2023年杭州市中考数学试卷及答案（word版）

这是一份2023年杭州市中考数学试卷及答案（word版），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.8×104B．8.08×104C．8.8×105D．8.08×105
2．（3分）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0B．2C．4D．8
3．（3分）分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）
4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
7．（3分）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
9．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2
10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：＝ ．
12．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝ ．
13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ ．
14．（4分）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝ ．
15．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
18．（8分）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
20．（10分）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
21．（10分）在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1）若ED＝，求DF的长．
（2）求证：AE•CF＝1．
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．
22．（12分）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
2023年浙江省杭州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（ ）
A．8.8×104B．8.08×104C．8.8×105D．8.08×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：80800＝8.08×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（3分）（﹣2）2+22＝（ ）
A．0B．2C．4D．8
【分析】根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．
【解答】解：（﹣2）2+22＝4+4＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．
3．（3分）分解因式：4a2﹣1＝（ ）
A．（2a﹣1）（2a+1）B．（a﹣2）（a+2）
C．（a﹣4）（a+1）D．（4a﹣1）（a+1）
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
4．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若∠AOB＝60°，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】先证△ABO是等边三角形，可得∠BAO＝60°，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB，
∴＝，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
5．（3分）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据点的平移规律可得先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B（m+1，2+3），再根据点B的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
【解答】解：∵把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．
∴点B（m+1，2+3），
∵点B的横坐标和纵坐标相等，
∴m+1＝5，
∴m＝4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
6．（3分）如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，则∠BAC＝（ ）
A．23°B．24°C．25°D．26°
【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．
【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故选：D．
【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（3分）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴﹣1＜a×b＜0，
即﹣1＜c＜0，
那么点C应在﹣1和0之间，
则A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．
8．（3分）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（ ）
A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣a
B．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2a
C．当k＝4时，函数y的最小值为﹣a
D．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a
【分析】令y＝0，求出二次函数与x轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入k的值进行判断即可．
【解答】解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，
∴x1＝m，x2＝m+k，
∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），
∴二次函数的对称轴是：直线，
∵a＞0，
∴y有最小值，
当时，y最小，
即，
当k＝2时，函数y的最小值为；
当k＝4时，函数y的最小值为，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
9．（3分）一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
【解答】解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：2，2，2，3，此时方差s2＝×[3×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.4＞2，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
10．（3分）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（△DAE，△ABF，△BCG，△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，∠ABF＞∠BAF，连接BE．设∠BAF＝α，∠BEF＝β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα＝tan2β，则n＝（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，解直角三角形可得，化简可得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得S正方形EFGH；S正方形ABCD＝1：3，进而可求解n的值．
