直线上，
所以，解得(舍).
当时，直线的方程为，
又因为点在直线上，
所以，解得,符合题意，
所以，直线的方程为.
20. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，点是线段的中点
【解析】
【分析】(1)作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直；
(2)建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置.
【小问1详解】
证明：连接，取线段中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
【小问2详解】
过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
，
所以，
令，则，
由已知，
解之得：或9(舍去)，
所以点是线段的中点.
21. 在①圆心在直线上，是圆上的点；②圆过直线和圆的交点．
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．
问题：已知在平面直角坐标系中，圆过点，且 ．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点的圆的切线方程．
【答案】(1)选①，；选②，.
(2)选①，；选②，.
【解析】
【分析】(1)选①，求出线段的垂直平分线所在直线的方程，将其与直线的方程联立，求出圆心的坐标，并求出圆的半径，即可得出圆的半径；
选②，设圆的方程为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出圆的方程；
(2)选①或选②，求出直线的斜率，可得出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程.
【小问1详解】
解：若选①，直线的斜率为，线段的中点为，
所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，即，
联立可得，故圆心为，
圆的半径为，
因此，圆的方程为.
若选②，设圆的方程为，
将点的坐标代入圆的方程可得，解得，
所以，圆的方程为，即.
【小问2详解】
解：若选①，，故所求切线的斜率为，
则过点的圆的切线方程为，即；
若选②，圆心为，，故所求切线的斜率为，
则过点的圆的切线方程为，即.
22. 在平面直角坐标系中，已知两个定点，曲线上动点满足.
(1)求曲线的方程；
(2)过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上)，设，并设直线和直线交于点.试证明：点恒在一条定直线上，并求出此定直线方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【解析】
【分析】(1)设，进而根据距离公式整理化简即可；
(2)由题知直线斜率存在，设其方程为，设，进而结合直线和直线方程联立得，再结合韦达定理整理化简得，进而得答案.
【小问1详解】
解：设，因为两个定点，曲线上动点满足.
所以，整理得：，
所以，曲线的方程为
【小问2详解】
解：因为过点任作一条直线与曲线交于两点不在轴上)，
所以，直线斜率存在，设其方程为，
设，因为，
所以直线方程为，直线的方程为，
所以，联立方程得得
因为，
所以，
联立方程得，
所以，，
所以，即
所以，将代入整理得：，
所以，点恒在定直线上.