新高考数学一轮复习讲练测专题7.3等比数列及其前n项和(练)(含解析)
展开专题7.3 等比数列及其前n项和
1.(2021·全国高考真题(文))记为等比数列的前n项和.若,,则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】
根据题目条件可得,,成等比数列,从而求出,进一步求出答案.
【详解】
∵为等比数列的前n项和,
∴,,成等比数列
∴,
∴,
∴.
故选:A.
2.(2021·山东济南市·)已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和,其中S3=,a32=a4,则a5=( )
A. B. C.8 D.16
【答案】C
【解析】
设等比数列的公比为q,根据题意列方程,解出和q即可.
【详解】
解:设递增的等比数列{an}的公比为,且q1,
∵S3=,,
∴(1+q+q2)=,q4=q3,
解得=,q=2;=2,q=(舍去).
则==8.
故选:C.
3.(2021·重庆高三其他模拟)设等比数列的前项和为,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设等比数列公比为,由结合已知条件求、,再利用等比数列前n项和公式求.
【详解】
设等比数列公比为,则,又,
∴,故,
又,即.
故选:C
4.(2021·合肥市第六中学高三其他模拟(理))若等比数列满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设等比数列的公比为q,根据等比数列的通项公式建立方程组,解之可得选项.
【详解】
设等比数列的公比为q,则,所以,又,
所以,
故选:A.
5.(2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末)中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,问此人第二天走了( )
A.6里 B.24里 C.48里 D.96里
【答案】D
【解析】
根据题意,记每天走的路程里数为,可知是公比的等比数列,
由,得,
解可得,
则;
即此人第二天走的路程里数为96;
故选:D.
6.(2021·江苏南通市·高三其他模拟)已知等比数列的公比为,前项和为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
由可得出,取,由,进而判断可得出结论.
【详解】
若,则,即,所以,数列为递增数列,
若,,
所以,“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D.
7.(2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟(文))在数列中,,且,则___________.
【答案】
【解析】
由,,得到且,得出数列构成以为首项,以为公比的等比数列,结合等比数列的求和公式,即可求解.
【详解】
由,可得,
又由,可得,所以,
所以数列构成以为首项,以为公比的等比数列,
所以.
故答案为:.
8.(2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟)已知数列满足,则_____,_______.
【答案】
【解析】
利用求通项公式,再求出.
【详解】
对于,
当n=1时,有,解得:1;
当时,有,所以,所以,所以数列为等比数列,,
所以.
故答案为:1,.
9.(2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟)已知数列满足,则________,________.
【答案】
【解析】
根据,求出数列的通项公式,再代入求出.
【详解】
解:因为
当时,,解得;
当时,,所以,即
于是是首项为,公比为2的等比数列,
所以.
所以,
故答案为:;;
10.(2018·全国高考真题(文))等比数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)记为的前项和.若,求.
【答案】(1)或 .
(2).
【解析】
(1)设的公比为,由题设得.
由已知得,解得(舍去),或.
故或.
(2)若,则.由得,此方程没有正整数解.
若,则.由得,解得.
综上,.
1.(辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列为等比数列,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得: ,
,结合可得: ,
结合等比数列的性质可得: ,
即: .
本题选择B选项.
2.(2021·全国高三其他模拟(文))如图,“数塔”的第行第个数为(其中,,且).将这些数依次排成一列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,记作数列,设的前项和为.若,则( )
A.46 B.47 C.48 D.49
【答案】C
【解析】
根据“数塔”的规律,可知第行共有个数,利用等比数列求和公式求出第行的数字之和,再求出前行的和,即可判断取到第几行,再根据每行数字个数成等差数列,即可求出;
【详解】
解:“数塔”的第行共有个数,其和为,所以前行的和为
故前行所有数学之和为,因此只需要加上第10行的前3个数字1,2,4,其和为,易知“数塔”前行共有个数,所以
故选:C
3.(2021·江苏高三其他模拟)已知数列满足,,其前项和为,则下列结论中正确的有( )
A.是递增数列 B.是等比数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
将递推公式两边同时取指数,变形得到,构造等比数列可证为等比数列,求解出通项公式则可判断A选项;根据判断B选项;根据的通项公式以及对数的运算法则计算的正负并判断C选项;将的通项公式放缩得到,由此进行求和并判断D选项.
【详解】
因为,所以,
从而,,所以,
所以,又,是首项为,公比为的等比数列,
所以,所以,即,
又因为在时单调递增,在定义域内单调递增,
所以是递增数列,故A正确;
因为,
所以,
所以,
所以,所以不是等比数列,故B错误.
因为
,
而
,从而,
于是,,故C正确.
因为,所以,故D正确.
故选:ACD.
4. (2019·浙江高三期末)数列的前n项和为,且满足,
Ⅰ求通项公式;
Ⅱ记,求证:.
【答案】Ⅰ;Ⅱ见解析
【解析】
Ⅰ,
当时,,
得,
又,
,
数列是首项为1,公比为2的等比数列,
;
证明:Ⅱ,
,
时,,
,
同理:,
故:.
5.(2021·河北衡水中学高三三模)已知数列的前项和为,且满足,,其中.
(1)若,求出;
(2)是否存在实数,使为等比数列?若存在,求出,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,.
