青海省普通高中2023-2024学年高三下学期（1月）学业水平考试+数学试卷

这是一份青海省普通高中2023-2024学年高三下学期（1月）学业水平考试+数学试卷，共14页。试卷主要包含了已知，则的最大值是，已知，则实数的大小关系是，3 D，若，则的值可以为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试用时120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知全集为，集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.在复平面内，若复数对应的点为，则（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.
3.设双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
4.一个教室有五盏灯，一个开关控制一盏灯，每盏灯都能正常照明，那么这个教室能照明的方法的种数为（ ）
A.24 B.25 C.31 D.32
5.已知，则的最大值是（ ）
A. B.4 C.10 D.3
6.已知，则实数的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
7.若曲线与曲线在公共点处有公共切线，则实数（ ）
A. B. C. D.
8.深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为，当乙球员担当前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为.当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（ ）
A.0.3 D.0.7
二､多选题：本题共4小题，每小题5分.共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若，则的值可以为（ ）
A.3 B. C.6 D.
10.已知圆和圆，则（ ）
A.两圆圆心的距离为25
B.两圆相交
C.两圆的公共弦所在直线方程为
D.两圆的公共弦长为
11.若函数，则下列结论错误的是（ ）
A.的定义域是
B.的单调递增区间是
C.的值域是
D.的图象关于直线对称
12.已知三点均在球的表面上，，且球心到平面的距离等于球半径的，则下列结论正确的是（ ）
A.球的表面积为
B.球的内接正方体的棱长为1
C.球的外切正方体的棱长为
D.球的内接正四面体的棱长为2
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分.共计20分.
13.若函数是上的奇函数，且在区间上不是单调函数，写出满足上述性质的一个函数是__________.
14.设抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的一点，过作轴于，若，则的长为__________.
15.在Rt中，（），若，则__________.
16.如图所示，有一块扇形铁皮，要剪下来一个扇形环，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形内前下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）.则的长为__________，容器的容积为__________.（第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知是等差数列，其前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出正整数满足的关系式；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分12分）
已知的内角满足.
（1）求角；
（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值.
19.（本小题满分12分）
某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月､11月中的5组数据：
（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合就诊人数y与昼夜温差x之间的关系，请用以上5组数据求就诊人数关于昼夜温差的线性回归方程（结果精确到0.01）；
（2）一位住校学生小明所患感冒为季节性流感，传染给同寝室每个同学的概率为0.6.若该寝室的另3位同学均未患感冒，在与小明近距离接触后有X位同学被传染季节性流感，求的分布列和期望.
参考数据：，.
参考公式：，.
20.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，底面是等腰三角形，，点是棱的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
设分别是椭圆的左､右焦点，两点分别是椭圆的上､下顶点，
是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直线分别相交于两点，点，试问：的外接圆是否恒过轴上的定点（异于点）？若是，求该定点坐标；若否，说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数，其中常数.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（2）若，且时，求证：.
数学参考答案
1.D 因为，所以，所以，故选D.
2.B 由已知复数对应的点为，则，因此，所以.故应选B.
3.A 由题意得，渐近线方程为，故，所以，故离心率，故选A.
4.C 由题意有这个教室能照明的方法有种.故应选C.
5.A 由题意，，由辅助角公式可得（其中），其最大值为，故应选.
6.B 由题意，设，可得，所以，根据零点的存在定理，可得，设，可得，所以，根据零点的存在定理，可得，令，可得，所以，可得，综上可得.故应选B.
7.A 设公共点为的导数为，曲线在处的切线斜率的导数为，曲线在处的切线斜率，因为两曲线在公共点处有公共切线，所以，且，所以，即解得，所以，解得.故应选.
8.C 设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”.则，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为.故应选.
9.CD 因为，所以，当且仅当或时，等号成立.故选CD.
10.BC 圆圆心，半径，圆圆心，半径，圆心距错误；
因为，两圆相交，B正确；
两圆相减得：，故两圆的公共弦所在直线方程为，C正确；
圆心到的距离为，由垂径定理得：两圆的公共弦长为选项错误.故应选.
11.AB 由得，所以，由，得的定义域是.A错误；根据，得，知的图象关于对称.时递增，的单调递增区间是，B错误；的值域就是在上的取值范围，当时，所以的值域为，C正确；的图象关于直线对称，D正确.故选.
12.AD 设球的半径为，由已知可得外接圆半径为，
球心到平面的距离等于球半径的，得.
对于，球的表面积为，故A正确，
对于，设球的内接正方体的棱长为，
正方体的体对角线即球的直径，，解得，故B错误，
对于，设球的外切正方体的校长为，
正方体的棱长即球的直径长，，故C错误､
对于，设球的内接正四面体的棱长为，则正四面体的高为，
由，解得，故D正确.
故应选AD.
13.（都可以，答案不唯一） （1）形如函数，它是上的奇函数，因为又是常函数，故在上不具有单调性，满足条件；
（2）形如函数，它是上的奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，故在上不具有单调性，满足条件.
像这样的函数还有很多；故答案不唯一.
故答案为：（都可以，答案不唯一）
14. 抛物线的准线方程为，由于，
根据抛物线的定义可知，将代入抛物线方程得，
所以.
15. 如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，又，由，则，得.
16.； 设圆台上､下底面半径分别为，则，由题知，
解得.所以.
如图所示，
.
所以圆台的体积为：
.
故答案为：.
17.解：设等差数列的公差为，
，
即，即，
又，即，
当时，，
，即，
，
存在正整数，当时，使得成立.
18.解：（1）因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以.
（2）因为的外接圆半径为1，
所以，
由余弦定理得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故的面积的最大值是.
19.解：（1）由表格中数据可得，，，
∴
∴.
∴就诊人数y关于昼夜温差x的线性回归方程为
（2）的可能取值为0，1，2，3
∵，
∴
∴的分布列为
期望
20.（1）证明：取的中点，连接.
.
又，
又，
.
平面，
又平面平面平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则
令，则，
平面的一个法向量为，
.
二面角的正弦值为.
21.解：（1）因为的周长为，由定义可得，所以，所以，
又因为是等腰直角三角形，且，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
所以直线与的斜率之积，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
直线的方程：，
由，可得，同理，
假设的外接圆恒过定点，
由于线段的垂直平分线所在直线的方程为，
线段的垂直平分线所在直线的方程为，则其圆心，
又，
所以
，
解得，
所以的外接圆恒过定点.
22.（1）由题意知当时，不等式恒成立，即，
设，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
∴的最小值为，
∴实数的取值范围为；
（2）证明：由题意知，要证，即证，即证，
设，
则，
设，则，
由得；由得；
所以函数在单调递减，在单调递增；
则，
又，，，
所以存在，使得，即，
故当时，，即函数单调递减；
当时，，即函数单调递增；
∴，
由于，所以，即.日期
10月8日
10月18日
10月28日
11月8日
11月18日
昼夜温差x（℃）
8
11
6
15
5
就诊人数y
13
17
12
19
9
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216