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3高一数学必修第二册期末模拟试卷（新高考版提高卷1）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）
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这是一份3高一数学必修第二册期末模拟试卷（新高考版提高卷1）-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册），文件包含3高一数学必修第二册期末模拟试卷新高考版提高卷1解析版docx、3高一数学必修第二册期末模拟试卷新高考版提高卷1原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
人教A版2019必修第二册（全册）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，则，，
所以.
故选：D
2．（2023·四川内江·统考三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D
【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
3．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】.
对选项A：得到的函数为，A错误；
对选项B：得到的函数为，B错误；
对选项C：得到的函数为，C错误；
对选项D：得到的函数为，D正确，
故选：D
4．（2023春·四川成都·高一川大附中校考期中）如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
是的中点，
，
当时，取得最小值.
故选：B.
5．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】如图：
延长与交于，连接交于，
则平面与三棱锥的截面是，
将三棱锥分成两部分，三棱台，多面体，
设，，，
，
，设，则，
，则，
，解得：，由于
所以
故选：D.
6．（2023春·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考期中）已知函数的一个零点是，函数图像的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】依题意得，，即，
解得或（其中，）.①
又，
即（其中）.②
由①②得或，
即或（其中，，），
因此的最小值为.
因为，所以（）.
又，所以，
所以，
令（），则（）.
因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.
故选:B.
7．（2023春·吉林·高一校联考期中）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在直角中，，
因为在中，，，
所以，
在中由正弦定理可得，
又由，
所以在直角中，可得,
故选：B
8．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，顶点P到底面的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱与底面所成角的正切值的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】正外心为，边长为，则，
外接球球心必在过垂直于底面的直线上，
，则，
若P，在平面ABC的同侧；
到底面距离为2，故在离底面距离为2的平面上，
则轨迹为上以为圆心，5为半径的圆，
作底面，则轨迹为以为圆心，5为半径的圆，
与面所成角为，
，
所以
同理，若P与在平面ABC的异侧，则P的轨迹是半径为3的圆，
此时，
所以；
综上.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）甲､乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8.9，10.则（ ）
A．甲的环数的70%分位数是7
B．甲的平均环数比乙的平均环数小
C．这20个数据的平均值为6.6
D．若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为4.34
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以甲的环数的分位数是，故A错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，这20个数据的平均值，故C正确；
对于D，这20个数据的方差为，故D错误.
故选：BC.
10．（2023春·山西·高一统考阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为，所以，故A错误．
，故B正确．
，故C正确．
因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确．
故选：BCD.
11．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点 对称
B．的图像关于直线 对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】BCD
【详解】由图可知：，的周期，
当时，，，
；
对于A，，错误；
对于B，，正确；
对于C，将向右平移：
，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；
故选：BCD.
12．（2023·全国·高三专题练习）某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（ ）
A．中一等奖的概率为B．中二等奖的概率为C．中三等奖的概率为D．没有中奖的概率为
【答案】AC
【详解】根据题意，所有可能的情况为，
对：其中满足的情况为，，，有6种情况，
即同时为，且，故发生的概率，故选项A正确；
对：满足的情况，当，，有6种情况，
即同时为，且；
当，有10种情况，
即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，
故发生的概率，故选项B错误；
对：满足的情况，当，，有6种情况，
即同时为，且，
当，有10种情况；
即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，
当，有8种情况，
即分别为或或或以及分别为或或或，且，
故可得发生的概率，故选项C正确；
对：没有中奖的概率为，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023·全国·高一专题练习）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________.
【答案】3
【详解】由题意可得，,
解得.
故答案为：3.
14．（2023·上海·高三专题练习）在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．
【答案】
【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13组，
所以甲获胜的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为，
故答案为：
15．（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，设中的角所对的边是，已知，，点分别为边上的动点，线段交于点，且，若，则__________.