【解析】
(1)将代入,由递推关系求出通项公式,并检验当时是否满足,即可得到结果;(2)先假设存在实数,满足题意,结合已知条件求出满足数列是等比数列的实数,的值,运用分组求和法求出的值.
【详解】
(1)由题可知:当时有:,
当时,,
又满足上式,故.
(2)假设存在实数,满足题意,则当时,
由题可得:,
和题设对比系数可得:,,.
此时,,
故存在,使得是首项为4,公比为2的等比数列.
从而.
所以.
6.(2021·辽宁本溪市·高二月考)已知数列,满足,,设,(为实数).
(1)求证:是等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)若是递增数列,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
(1)由,变形为,再利用等比数列的定义证明;
(2)由(1)的结论,利用等比数列的通项公式求解;
(3)根据是递增数列,由,恒成立求解.
【详解】
(1)因为,
所以,
即,
又因为,
所以,
所以,
所以是等比数列.
(2)由,公比为2,
得,
所以.
(3)因为,
所以,
所以,
因为是递增数列,所以成立,
故,成立,
即,成立,
因为是递减数列,
所以该数列的最大项是,
所以的取值范围是.
7.(2021·河南商丘市·高二月考(理))在如图所示的数阵中,从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列,如:,,,,…;依次选出来的数可组成等比数列,如:,,,,….
记第行第个数为.
(Ⅰ)若,写出,,的表达式,并归纳出的表达式;
(Ⅱ)求第行所有数的和.
【答案】(Ⅰ),,,;(Ⅱ).
【解析】
(I)由数阵写出,,,由此可归纳出.
(II),利用错位相减法求得结果.
【详解】
(Ⅰ)由数阵可知:
,,,
由此可归纳出.
(Ⅱ)
,
所以,
错位相减得.
8.(2021·山东烟台市·高三其他模拟)已知数列的前n项和为,且满足,,.
(1)求的通项公式;
(2)设数列满足,,,按照如下规律构造新数列:,求的前2n项和.
【答案】(1),;(2)数列的前2n项和为.
【解析】
(1)由可得可得答案;
(2)由得,两式相除可得数列的偶数项构成等比数列,再由(1)可得数列的前2n项的和.
【详解】
(1)由,,
得,所以.
因为,所以,所以,.
又当时,,适合上式.
所以,.
(2)因为,,所以,
又,所以.
所以数列的偶数项构成以为首项、2为公比的等比数列.
故数列的前2n项的和,
所以数列的前2n项和为.
9.(2019·浙江高考模拟)已知数列中,,
(1)令,求证:数列是等比数列;
(2)令 ,当取得最大值时,求的值.
【答案】(I)见解析(2)最大,即
【解析】
(1)
两式相减,得
∴
即:
∴ 数列是以2为首项,2为公比的等比数列
(2)由(1)可知, 即
也满足上式
令,则 ,
∴ 最大,即
10.(2021·浙江高三其他模拟)已知数列满足,,数列满足,.
(1)数列,的通项公式;
(2)若,求使成立(表示不超过的最大整数)的最大整数的值.
【答案】(1),;(2)最大值为44.
【解析】
(1)由题得数列是等比数列,即求出数列的通项;由题得是一个以为首项,以1为公差的等差数列,即得数列的通项公式;
(2)先求出,再求出即得解.
【详解】
解:(1)由得,
所以数列是等比数列,公比为,
解得.
由,得,
所以是一个以为首项,以1为公差的等差数列,
所以,
解得.
(2)由得,
记,,
所以为单调递减且,,,
所以,
因此,
当时,的的最大值为44;
当时,的的最大值为43;
故的的最大值为44.
1.(2021·全国高考真题(理))等比数列的公比为q,前n项和为,设甲:,乙:是递增数列,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】
当时,通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当是递增数列时,必有成立即可说明成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案.
【详解】
由题,当数列为时,满足,
但是不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件.
若是递增数列,则必有成立,若不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则成立,所以甲是乙的必要条件.
故选:B.
2.(2020·全国高考真题(文))记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5–a3=12,a6–a4=24,则=( )
A.2n–1 B.2–21–n C.2–2n–1 D.21–n–1
【答案】B
【解析】
设等比数列的公比为,
由可得:,
所以,
因此.
故选:B.
3.(2019·全国高考真题(文))已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15,且,则( )
A.16 B.8 C.4 D.2
【答案】C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为,则,
解得,,故选C.
4.(2019·全国高考真题(文))记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________.
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为,由已知
,即
解得,
所以.
5.(2020·海南省高考真题)已知公比大于的等比数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1) 设等比数列的公比为q(q>1),则,
整理可得:,
,
数列的通项公式为:.
(2)由于:,故:
.
6.(2021·浙江高考真题)已知数列的前n项和为,,且.
(1)求数列的通项;
(2)设数列满足,记的前n项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由,结合与的关系,分讨论,得到数列为等比数列,即可得出结论;
(2)由结合的结论,利用错位相减法求出,对任意恒成立,分类讨论分离参数,转化为与关于的函数的范围关系,即可求解.
【详解】
(1)当时,,
,
当时,由①,
得②,①②得
,
又是首项为,公比为的等比数列,
;
(2)由,得,
所以,
,
两式相减得
,
所以,
由得恒成立,
即恒成立,
时不等式恒成立;
时,,得;
时,,得;
所以.
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