【解答】解：设AE＝a，DE＝b，则BF＝a，AF＝b，
∵tanα＝，tanβ＝，tanα＝tan2β，
∴，
∴（b﹣a）2＝ab，
∴a2+b2＝3ab，
∵a2+b2＝AD2＝S正方形ABCD，（b﹣a）2＝S正方形EFGH，
∴S正方形EFGH：S正方形ABCD＝ab：3ab＝1：3，
∵S正方形EFGH：S正方形ABCD＝1：n，
∴n＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得（b﹣a）2＝ab，a2+b2＝3ab是解题的关键．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．（4分）计算：＝ ﹣ ．
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
12．（4分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，点F在线段BC的延长线上．若∠ADE＝28°，∠ACF＝118°，则∠A＝ 90° ．
【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠ADE＝28°，由三角形外角的性质得到∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝28°，
∵∠ACF＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACF﹣∠B＝118°﹣28°＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出∠B的度数，由三角形外角的性质即可求出∠A的度数．
13．（4分）一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝ 9 ．
【分析】根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
【解答】解：根据题意，＝，
解得n＝9，
经检验n＝9是方程的解．
∴n＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则＝ 2 ．
【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDE S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴，
故答案为：2
【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知 识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
15．（4分）在“探索一次函数y＝kx+b的系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2，y3＝k3x+b3．分别计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，其中最大的值等于 5 ．
【分析】解法一：利用待定系数法求出分别求出k1，b1，k2，b2，k3，b3的值，再计算k1+b1，k2+b2，k3+b3的值，最后比较大小即可得到答案．
解法二：作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，利用待定系数法求出直线BC解析式中k，b的值即可得到答案．
【解答】解：解法一：设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，
将点A（0，2），B（2，3）代入得，，
解得：，
∴k1+b1＝，
设直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，
将点A（0，2），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k2+b2＝，
设直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，
将点B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
∴k1+b1＝，k2+b2＝，k3+b3＝5，其中最大的值为5．
解法二：如图，作直线AB、AC、BC，作直线x＝1，
设直线AB的解析式为y1＝k1x+b1，直线AC的解析式为y2＝k2x+b2，直线BC的解析式为y3＝k3x+b3，
由图象可知，直线x＝1与直线BC的交点最高，
即当x＝1时，k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3，
将点B（2，3），C（3，1）代入得，，
解得：，
∴k3+b3＝5，
k1+b1，k2+b2，k3+b3其中最大的值为k3+b3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设＝k，若AD＝DF，则＝ （结果用含k的代数式表示）．
【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝k2•AB，即可求出的值．方法二：证明AD＝DF＝BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝＝，
∴EC＝BC，
∵＝k，
∴BC＝k•AB，
∴EC＝k•AB，
∴＝，
∴CF＝k2•AB，
∴＝＝＝＝．
方法二：如图，连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB＝DF，
∴BF⊥AC，
设AB＝AC＝1，
则BC＝k，
设CF＝x，
则AF＝1﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝1﹣x＝，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（6分）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
①b＝2，c＝1；
②b＝3，c＝1；
③b＝3，c＝﹣1；
④b＝2，c＝2．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．
【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在①②③中选取，然后求解方程即可．
【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c，
∴②③均可，
选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝；
选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解．
18．（8分）某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参与；D表示其他）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图．
（3）已知该校共有1000名学生，估计B类的学生人数．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）结合（1）的结论求出B类的人数，进而补全条形统计图；
（3）总人数乘以样本中B类别人数所占比例．
【解答】解：（1）60÷30%＝200（名），
答：在这次抽样调查中，共调查了200名学生；
（2）样本中B类的人数为：200﹣60﹣10﹣10＝120（名），
补全条形统计图如下：
（3）1000×＝600（名），
答：估计B类的学生人数约600名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AO＝CO，BO＝DO，再证OE＝OF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵BE＝EF，
∴S△ABE＝S△AEF＝2，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴S△AEF＝S△CEF＝2，EO＝FO，
∴△CFO的面积＝1．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