【答案】
【详解】设，
三点共线，.①
又，.②,
由①②得或（舍去）,故，
,
（或者在中可以用余弦定理求出.）
故答案为：
16．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）将3个的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接于一个边长为的正六边形上，如图（2）所示．若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为_______；若在该七面体内放置一个小球，则小球半径的最大值为_______．
【答案】 108
【详解】将平面图形折叠并补形得到如图（3）所示的正方体，
该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，
易得其体积为正方体体积的一半，即．
当小球为该七面体的内切球时，半径最大，此球亦为正三棱锥的内切球，，
设O为的中心，则，高，
设正三棱锥A－BCD的内切球的半径为，
则，①
在中，，得，
，代入①，得．
故答案为：108；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产三种纪念品，每种产品都分精品型和普通型两种，某一天的产量如下表（单位：个）
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个．
(1)求n的值；
(2)从B中精品型纪念品中抽取5个，某种指标的数值如下：x，y，10，11，9，把这5个数据看做一个总体，其均值为10、方差为2，求的值．
【答案】(1)400
(2)4
【详解】（1）解：设这一天生产的纪念品为个，
由题意得，，（个），
所以（个）.
（2）解：由题得，则，
由于得，
从而，，
即.
18．（2023·全国·高一专题练习）中华人民共和国第十四届全国运动会､全国第十一届残运会暨第八届特奥会于2021年在中国陕西举行，为宣传全运会､特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会､特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人去社区开展全运会､特奥会宜传活动，求做宣传的这2名学生中，其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率.
【答案】(1)18人；
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于60分的人数为
平均成绩．
（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，
所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人．
记抽取成绩在的4人为，抽取成绩在的2人为．
从这6人中随机抽取2人的所有可能为
，
，共15种，
其中1人成绩在，另1人成绩在的有
，共有8种，
所以其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率为．
19．（2023春·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期中）已知，.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，，且、、三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），．
，，．
．
（2），
，
即，
整理得，解得．
（3）因为，
，
因为、、三点共线，
所以，即，解得.
20．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，故，
且，解得，
因为直线为图象的一条对称轴，则，
解得，且，
当时满足条件，此时，
则，
又因为，则，
所以.
（2）由题意可知，
整理得，
原题意等价于与有且仅有一个交点，
因为，则，且，
可得或，解得或，
所以m的取值范围．
21．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，满足.
(1)求的大小；
(2)，点D在BC上，，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
即.
由余弦定理得：，
又，所以.
（2）选①：由上可知，在中，，由正弦定理得：
，所以.
故，
在中，为锐角，，
故，.
.
在中，，故.
所以的面积.
选②：因为，所以.
所以.
.
在中，，故.
所以的面积.
选③：在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：.
，故.
所以的面积.
22．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为在正方形中，
折叠后即有，
又平面，
所以平面，而平面,
故；
（2）由题意知，故，
故；
（3）取线段的中点G，连接，
因为，
所以有，平面,平面,
所以即为二面角的平面角，
又由（1）得平面，平面，
故,而,,
故,即二面角的余弦值为.纪念品A
纪念品B
纪念品C
精品型
100
150
n
普通型
300
450
600
人教A版2019必修第二册（全册）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由，得，则，，
所以.
故选：D
2．（2023·四川内江·统考三模）一个人连续射击次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件
C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件
【答案】D
【详解】一个人连续射击次，其可能结果为击中次，击中次，击中次，
其中“至少一次击中”包括击中一次和击中两次，
事件“两次均击中”包含于事件“至少一次击中”，故A错误；
事件“第一次击中”包含第一次击中且第二次没有击中，或第一、二次都击中，
事件“第二次击中” 包含第二次击中且第一次没有击中，或第一、二次都击中，故B错误；
事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”可以同时发生，故C错误；
事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件，故D正确；
故选：D
3．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】.
对选项A：得到的函数为，A错误；
对选项B：得到的函数为，B错误；
对选项C：得到的函数为，C错误；
对选项D：得到的函数为，D正确，
故选：D
4．（2023春·四川成都·高一川大附中校考期中）如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，
是的中点，
，
当时，取得最小值.
故选：B.
5．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，在三棱柱中，，是棱AB上一点，若平面把三棱柱分成体积比为的两部分，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】如图：
延长与交于，连接交于，
则平面与三棱锥的截面是，
将三棱锥分成两部分，三棱台，多面体，
设，，，
，
，设，则，
，则，
，解得：，由于
所以
故选：D.
