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    新高考数学一轮复习讲练测专题7.3等比数列及其前n项和(练)(含解析)

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    这是一份新高考数学一轮复习讲练测专题7.3等比数列及其前n项和(练)(含解析),共21页。试卷主要包含了已知数列中,,等内容,欢迎下载使用。

    专题7.3   等比数列及其前n项和

    1.(2021·全国高考真题(文))记为等比数列的前n项和.,则   

    A7 B8 C9 D10

    【答案】A

    【解析】

    根据题目条件可得成等比数列,从而求出,进一步求出答案.

    【详解】

    为等比数列的前n项和,

    成等比数列

    .

    故选:A.

    2.(2021·山东济南市·)已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和,其中S3a32a4,则a5=(   

    A B C8 D16

    【答案】C

    【解析】

    设等比数列的公比为q,根据题意列方程,解出q即可.

    【详解】

    解:设递增的等比数列{an}的公比为,且q1

    S3

    1+q+q2)=q4q3

    解得q22q(舍去).

    8

    故选:C

    3.(2021·重庆高三其他模拟)设等比数列的前项和为,则   

    A B C D

    【答案】C

    【解析】

    设等比数列公比为,由结合已知条件求,再利用等比数列前n项和公式求.

    【详解】

    设等比数列公比为,则,又

    ,故

    ,即.

    故选:C

    4.(2021·合肥市第六中学高三其他模拟(理))若等比数列满足,则   

    A B C D

    【答案】A

    【解析】

    设等比数列的公比为q,根据等比数列的通项公式建立方程组,解之可得选项.

    【详解】

    设等比数列的公比为q,则,所以,又

    所以

    故选:A.

    5.2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题:三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,问此人第二天走了(   

    A6 B24 C48 D96

    【答案】D

    【解析】

    根据题意,记每天走的路程里数为,可知是公比的等比数列,

    ,得

    解可得

    即此人第二天走的路程里数为96

    故选:D

    6.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)已知等比数列的公比为,前项和为,则的(   

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】D

    【解析】

    可得出,取,由,进而判断可得出结论.

    【详解】

    ,则,即,所以,数列为递增数列,

    所以,的既不充分也不必要条件.

    故选:D.

    7.(2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟(文))在数列中,,且,则___________.

    【答案】

    【解析】

    ,得到,得出数列构成以为首项,以为公比的等比数列,结合等比数列的求和公式,即可求解.

    【详解】

    ,可得

    又由,可得,所以

    所以数列构成以为首项,以为公比的等比数列,

    所以.

    故答案为:.

    8.(2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟)已知数列满足,则____________

    【答案】       

    【解析】

    利用求通项公式,再求出.

    【详解】

    对于

    n=1时,有,解得:1

    时,有,所以,所以,所以数列为等比数列,

    所以.

    故答案为:1.

    9.2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟)已知数列满足,则________________

    【答案】       

    【解析】

    根据,求出数列的通项公式,再代入求出

    【详解】

    解:因为

    时,,解得

    时,,所以,即

    于是是首项为,公比为2的等比数列,

    所以

    所以

    故答案为:

    10.(2018·全国高考真题(文))等比数列中,

    (1)求的通项公式;

    (2)记的前项和.若,求

    【答案】(1) .

    (2).

    【解析】

    (1)设的公比为,由题设得

    由已知得,解得(舍去),

    (2)若,则.由,此方程没有正整数解.

    ,则.由,解得

    综上,

    1辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列,且,则   

    A.     B.     C.     D.

    【答案】B

    【解析】由等比数列的性质可得:

    ,结合可得:

    结合等比数列的性质可得:

    即: .

    本题选择B选项.

    2.(2021·全国高三其他模拟(文))如图,数塔的第行第个数为(其中,且).将这些数依次排成一列1121241248124816,记作数列,设的前项和为.,则   

    A46 B47 C48 D49

    【答案】C

    【解析】

    根据数塔的规律,可知第行共有个数,利用等比数列求和公式求出第行的数字之和,再求出前行的和,即可判断取到第几行,再根据每行数字个数成等差数列,即可求出

    【详解】

    解:数塔的第行共有个数,其和为,所以前行的和为

    故前行所有数学之和为,因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4,其和为,易知数塔行共有个数,所以

    故选:C

    3.(2021·江苏高三其他模拟)已知数列满足,其前项和为,则下列结论中正确的有(   

    A是递增数列 B是等比数列

    C D

    【答案】ACD

    【解析】

    将递推公式两边同时取指数,变形得到,构造等比数列可证为等比数列,求解出通项公式则可判断A选项;根据判断B选项;根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项;将的通项公式放缩得到,由此进行求和并判断D选项.

    【详解】

    因为,所以

    从而,所以

    所以,又是首项为,公比为的等比数列,

    所以,所以,即

    又因为时单调递增,在定义域内单调递增,

    所以是递增数列,故A正确;

    因为

    所以

    所以

    所以,所以不是等比数列,故B错误.

    因为

    ,从而

    于是,,故C正确.

    因为,所以,故D正确.

    故选:ACD.

    4. (2019·浙江高三期末)数列的前n项和为,且满足

    求通项公式

    ,求证:

    【答案】见解析

    【解析】

    时,

    数列是首项为1,公比为2的等比数列,

    证明:

    时,

    同理:

    故:

    5.(2021·河北衡水中学高三三模)已知数列的前项和为,且满足,其中.

    1)若,求出

    2)是否存在实数使为等比数列?若存在,求出,若不存在,说明理由.

