黑龙江省哈尔滨市第十七中学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，共计30分）
1. 在一些美术字种，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. 爱B. 国C. 敬D. 业
2. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
3. 下列与不是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 到的三个顶点距离相等的点是的（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条高的交点D. 三边中线的交点
5. 等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 9D. 18
7. 如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
8. 在，，，，中，是分式的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9. 点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P和△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A. 1B. 4C. 7D. 10
10. 如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC.其中正确的是( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
二、填空题（每题3分，共计30分）
11. 用科学记数法表示0.00000307________．
12. 若式子有意义，则实数x取值范围是______．
13. 因式分解：= ___________．
14. 计算： =______________
15. 若a＋b＝8，ab＝15，则a2＋ab＋b2＝________．
16. 在中，，，若，则AB边上的高为______．
17. 汽车以的速度从A地到B地，又以的速度从B到A，则来回的平均速度为________．
18. 如图，P、两点关于对称，P、两点关于对称，若，，则________．

19. 在中，是的垂直平分线，交于D，是的垂直平分线，交于E，若，则等于________．
20. 如图，中，，，过上点D作直线，分别交、延长线于点F、点E，若，，则________．
三、解答题（第21、22题每题7分，第23、24题每题8分，第25、26、27每题10分）
21. 解方程：
（1）
（2）
22. 先化简，再求值：，其中
23. 如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）在图中作出关于y轴的对称图形；
（2）在图中作出向下平移2个单位后的图形；
（3）连接、、，直接写出的面积．
24. 如图，在等边中，点D、点E分别在、上，且，连接、相交于点F．

（1）求度数；
（2）连接，若，，求的长．
25. 春节期间，某水果商从批发市场分别用10000元和6000元购进了重量相同的大樱桃和小樱桃，且大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元．
（1）求大樱桃和小樱桃进价分别是每千克多少元？
（2）在运输和销售过程中，大樱桃损耗了15%，若大樱桃的售价为每千克80元，要使此次销售获利不少于6700元，则小樱桃的售价最少应该为每千克多少元？
26. [问题提出]
如图1，在中，，是的中线，E是线段上的一个动点，且点E不与点C、D重合，连接、．
（1）求证：；
[问题探究]
将线段绕点E逆时针旋转，使点B的对应点F落在直线上．
（2）如图2，当时，的大小是否发生变化？请说明理由；
[迁移探究]
（3）如图3，当时，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
27. 在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，点在x轴正半轴上，且a、b、c满足等式．
（1）如图1，求线段的长；
（2）如图2，动点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，连接，过点O作交于点E，设的面积为S，点D的运动时间为t秒，求S与t的关系式；
（3）在（2）的条件下，在上取点P，在上取点Q，使，连接、、、，若，求的度数．