6．（2023春·辽宁·高一葫芦岛第一高级中学校联考期中）已知函数的一个零点是，函数图像的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】依题意得，，即，
解得或（其中，）.①
又，
即（其中）.②
由①②得或，
即或（其中，，），
因此的最小值为.
因为，所以（）.
又，所以，
所以，
令（），则（）.
因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.
故选:B.
7．（2023春·吉林·高一校联考期中）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度约为(取)（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在直角中，，
因为在中，，，
所以，
在中由正弦定理可得，
又由，
所以在直角中，可得,
故选：B
8．（2023·浙江·统考二模）已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，顶点P到底面的距离为2，其外接球半径为5，则侧棱与底面所成角的正切值的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】正外心为，边长为，则，
外接球球心必在过垂直于底面的直线上，
，则，
若P，在平面ABC的同侧；
到底面距离为2，故在离底面距离为2的平面上，
则轨迹为上以为圆心，5为半径的圆，
作底面，则轨迹为以为圆心，5为半径的圆，
与面所成角为，
，
所以
同理，若P与在平面ABC的异侧，则P的轨迹是半径为3的圆，
此时，
所以；
综上.
故选：A.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）甲､乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8.9，10.则（ ）
A．甲的环数的70%分位数是7
B．甲的平均环数比乙的平均环数小
C．这20个数据的平均值为6.6
D．若甲的方差为2.25，乙的方差为4.41，则这20个数据的方差为4.34
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以甲的环数的分位数是，故A错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，这20个数据的平均值，故C正确；
对于D，这20个数据的方差为，故D错误.
故选：BC.
10．（2023春·山西·高一统考阶段练习）如图，在正方形中，Q为上一点，交于E，且E，F为的两个三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为，所以，故A错误．
，故B正确．
，故C正确．
因为E为上靠近B的三等分点，所以，利用相似性质可得，则．故D正确．
故选：BCD.
11．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）已知函数 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图像关于点 对称
B．的图像关于直线 对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．若方程在 上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】BCD
【详解】由图可知：，的周期，
当时，，，
；
对于A，，错误；
对于B，，正确；
对于C，将向右平移：
，正确；
对于D，的大致图像如下：
欲使得在内方程有2个不相等的实数根，则，正确；
故选：BCD.
12．（2023·全国·高三专题练习）某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为，，，若满足，，，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三等奖，则（ ）
A．中一等奖的概率为B．中二等奖的概率为C．中三等奖的概率为D．没有中奖的概率为
【答案】AC
【详解】根据题意，所有可能的情况为，
对：其中满足的情况为，，，有6种情况，
即同时为，且，故发生的概率，故选项A正确；
对：满足的情况，当，，有6种情况，
即同时为，且；
当，有10种情况，
即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，
故发生的概率，故选项B错误；
对：满足的情况，当，，有6种情况，
即同时为，且，
当，有10种情况；
即分别为或或或或以及分别为或或或或，且，
当，有8种情况，
即分别为或或或以及分别为或或或，且，
故可得发生的概率，故选项C正确；
对：没有中奖的概率为，故选项D错误．
故选：AC．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）
13．（2023·全国·高一专题练习）某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________.
【答案】3
【详解】由题意可得，,
解得.
故答案为：3.
14．（2023·上海·高三专题练习）在一次全运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．羽毛球的比赛规则是3局2胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率．为此，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6．由于要比赛三局，所以每3个随机数为一组．例如，产生了20组随机数：
423 231 423 344 114 453 525 323 152 342
345 443 512 541 125 342 334 252 324 254
相当于做了20次重复试验，用频率估计甲获得冠军的概率的近似值为_____．
【答案】
【详解】解：由题意可知，20组随机数中甲获胜的有：423 231 423 114 323 152 342 512 125 342 334 252 324有13组，
所以甲获胜的频率为，
所以甲获得冠军的概率的近似值约为，
故答案为：
15．（2023春·高一平湖市当湖高级中学校联考期中）如图，设中的角所对的边是，已知，，点分别为边上的动点，线段交于点，且，若，则__________.
