2023-2024学年云南省昆明市盘龙区铁路五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省昆明市盘龙区铁路五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=2(x−3)2+4的顶点坐标是( )
A. (3,4)B. (−3,4)C. (3,−4)D. (2,4)
2.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2，则a，b，c，d的大小关系是( )
A. a>b>c>d
B. a>b>d>c
C. b>a>c>d
D. b>a>d>c
3.设二次函数y=(x−3)2−4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是
( )
A. (1,0)B. (3,0)C. (−3,0)D. (0,−4)
4.将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. y=−5(x+1)2−1B. y=−5(x−1)2−1
C. y=−5(x+1)2+3D. y=−5(x−1)2+3
5.如图，抛物线顶点坐标是P(1,3)，则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是( )
A. x>3
B. x<3
C. x>1
D. x<1
6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法不正确的是( )
A. b2−4ac>0B. a>0C. c>0D. −b2a<0
7.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是( )
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−3
8.关于x的两个函数y=(x+h)2和y=h(x−1)在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y>0时，x的取值范围是( )
A. x<−1
B. x>3
C. −1D. x<−1或x>3
10.已知(−1,y1)，(−2,y2)，(−4,y3)是抛物线y=−2x2−8x+m上的点，则( )
A. y1二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为______．
12.抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则方程ax2=bx+c的解是______．
13.抛物线y=x2+3x的顶点在第______象限．
14.用配方法将二次函数y=x2−8x−9化为y=a(x−h)2+k的形式为：______．
15.若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
16.如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(−1,p)，B(4,q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是________．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)，E(3,0)两点，与y轴交于点B(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点D的坐标．
18.(本小题7分)
已知二次函数y=2(x−1)(x−m−3)(m为常数)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
19.(本小题8分)
已知二次函数y=(k−8)x2−6x+k的图象与x轴只有一个交点，求该交点的坐标．
20.(本小题8分)
当m取何值时，抛物线y=x2与直线y=x+m．
(1)有公共点；
(2)没有公共点．
21.(本小题10分)
一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．
22.(本小题10分)
如图所示，二次函数y=−x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y轴交于点C．
(1)求m的值；
(2)求点B的坐标；
(3)该二次函数图象上有一点D(x,y)，使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．
23.(本小题10分)
为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业，王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x(元)和游客居住房间数y(间)的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
24.(本小题12分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(−3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在(1)中的抛物线的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h.
已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标．
【解答】
解：y=2(x-3)2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,4)．
故选A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
图中函数均以原点为顶点，y轴为对称轴，根据开口宽窄和方向解答．
此题只要熟悉二次函数的性质，就可以解答．
【解答】
解：由二次函数y=ax2的性质知，
(1)抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定．
|a|越大，抛物线的开口越窄；
|a|越小，抛物线的开口越宽．
(2)抛物线y=ax2的开口方向由a决定．
当a>0时，开口向上，抛物线(除顶点外)都在x轴上方；
当a<0时，开口向下，抛物线(除顶点外)都在x轴下方．
根据以上结论知：a>b>0，0>c>d．
另法：作直线x=1，分别交四个函数图像与四个点，结合图像就可以判断大小。
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(x−3)2−4图象的对称轴为直线x=3，
∴直线l上所有点的横坐标都是3，
∵点M在直线l上，
∴点M的横坐标为3．
故选B．
根据二次函数的解析式可得出直线l的方程为x=3，点M在直线l上则点M的横坐标一定为3，从而选出答案．
本题考查二次函数的性质．
4.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=−5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=−5(x+1)2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y=−5(x+1)2−1，
故选：A．
直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆函数平移规律：左加右减，上加下减，这是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】【分析】
需要根据抛物线的对称轴及开口方向，判断函数的增减性．
考查二次函数的图象与性质．
【解答】
解：∵抛物线顶点坐标是P(1,3)，
∴对称轴为x=1，