20．（10分）在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2（x﹣2）+5的图象交于点A和点B．已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是﹣4．
（1）求k1，k2的值．
（2）过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限交于点D．求证：直线CD经过原点．
【分析】（1）首先将点A的横坐标代入y2＝k2（x﹣2）+5 求出点A的坐标，然后代入 求出k1＝10 然后将点B的纵坐标代入 求出，然后代入y2＝k2（x﹣2）+5，即可求出k2＝2；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出CD所在直线的表达式，进而求解即可．
【解答】（1）解：∵点A的横坐标是2，
∴将x＝2代入y2＝k2（x﹣2）+5＝5，
∴A（2，5），
∴将A（2，5）代入 得：k1＝10，
∴，
∵点B的纵坐标是﹣4，
∴将y＝﹣4代入 得，，
∴B（﹣，﹣4）．
∴将B（﹣，﹣4）代入y2＝k2（x﹣2）+5得：，
解得：k2＝2．
∴y2＝2（x﹣2）+5＝2x+1．
（2）证明：如图所示，
由题意可得：C（，5），D（2，﹣4），
设CD所在直线的表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴CD所在直线的表达式为y＝﹣2x，
∴当x＝0时，y＝0，
∴直线CD经过原点．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
21．（10分）在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上（不与点A，D重合），射线BE与射线CD交于点F．
（1）若ED＝，求DF的长．
（2）求证：AE•CF＝1．
（3）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG＝ED，求ED的长．
【分析】（1）通过证明△DEF∽△CBF，由相似三角形的性质可求解；
（2）通过证明△ABE∽△CFB，可得，可得结论；
（3）设EG＝ED＝x，则AE＝1﹣x，BE＝1+x，由勾股定理可求解．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB＝AD＝BC＝CD＝1，
∴△DEF∽△CBF，
∴，
∴，
∴DF＝；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F，
又∵∠A＝∠BCD＝90°，
∴△ABE∽△CFB，
∴，
∴AE•CF＝AB•BC＝1；
（3）解：设EG＝ED＝x，则AE＝AD﹣DE＝1﹣x，BE＝BG+GE＝BC+GE＝1+x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴1+（1﹣x）2＝（1+x）2，
∴x＝，
∴DE＝．
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
22．（12分）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）若m＝4，
①求二次函数的表达式；
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．
（2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法即可求得；
②利用二次函数的性质得出结论；
（2）根据题意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，则二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．
【解答】解：（1）①由题意得，
解得，
∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；
②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，
若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，
∴m＝a+2a+1≤0，
∴a≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．
23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF．
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
【分析】（1）由垂径定理可得∠AED＝90°，结合CF⊥AD可得∠DAE＝∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE＝∠BCD，进而可得∠BCD＝∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE＝BE＝1；
（2）证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2＝BA•BE，再根据AB＝2BO，BE＝BG，可证BC2＝BG•BO；
（3）方法一：设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，可证a＝90°﹣β，∠OCF＝90﹣3α，通过SAS证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF＝∠OAF，即90°﹣3a＝a，则∠CAD＝2a＝45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．
【解答】（1）解：直径AB垂直弦CD，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE+∠D＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠FCD+∠D＝90°，
∴∠DAE＝∠FCD，
由圆周角定理得∠DAE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠FCD，
在△BCE和△GCE中，
，
∴△BCE≌△GCE（ASA），
∴GE＝BE＝1；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC＝∠CBE，
∴△ACB∽△CEB，
∴＝，
∴BC2＝BA•BE，
由（1）知GE＝BE，
∴BE＝BG，
∵AB＝2BO，
∴BC2＝BA•BE＝2BO•BG＝BG•BO；
（3）解：∠CAD＝45°，证明如下：
解法一：如图，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE＝DE，∠AED＝∠AEC＝90°，
∵AE＝AE，
∴△ACE≌△ADE（SAS），
∴∠DAE＝∠CAE，
设∠DAE＝∠CAE＝α，∠FOG＝∠FGO＝β，
则∠FCD＝∠BCD＝∠DAE＝α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OCF＝∠ACB﹣∠OCA﹣∠FCD﹣∠BCD＝90°﹣3α，
∵∠CGE＝∠OGF＝β，∠GCE＝α，∠CGE+∠GCE＝90°，
∴β+α＝90°，
∴α＝90°﹣β，
∵∠COG＝∠OAC+∠OCA＝α+α＝2α，
∴∠COF＝∠COG+∠GOF＝2α+β＝2（90°﹣β）+β＝180°﹣β，
∴∠COF＝∠AOF，
在△COF和△AOF中，
，
∴△COF≌△AOF（SAS），
∴∠OCF＝∠OAF，
即90°﹣3α＝α，
∴α＝22.5°，
∴∠CAD＝2a＝45°．
解法二：
如图，延长FO交AC于点H，连接OC，
∵FO＝FG，
∴∠FOG＝∠FGO，
∴∠FOG＝∠FGO＝∠CGB＝∠B，
∴BC∥FH，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠AHO＝90°，
∵OA＝OC，
∴AH＝CH，
∴AF＝CF，
∵CF⊥AD，
∴△AFC是等腰直角三角形，
∴∠CAD＝45°．
【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．
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