专题68 费马点中的对称模型与最值问题-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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【精典例题】
1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！
如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，即可得出结果．
2、如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
3、如图，是内一定点，点，分别在边，上运动，若，，则的周长的最小值为___________.
【答案】3
【详解】
如图，作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=3，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=3．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=3．
4、如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
试题解析：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=得：a=1，b=3，
则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），
作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，
所以点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），
连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，
四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
=
=4+2
=6，
故选B．
5、如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值．
【答案】周长的最小值为8
【详解】
如图，作P关于OA、OB的对称点，连结、，交OA、OB于M、N，此时周长最小，根据轴对称性质可知，，，且，，，，为等边三角形，即周长的最小值为8.
6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x+．（2）3，（3）点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
【详解】
试题解析：（1）∵y=x2﹣x﹣，
∴y=（x+1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
当x=4时，y=．
∴E（4，）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：
，
解得：k=，b=．
∴直线AE的解析式为y=x+．
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=．
∴直线CE的解析式为y=x﹣．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．
设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），
则FP=（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）=x2+x．
∴△EPC的面积=×（x2+x）×4=﹣x2+x．
∴当x=2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．
∵K是CB的中点，
∴k（，﹣）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（，﹣）．
∵点G与点K关于CD对称，
∴点G（0，0）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．
∴GH==3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．
（3）如图3所示：
∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
∴点F（3，﹣）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2，）．
∴FG=．
∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．
当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，
∴点Q″（3，2）．
当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=﹣．
∴点Q1的坐标为（3，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
7、已知，如图，二次函数图象的顶点为，与轴交于、两点(点在点右侧)，点、关于直线：对称.
(1)求、两点的坐标，并证明点在直线上；
(2)求二次函数解析式；
(3)过点B作直线交直线于K点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.
【答案】
(1)点坐标为,点坐标为
(2)
(3)8
【详解】
(1)依题意,得ax2+2ax−3a=0(a≠0)，
两边都除以a得：
即x2+2x−3=0，
解得x1=−3,x2=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为(−3,0),B点坐标为(1,0)，
答：A. B两点坐标分别是(−3,0),(1,0).
证明：
∵直线l:y=，
当x=−3时,y=，
∴点A在直线l上．
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:y=对称,
∴AH=AB=4，
过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=，
∴顶点H，
代入二次函数解析式,解得a=，
∴二次函数解析式为，
答：二次函数解析式为.
(3)直线AH的解析式为，
直线BK的解析式为，
由
解得，
即K(3,2)，
则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2)，
∴HN+MN的最小值是MB，
过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，
则QM=MK,QE=EK=2，AE⊥QK，
∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90∘，
由勾股定理得QB=
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8.
利用轴对称的性质，把三线段问题通过做对称转化为两点之间线段最短的问题进而解题。