又∵抛物线开口向下，
∴函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x>1．
故选C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
主要考查二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解析】
解：A、正确，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ=b2−4ac>0；
B、正确，∵抛物线开口向上，∴a>0；
C、正确，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0；
D、错误，∵抛物线的对称轴在x的正半轴上，∴−b2a>0．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：当x=0时，y=−1，所以图像与y轴的交点坐标为(0,−1)，A错;
y=2x2+4x−1=2(x+1)2−3，对称轴为直线x=−1，B错;
当−1二次函数的图像开口向上，有最小值−3，D正确．
故选D．
8.【答案】C
【解析】解：A、由一次函数y=h(x−1)的图象可得：h<0，此时二次函数y=(x+h)2的对称轴x=−h>0，不合题意；
B、由一次函数y=h(x−1)的图象可得：图象过点(1,0)，不合题意；
C、由一次函数y=h(x−1)的图象可得：h<0，图象过点(1,0)，此时二次函数y=(x+h)2的对称轴x=−h>0，符合题意；
D、由一次函数y=h(x−1)的图象可得：h>0，此时二次函数y=(x+h)2的对称轴x=−h<0，不合题意；
故选：C．
可先根据一次函数的图象判断h的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，进而判断选项的正误．
本题考查一次函数、二次函数的图象，熟知一次函数和二次函数的性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：由图可知，x<−1或x>3时，y>0．
故选D．
根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．
本题考查了二次函数与不等式．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数的图象和性质．
首先求出抛物线的对称轴，结合二次项系数−2<0，图象的开口向下，再结合二次函数的增减性即可比较大小．
【解答】
解：∵y=−2x2−8x+m=−2(x+2)2+m+8，
∴对称轴为x=−2，
∵二次项系数−2<0，
∴当x=−2时，y有最大值m+8，即y2 最大，
又∵−1−−2=1，−4−−2=2，1<2，
∴y1>y3，
∴y3故选C．
11.【答案】(−2,0)
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P(4,0)，Q两点关于它的对称轴x=1对称，
∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，
∴Q点的坐标为：(−2,0)．
故答案为：(−2,0)．
直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可．
此题主要考查了二次函数的性质，正确利用函数对称性得出答案是解题关键．
12.【答案】x1=−2，x2=1
【解析】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，
∴方程组y=ax2y=bx+c的解为x1=−2y1=4，x2=1y2=1，
即关于x的方程ax2−bx−c=0的解为x1=−2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=−2，x2=1，
故答案为：x1=−2，x2=1．
根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组y=ax2y=bx+c的解为x1=−2y1=4，x2=1y2=1，于是易得关于x的方程ax2−bx−c=0的解．
本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
13.【答案】三
【解析】解：抛物线y=x2+3x=(x+32)2−94的顶点坐标是(−32,−94)，
所以，顶点在第三象限．
故答案为：三．
将抛物线解析式配方成顶点式即可得到顶点坐标，可判断在第几象限．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
14.【答案】y=(x−4)2−25
【解析】解：y=x2−8x−9=x2−8x+16−9−16=(x−4)2−25，
故答案是：y=(x−4)2−25．
运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
15.【答案】m>9
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
利用根的判别式△<0列不等式求解即可．
【解答】
解：∵抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，
∴△=b2−4ac<0，
即(−6)2−4×1×m<0，
解得m>9，
∴m的取值范围是m>9．
故答案为m>9．
16.【答案】x<−1或x>4
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】
解：观察函数图象可知：当x<−1或x>4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<−1或x>4．
故答案为x<−1或x>4．
17.【答案】解：(1)由题意设抛物线为y=a(x+1)(x−3)，
代入点B(0,3)得，3=−3a，
解得a=−1，
∴y=−(x+1)(x−3)，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为(1,4)．
【解析】(1)由题意设抛物线为y=a(x+1)(x−3)，代入点B(0,3)求得a的值即可得解；
(2)把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出对称轴和顶点D的坐标即可．
本题主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称轴与顶点坐标的求解，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18.【答案】解：(1)证明：当y=0时，2(x−1)(x−m−3)=0，
解得：x1=1，x2=m+3．
当m+3=1，即m=−2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠−2时，方程有两个不相等的实数根．
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)当x=0时，y=2(x−1)(x−m−3)=2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6>0，即m>−3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)由方程2(x−1)(x−m−3)=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．
(1)代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
(2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．
19.【答案】解：∵二次函数y=(k−8)x2−6x+k的图象与x轴只有一个交点，