【答案】
【详解】设，
三点共线，.①
又，.②,
由①②得或（舍去）,故，
,
（或者在中可以用余弦定理求出.）
故答案为：
16．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）将3个的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接于一个边长为的正六边形上，如图（2）所示．若该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为_______；若在该七面体内放置一个小球，则小球半径的最大值为_______．
【答案】 108
【详解】将平面图形折叠并补形得到如图（3）所示的正方体，
该七面体为正方体沿着图中的六边形截面截去一部分后剩下的另一部分，
易得其体积为正方体体积的一半，即．
当小球为该七面体的内切球时，半径最大，此球亦为正三棱锥的内切球，，
设O为的中心，则，高，
设正三棱锥A－BCD的内切球的半径为，
则，①
在中，，得，
，代入①，得．
故答案为：108；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
17．（2023·全国·高一专题练习）某工厂生产三种纪念品，每种产品都分精品型和普通型两种，某一天的产量如下表（单位：个）
现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中有A种纪念品40个．
(1)求n的值；
(2)从B中精品型纪念品中抽取5个，某种指标的数值如下：x，y，10，11，9，把这5个数据看做一个总体，其均值为10、方差为2，求的值．
【答案】(1)400
(2)4
【详解】（1）解：设这一天生产的纪念品为个，
由题意得，，（个），
所以（个）.
（2）解：由题得，则，
由于得，
从而，，
即.
18．（2023·全国·高一专题练习）中华人民共和国第十四届全国运动会､全国第十一届残运会暨第八届特奥会于2021年在中国陕西举行，为宣传全运会､特奥会，让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学举办了全运会､特奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)试根据频率分布直方图求出这100人中成绩低于60分的人数，并估计这100人的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；
(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人去社区开展全运会､特奥会宜传活动，求做宣传的这2名学生中，其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率.
【答案】(1)18人；
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图中数据知，成绩低于60分的人数为
平均成绩．
（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，
所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人．
记抽取成绩在的4人为，抽取成绩在的2人为．
从这6人中随机抽取2人的所有可能为
，
，共15种，
其中1人成绩在，另1人成绩在的有
，共有8种，
所以其中1人成绩在，另外1人成绩在的概率为．
19．（2023春·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期中）已知，.
(1)求与夹角的余弦值；
(2)若，求实数的值；
(3)若，，且、、三点共线，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1），．
，，．
．
（2），
，
即，
整理得，解得．
（3）因为，
，
因为、、三点共线，
所以，即，解得.
20．（2023春·辽宁·高一校联考期中）已知函数的部分图象如图所示，且直线为图象的一条对称轴．
(1)求的解析式；
(2)若方程在区间上有且仅有1个实数根，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，故，
且，解得，
因为直线为图象的一条对称轴，则，
解得，且，
当时满足条件，此时，
则，
又因为，则，
所以.
（2）由题意可知，
整理得，
原题意等价于与有且仅有一个交点，
因为，则，且，
可得或，解得或，
所以m的取值范围．
21．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，满足.
(1)求的大小；
(2)，点D在BC上，，在①，②，③这三个条件中任选一个作为条件，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理得：，
即.
由余弦定理得：，
又，所以.
（2）选①：由上可知，在中，，由正弦定理得：
，所以.
故，
在中，为锐角，，
故，.
.
在中，，故.
所以的面积.
选②：因为，所以.
所以.
.
在中，，故.
所以的面积.
选③：在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：.
，故.
所以的面积.
22．（2023春·吉林·高一长春吉大附中实验学校校考期中）如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点．将分别沿折起，使三点重合于点P．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：因为在正方形中，
折叠后即有，
又平面，
所以平面，而平面,
故；
（2）由题意知，故，
故；
（3）取线段的中点G，连接，
因为，
所以有，平面,平面,
所以即为二面角的平面角，
又由（1）得平面，平面，
故,而,,
故,即二面角的余弦值为.纪念品A
纪念品B
纪念品C
精品型
100
150
n
普通型
300
450
600
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