专题22.6 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长、线段最值问题之三大考点-九年级数学上册重难点专题提优训练（人教版）

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18817" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18817 \h 1
\l "_Tc941" 【考点一 利用二次函数求面积最值问题】 PAGEREF _Tc941 \h 1
\l "_Tc6357" 【考点二 利用二次函数求周长最值问题】 PAGEREF _Tc6357 \h 12
\l "_Tc25348" 【考点三 利用二次函数求线段最值问题】 PAGEREF _Tc25348 \h 26
【典型例题】
【考点一 利用二次函数求面积最值问题】
例题：（2022春·九年级单元测试）如图，抛物线经过点，与轴的另一个交点为．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为抛物线上一动点（与点，不重合），设点的横坐标为，连接，，若点在直线的下方运动，当的面积最大时，求的值．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于C点，点P是直线下方抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当动点P运动到什么位置时，使四边形的面积最大，求出此时四边形的面积最大值和P的坐标．
2．（2022秋·天津滨海新·九年级校考期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为．

(1)求D点的坐标；
(2)连接，说明；
(3)若点P是直线下方抛物线上一动点，当点P位于何处时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
3．（2023年辽宁省营口市中考模拟考试（一模）数学试卷）已知直线l与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．

(1)求直线的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点，连接、，求面积的最大值及点的坐标．
(3)抛物线上是否存在点使为直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．（2023·广东佛山·统考三模）如图，抛物线交直线于坐标轴上两点，交轴于另一点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点为线段上一点，过点作直线，交轴于点．连接，求面积的最大值；
(3)若在直线上存在点，使得以点为顶点的四边形为菱形，求点的坐标．
【考点二 利用二次函数求周长最值问题】
例题：（2023秋·河南周口·九年级统考期末）已知抛物线的图象与轴交于点A、B（A在B的左侧），与轴交于点，顶点为D．
(1)试确定的值，并直接写出D点的坐标．
(2)试在轴上求一点P，使得的周长取最小值．
【变式训练】
1．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．
(1)直接写出抛物线的函数表达式；
(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由
2．（2023秋·浙江温州·九年级期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)判断的形状，证明你的结论；
(3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长；
(4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
3．（2022秋·江苏连云港·九年级连云港市新海实验中学校考阶段练习）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上找一点M．使的周长最小，求出点M的坐标．
(3)在（2）的条件下，连接，点E是直线上的一个动点，过点E作交抛物线于点F，以M，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．
4．（2022秋·山西大同·九年级大同一中校考阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，

(1)求的值及抛物线的顶点坐标
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．
(3)点为抛物线在第一象限上的一个点，连接，，当的面积最大时，求出的最大面积和点的坐标；
5．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【考点三 利用二次函数求线段最值问题】
例题：（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知抛物线：，抛物线与关于点中心对称，与相交于A，B两点，点M在抛物线上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线上，也位于点A和点B之间，且轴．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段长度的最大值．
【变式训练】
1．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
2．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2023·海南海口·海师附中校考三模）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．