2022-2023学年浙江省金华市高一上学期期末模拟数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省金华市高一上学期期末模拟数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】，则

故选：A

【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2．已知函数，则是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可.

【详解】由题设，，

∴.

故选：C.

3．已知指数函数的图象过点，则（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】由指数函数过点代入求出，计算对数值即可.

【详解】因为指数函数的图象过点，

所以，即，

所以，

故选：C

4．函数的部分图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】函数的定义域为，，

函数为偶函数，排除BD选项，

当时，，则，排除C选项.

故选：A.

5．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调递增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得正确.

【详解】对A，∵是奇函数，在(一∞，0)和(0，+∞)上是单调递增函数，在定义域上不是递增函数，可知A错误；

对B，不是奇函数，可知B错误；

对C，不是单调递增函数，可知C错误；

对D，，则为奇函数；当时，单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函数对称性，可知在上单调递增，则D正确.

故选：D

6．四个函数：①；②；③；④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（    ）  

A．④①②③ B．①④②③ C．③④②① D．①④③②

【答案】B

【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．

【详解】解：①为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；

②为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，

在上的值为负数，故第三个图象满足；

③为奇函数，当时，，故第四个图象满足；

④，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足，

故选：B．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（    ）

A．倍 B．倍 C．倍 D．倍

【答案】C

【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.

【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,

由已知可得，

则，故．

故选：C.

8．已知函数，若存在不相等的实数a，b，c，d满足，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将问题转化为与图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.

【详解】由题设，将问题转化为与的图象有四个交点，

，则在上递减且值域为；在上递增且值域为；在上递减且值域为，在上递增且值域为；

的图象如下：

所以时，与的图象有四个交点，不妨假设，

由图及函数性质知：，易知：，，

所以.

故选：C

二、多选题

9．下列函数中周期为的函数有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】利用三角函数的性质直接判断AC，利用周期函数的定义，以及三角函数恒等变形判断BD.

【详解】A.的周期为，故A不正确；

B.，所以周期不是，故B不正确；

C.的周期是，故C正确；

D.，函数的周期，故D正确.

故选：CD

10．若，下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据不等式的性质可判断AB的正确，利用作差法可判断CD的正误.

【详解】因为，故即，故B正确，A错误.

对于C，，而，故即，

故C正确.

对于D，，故，故D正确.

故选：BCD.

11．已知函数，则（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数的图象关于直线对称

C．若，则函数的值域为

D．函数的单调递减区间为

【答案】AD

【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A；代入验证正弦型函数的对称轴判断选项B；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C；求解正弦型函数的递减区间判断选项D.

【详解】选项A：，则函数的图象关于点对称.判断正确；

选项B：，则函数的图象不关于直线对称. 判断错误；

选项C：由，可得，则，

即若，则函数的值域为.判断错误；

选项D：由，可得，

即函数的单调递减区间为.判断正确.

故选：AD

12．生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ）

A．若，则与的大小关系随m的变化而变化

B．若，则

C．若，则

D．若，则一定有

【答案】CD

【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；

举反例，如，即可判断B；

若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；

利用不等式的性质即可判断D.

【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；

对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；

对于C，若，则，

根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；

对于D，若，则，

所以，

所以，故D正确.

三、填空题

13．函数的最小值是___________.

【答案】4

【分析】根据基本不等式可求出结果.

【详解】令，则，当且仅当，即时，.

所以函数的最小值是4.

故答案为：4

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

14．若对任意a＞0且a≠1，函数的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝__.

【答案】-2

【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.

【详解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，

可得函数（a＞0，a≠1）的图象经过定点P(－1,2)，

所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝＝－2.

故答案为：－2.

15．已知定义在上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为___________.

【答案】

【分析】先判断函数单调性，再把抽象不等式转化为整式不等式即可解决.

【详解】由可得，

又，则

设任意，且，则，又当时，，

则

即，故函数在上为减函数.

则不等式

等价于，解之得

故答案为：

16．已知函数，且，则的最小值为______．

【答案】##2.8

【分析】首先根据题中条件，结合二次函数的图象求出实数的值；从而结合对号函数的单调性即可求出最小值.