∴(−6)2−4×(k−8)×k=0，
解得，k1=9，k2=−1，
当k=9时，二次函数为：y=x2−6x+9=(x−3)2，
则交点坐标为：(3,0)，
当k=−1时，二次函数为：y=−9x2−6x−1=−(3x+1)2，
则交点坐标为：(−13,0)，
综上所述，交点的坐标为：(3,0)或(−13,0)．
【解析】根据Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点列出方程，解方程求出k，根据二次函数的图象和性质解答．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，掌握当Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点是解题的关键．
20.【答案】解：由题意得x2=x+m，整理得x2−x−m=0，
△=(−1)2−4(−m)=4m+1．
(1)4m+1≥0，
m≥−14，有公共点；
(2)4m+1<0，
m<−14，没有公共点．
【解析】把两函数的交点问题转化为一元二次方程根的情况：，由两解析式组成方程组，消去y得到x2=x+m，整理得x2−x−m=0，然后根据判别式的意义得△=(−1)2−4(−m)=4m+1．
(1)有公共点，△≥0；
(2)没有公共点Δ<0，最后解关于m的不等式即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题，转化为方程，利用根的判别式解决问题．
21.【答案】解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为32xcm，
∴x>020−2x>012−32x>0，
解得：0y=20×32x+2×12x−2×32x⋅x=−3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=−3x2+54x(0(2)根据题意得：−3x2+54x=25×20×12，
整理可得：x2−18x+32=0，
解得：x1=2，x2=16(舍)，
∴32x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
【解析】(1)由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为32xcm，根据题中条件，三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积−横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
(2)根据题中条件，三条彩条所占面积是图案面积的25，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
本题主要考查根据实际问题列函数关系式及一元二次方程的实际应用能力，利用数形结合思想，根据“三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积−横竖彩条重叠矩形的面积”列出函数关系式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)把A(3,0)代入二次函数y=−x2+2x+m得：
−9+6+m=0，
m=3；
(2)由(1)可知，二次函数的解析式为：y=−x2+2x+3；
当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
当y=0时，−x2+2x+3=0，
x2−2x−3=0，
(x+1)(x−3)=0，
∴x=−1或3，
∴B(−1,0)；
(3)∵S△ABD=S△ABC，
当y=3时，−x2+2x+3=3，
−x2+2x=0，
x2−2x=0，
x(x−2)=0，
x=0或2，
当y=−3时，−x2+2x+3=−3，
−x2+2x+6=0，
x2−2x−6=0，
解得：x=1± 7，
综上所述，点D的坐标为(0,3)或(2,3)或(1+ 7,−3)或(1− 7,−3)．
【解析】(1)直接将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出m的值，写出二次函数的解析式；
(2)分别计算当x=0和y=0时的值，写出B、C两点的坐标；
(3)因为S△ABD=S△ABC，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高与OC的长相等即可，因此要计算y=3和y=−3时对应的点即可．
本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，待定系数法就是将已知的点代入解析式中列方程或方程组求解，对于抛物线与x轴的交点，令y=0代入即可，抛物线与y轴的交点，令x=0代入即可．
23.【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，
70k+b=7580k+b=70，得k=−0.5b=110，
即y与x之间的函数关系式是y=−0.5x+110；
(2)设合作社每天获得的利润为w元，
w=x(−0.5x+110)−20(−0.5x+110)
=−0.5x2+120x−2200=−0.5(x−120)2+5000，
∵60≤x≤150，
∴当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
答：房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元．
【解析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
(1)根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式；
(2)根据题意可以得到利润与x之间的函数解析式，从而可以求得最大利润．
24.【答案】解：(1)将A(1,0)，B(−3,0)代y=−x2+bx+c中得
−1+b+c=0−9−3b+c=0，
∴b=−2c=3．
∴抛物线解析式为：y=−x2−2x+3．
(2)存在．
理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=−1对称，
∴直线BC与x=−1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，
∵y=−x2−2x+3，
∴C的坐标为(0,3)，
直线BC解析式为：y=x+3，
Q点坐标即为x=−1y=x+3，
解得x=−1y=2，
∴Q(−1,2)．
(3)存在．
理由如下：设P点(x,−x2−2x+3)(−3∵S△BPC=S四边形BPCO−S△BOC=S四边形BPCO−92，
若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大，
∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，
=12BE⋅PE+12OE(PE+OC)
=12(x+3)(−x2−2x+3)+12(−x)(−x2−2x+3+3)
=−32x+322+92+278，
当x=−32时，S四边形BPCO最大值=92+278，
∴S△BPC最大=92+278−92=278，
当x=−32时，−x2−2x+3=154，
∴点P坐标为(−32,154).
【解析】(1)根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；
(2)根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
(3)存在，设点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．
此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．