    【答案】(1;(2)存在,.

    【解析】

    1)将代入,由递推关系求出通项公式,并检验当时是否满足,即可得到结果;(2)先假设存在实数满足题意,结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数的值,运用分组求和法求出的值.

    【详解】

    1)由题可知:当时有:

    时,

    满足上式,故.

    2)假设存在实数满足题意,则当时,

    由题可得:

    和题设对比系数可得:.

    此时

    故存在使得是首项为4,公比为2的等比数列.

    从而.

    所以.

    6.(2021·辽宁本溪市·高二月考)已知数列,满足,设为实数).

    1)求证:是等比数列;

    2)求数列的通项公式;

    3)若是递增数列,求实数的取值范围.

    【答案】(1)证明见解析;(2;(3

    【解析】

    1)由,变形为,再利用等比数列的定义证明;

    2)由(1)的结论,利用等比数列的通项公式求解;

    3)根据是递增数列,由,恒成立求解.

    【详解】

    1)因为

    所以

    又因为

    所以

    所以

    所以是等比数列.

    2)由,公比为2

    所以

    3)因为

    所以

    所以

    因为是递增数列,所以成立,

    成立,

    成立,

    因为是递减数列,

    所以该数列的最大项是

    所以的取值范围是

    7.(2021·河南商丘市·高二月考(理))在如图所示的数阵中,从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列,如:;依次选出来的数可组成等比数列,如:….

    记第行第个数为.

    )若,写出的表达式,并归纳出的表达式;

    )求第行所有数的和.

    【答案】(;(.

    【解析】

    I)由数阵写出,由此可归纳出.

    II,利用错位相减法求得结果.

    【详解】

    )由数阵可知:

    由此可归纳出.

    所以

    错位相减得.

    8.(2021·山东烟台市·高三其他模拟)已知数列的前n项和为,且满足.

    1)求的通项公式;

    2)设数列满足,按照如下规律构造新数列,求的前2n项和.

    【答案】(1;(2)数列的前2n项和为.

    【解析】

    1)由可得可得答案;

    2)由,两式相除可得数列的偶数项构成等比数列,再由(1)可得数列的前2n项的和.

    【详解】

    1)由

    ,所以.

    因为,所以,所以.

    又当时,,适合上式.

    所以.

    2)因为,所以

    ,所以.

    所以数列的偶数项构成以为首项2为公比的等比数列.

    故数列的前2n项的和

    所以数列的前2n项和为.

    9(2019·浙江高考模拟)已知数列中,

    (1)令,求证:数列是等比数列;

    (2)令 ,当取得最大值时,求的值.

    【答案】(I)见解析(2)最大,即

    【解析】

    (1)

    两式相减,得

    即:

    ∴ 数列是以2为首项,2为公比的等比数列

    (2)由(1)可知,

    也满足上式

    ,则

    最大,即

    10.2021·浙江高三其他模拟)已知数列满足,数列满足.

    1)数列的通项公式;

    2)若,求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.

    【答案】(1;(2)最大值为44.

    【解析】

    1)由题得数列是等比数列,即求出数列的通项;由题得是一个以为首项,以1为公差的等差数列,即得数列的通项公式;

    2)先求出,再求出即得解.

    【详解】

    解:(1)由

    所以数列是等比数列,公比为

    解得.

    ,得

    所以是一个以为首项,以1为公差的等差数列,

    所以

    解得.

    2)由

    所以为单调递减且

    所以

    因此

    时,的最大值为44

    时,的最大值为43

    的最大值为44.

    1.(2021·全国高考真题(理))等比数列的公比为q,前n项和为,设甲:,乙:是递增数列,则(   

    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

    C.甲是乙的充要条件

    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

    【答案】B

    【解析】

    时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当是递增数列时,必有成立即可说明成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案.

    【详解】

    由题,当数列为时,满足

    但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.

    是递增数列,则必有成立,若不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立,所以甲是乙的必要条件.

    故选:B

    2.(2020·全国高考真题(文))Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5a3=12a6a4=24,则=   

    A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1

    【答案】B

    【解析】

    设等比数列的公比为

    可得:

    所以

    因此.

    故选:B.

    3.(2019·全国高考真题(文))已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则 

    A.16 B.8 C.4 D.2

    【答案】C

    【解析】

    设正数的等比数列{an}的公比为,则

    解得,故选C.

    4.(2019·全国高考真题(文))记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________.

    【答案】.

    【解析】

    设等比数列的公比为,由已知

    ,即

    解得

    所以

    5.(2020·海南省高考真题)已知公比大于的等比数列满足

    1)求的通项公式;

    (2)求.

    【答案】(1);(2

    【解析】

     (1) 设等比数列的公比为q(q>1),则

    整理可得:

    数列的通项公式为:.

    (2)由于:,故:

    .

    6.(2021·浙江高考真题)已知数列的前n项和为,且.

    1)求数列的通项;

    2)设数列满足,记的前n项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.

    【答案】(1;(2.

    【解析】

    1)由,结合的关系,分讨论,得到数列为等比数列,即可得出结论;

    2)由结合的结论,利用错位相减法求出对任意恒成立,分类讨论分离参数,转化为与关于的函数的范围关系,即可求解.

    【详解】

    1)当时,

    时,由

    是首项为,公比为的等比数列,

    2)由,得

    所以

    两式相减得

    所以

    恒成立,

    恒成立,

    时不等式恒成立;

    时,,得

    时,,得

    所以.

     

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