【详解】二次函数的对称轴为，

因为，所以或，

因为，所以解得.

所以，

所以，

因为在内单调递减，在单调递增，

又，，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合

(1)当时，求A∪B：

(2)若___________，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)选①②，；选③，.

【分析】（1）按定义进行并集运算；

（2）等价于；“”是“”的充分不必要条件等价于A B. 运用集合间的关系列不等式求解即可

【详解】（1），；

（2）且，

选①，，则，则，故a的取值范围为；

选②，“”是“”的充分不必要条件，则A B，∴，故a的取值范围为；

选③，，则或，故a的取值范围为.

18．已知函数.

(1)若，求的值；

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)2

(2)

【分析】(1)将分子分母同除以 ，得到，再根据，即可解得结果；

（2）将化简得到，再将该式平方，整理可得到，进而解得的值，代入表达式中计算即可.

【详解】（1）由得; ,

所以，即，

解得 ；

（2）由得： ①，

所以 ，

则 ，所以 ，

则 ，

而 ，所以 ②，

由①②联立可得 ，故 ，

所以 .

19．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知在上单调递增，求的取值范围；

(3)求在上的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即可求解不等式的解集；

（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；

（3）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，即可求解.

【详解】（1）解：当时，函数，

不等式，即，解得或，

即不等式的解集为.

（2）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，

要使得在上单调递增，则满足，

所以的取值范围为.

（3）解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，

当时，函数在上单调递增，所以最小值为；

当时，函数在递减，在上递增，

所以最小值为；

当时，函数在上单调递减，所以最小值为，

综上可得，在上的最小值为.

20．设.

(1)求的值及的单调递增区间；

(2)若，求的值.

【答案】(1)1，

(2)

【分析】（1）根据余弦的二倍角公式、三角恒等变换公式以及辅角公式可得，由此即可求出的值，再根据正弦函数的性质可求得单调递增区间；

（2）由（1）可得以及，可得，再根据和同角基本关系可得，再根据和两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）解：因为

，

所以；

令，

所以，

所以单调递增区间为；

（2）解：因为，即，所以，

又，所以，即，

又，所以，所以，

所以，

因为

.

所以的值.

21．在如图所示的平面图形中，已知，，，，求：

(1)设，求的值；

(2)若，且，求的最小值及此时的夹角.

【答案】(1)

(2)的最小值为，为.

【分析】（1）由向量的减法公式，结合题意和平面向量共线定理，即可求得，进而求出结果；

（2）记，因为，所以，设，根据平面向量加法理和平面向量共线定可得，进而求得，化简整理可得，再根据二次函数和余弦函数的性质，即可求出结果.

【详解】（1）解：因为，，

所以，所以，

即.

（2）解：记，

因为，所以，

设，则，

所以

当时，取最小值，即最小值为，

又，所以，所以，

即，

所以的最小值为，此时为.

22．定义区间、、、的长度均为，其中.

（1）不等式组解集构成的各区间的长度和等于，求实数的范围；

（2）已知实数，求满足不等式解集的各区间长度之和.

【答案】（1）；（2）2.

【分析】（1）先求得不等式的解集，然后根据题设得到：不等式在，恒成立，再求出的取值范围即可；

（2）先对分成①当或时，②当两类，然后构造函数，分别求出原不等式的解集，最后求出原不等式的解集的各区间长度之和即可．

【详解】（1）由可得：或，解得：，

不等式组解集构成的各区间的长度和等于6，

不等式在，恒成立，

令，，，

则，解得：，

实数的范围为，；

（2）①当或时，原不等式等价于，

整理得：，

令，

（a），（b），设的两根为，，

此时原不等式的解集为，，解集的区间长度为；

②当时，同理可得原不等式的解集为，，此时解集的区间长度为．

综合①②知：原不等式的解集的区间长度之和为，

又由韦达定理可知：，

原不等式的解集的区间长度之和为2．

【点睛】本题主要考查不等式、不等式组的解法、不等式的解集的区间长度之和的计算、韦达定理的应用及不等式恒成立涉及参数的范围的求法，综合性比较强，属于难题．