2023年浙江省杭州市中考数学试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有个座位数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  (    )

A.  B.  C.  D.

3.  分解因式：(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，矩形的对角线，相交于点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在直角坐标系中，把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点若点的横坐标和纵坐标相等，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，半径，互相垂直，点在劣弧上若，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知数轴上的点，分别表示数，，其中，若，数在数轴上用点表示，则点，，在数轴上的位置可能是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  设二次函数是实数，则(    )

A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的最小值为
C. 当时，函数的最小值为 D. 当时，函数的最小值为

9.  一枚质地均匀的正方体骰子六个面分别标有数字，，，，，，投掷次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字根据下面的统计结果，能判断记录的这个数字中一定没有出现数字的是(    )

A. 中位数是，众数是 B. 平均数是，中位数是
C. 平均数是，方差是 D. 平均数是，众数是

10.  第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”如图，在由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接设，，若正方形与正方形的面积之比为：，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  如图，点，分别在的边，上，且，点在线段的延长线上若，，则 ______ ．

13.  一个仅装有球的不透明布袋里只有个红球和个白球仅有颜色不同若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ______ ．

14.  如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ______ ．

15.  在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，分别计算，，的值，其中最大的值等于______ ．

16.  如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称设，若，则 ______ 结果用含的代数式表示．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设一元二次方程在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
，；，；，；，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．

18.  本小题分
某校为了了解家长和学生观看安全教育视频的情况，随机抽取本校部分学生调查，把收集的数据按照，，，四类表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其他进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的未完成的条形统计图和扇形统计图．

在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
补全条形统计图．
已知该校共有名学生，估计类的学生人数．

19.  本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，在对角线上，且，连接，，，．
求证：四边形是平行四边形．
若的面积等于，求的面积．

20.  本小题分
在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点已知点的横坐标是，点的纵坐标是．
求，的值．
过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点求证：直线经过原点．

21.  本小题分
在边长为的正方形中，点在边上不与点，重合，射线与射线交于点．
若，求的长．
求证：．
以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点若，求的长．

22.  本小题分
设二次函数是实数已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：

若，
求二次函数的表达式；
写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在中，直径垂直弦于点，连接，，，作于点，交线段于点不与点，重合，连接．
若，求的长．
求证：．
若，猜想的度数，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据有理数的混合运算顺序，先计算乘方，再计算加法即可．
本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的乘方的定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
．
故选：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：．
先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点．
点，
点的横坐标和纵坐标相等，
，
．
故选：．
根据点的平移规律可得先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，再根据点的横坐标和纵坐标相等即可求出答案．
此题主要考查了坐标与图形变化平移，关键是横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
半径，互相垂直，
，
，
，
故选：．
连接，根据圆周角定理可求解的度数，结合垂直的定义可求解的度数，再利用圆周角定理可求解．
本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
即，
那么点应在和之间，
则，，不符合题意，符合题意，
故选：．
根据，的范围，可得的范围，从而可得点在数轴上的位置，从而得出答案．
本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，则，
，，
二次函数与轴的交点坐标是，，
二次函数的对称轴是：，
，
有最小值，
当时最小，
即，
当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为，
故选：．
令，求出二次函数与轴的交点坐标，继而求出二次函数的对称轴，再代入二次函数解析式即可求出顶点的纵坐标，最后代入的值进行判断即可．
本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握求二次函数的顶点坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当中位数是，众数是时，记录的个数字可能为：，，，，或，，，，或，，，，，故A选项不合题意；
当平均数是，中位数是时，个数之和为，记录的个数字可能为，，，，或，，，，，故B选项不合题意；
当平均数是，方差是时，个数之和为，假设出现了次，方差最小的情况下另外个数为：，，，，此时方差，因此假设不成立，即一定没有出现数字，故C选项符合题意；
当平均数是，众数是时，个数之和为，至少出现两次，记录的个数字可能为，，，，，故D选项不合题意；
故选：．
根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，，则，，
，，，
，
，
，
，，
：：：，
：：，
．
故选：．
设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得；：，进而可求解的值．
本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
由平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由三角形外角的性质即可求出的度数．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，，
解得，
经检验是方程的解．
．
故答案为：．
根据红球的概率公式，列出方程求解即可．
本题考查概率公式，根据公式列出方程求解则可．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，．


六边形是的内接正六边形，
，
是的内接正三角形，
，，
，
，
，
，
同理可得，，
又，
≌，
，
圆和正六边形的性质可得，，
由圆和正三角形的性质可得，，
，
，
故答案为：
连接，，，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出≌，得到，进而求解即可．
此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

15.【答案】 

【解析】解：设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
设直线的解析式为，
将点，代入得，，
解得：，
，
，，，其中最大的值为．
故答案为：．
利用待定系数法求出分别求出，，，，，的值，再计算，，的值，最后比较大小即可得到答案．
本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式，应用待定系数进行正确的计算是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证∽，推出，通过证明∽，推出，即可求出的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明∽．
 

17.【答案】解：使这个方程有两个不相等的实数根，
，即，
均可，
选解方程，则这个方程为：，
，
． 

【解析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知、的值可在中选取，然后求解方程即可．
本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于，方程无解．
 

18.【答案】解：名，
答：在这次抽样调查中，共调查了名学生；
样本中类的人数为：名，
补全条形统计图如下：

名，
答：估计类的学生人数约名． 

【解析】由类别人数及其所占百分比可得总人数；
结合的结论求出类的人数，进而补全条形统计图；
总人数乘以样本中类别人数所占比例．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
的面积． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：点的横坐标是，
将代入，
，
将代入得：，
，
点的纵坐标是，
将代入得，，
．
将代入得：，
解得：．
．
证明：如图所示，

由题意可得：，，
设所在直线的表达式为，
，
解得：，
所在直线的表达式为，
当时，，
直线经过原点． 

【解析】首先将点的横坐标代入求出点的坐标，然后代入求出然后将点的纵坐标代入求出，然后代入，即可求出；
首先根据题意画出图形，然后求出点和点的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：四边形是正方形，
，，
∽，
，
，
；
证明：，
，
又，
∽，
，
；
解：设，则，，
在中，，
，
，
． 

【解析】通过证明∽，由相似三角形的性质可求解；
通过证明∽，可得，可得结论；
设，则，，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得，
解得，
二次函数的表达式是；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小；
和时的函数值都是，
抛物线的对称轴为直线，
是顶点，和关于对称轴对称，
若在，，这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且，
，
，
二次函数为，
，
． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
利用二次函数的性质得出结论；
根据题意，由，得出，则二次函数为，得出，解得．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出是解题的关键．
 

23.【答案】解：直径垂直弦，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，
，
在和中，
，
≌，
；
证明：是的直径，
，
，
，
∽，
，
，
由知，
，
，
；
解：，证明如下：
如图，连接，
，
，
直径垂直弦，
，，
，
≌，
，
设，，
则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
即，
，
． 

【解析】由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明≌，可得；
证明∽，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；
设，，可证，，通过证明≌，进而可得，即，则．
本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第问，需要大胆猜想，再逐步论证．