2024湖南省部分学校高一上学期期末联考数学试题含解析

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1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据集合求交集即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；
【详解】，
当，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
3. 已知弧长为的扇形面积也为，则该扇形的圆心角（正角）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用扇形弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】设该扇形的圆心角为，半径为，则，解得.
故选：D.
4. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.
【详解】由重要不等式得，当且仅当时取等，
解得，显然A正确，
故选：A
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小即得.
【详解】依题意，，，
所以.
故选：A
6. 函数零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用零点存在性定理判断即可.
【详解】因为函数单调递增，
又，，
故，所以函数的零点所在区间为.
故选：B
7. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正切与正、余弦的的关系求出，再结合正切二倍角公式求得结果.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故选：A.
8. 把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得.若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（取：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可.
【详解】的物块经过后的温度，
的物块经过后的温度.
要使得两块物体的温度之差不超过，则，
即，解得.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知且，，则函数.与的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据条件确定的范围，利用与的单调性分析即得.
详解】因且，，则中必有一个大于1，一个小于1且大于零.
当时，有，则B项符合，当时，有，则D项符合.
故选：BD.
10. 已知函数在上单调递增，则的取值可能为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】CD
【解析】
【分析】结合对数函数及复合函数的单调性，列出不等式组求解即可.
【详解】解：因为函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
则，解得．
故选：CD.
11. 如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间（单位：分钟）与座舱距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为，，，且开始转动5分钟后，座舱距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱距离地面的高度为92.5米，则（ ）
A.
B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C.
D. 该摩天轮座舱距离地面的最大高度为120米
【答案】BCD
【解析】
【分析】由即可求出，结合周期，即可求解.
【详解】依题知，则，
因为，所以，A错误；
由，则周期为，
则该摩天轮转动一周需30分钟，B正确；
，由，
可得，故座舱距离地面的最大高度为，CD正确.
故选：BCD
12. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A. B. 在上单调递减
C. D. 函数恰有8个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】利用周期定义求出周期可判断A；结合周期画出的部分图象可判断B；利用周期计算可判断C；画出函数、的图象可判断D．
【详解】对于A，由，得，
可得的周期为4，A正确；
对于B，当时，，则，
得，结合周期画出的部分图象如图所示，
由图可得在上单调递增，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，因为，
所以为偶函数，当时，令，
得，画出函数的图象，
因为，
所以与在上的图象只有8个零点，
根据函数奇偶性可得恰有16个零点，D错误．

故选：AC.
【点睛】关键点点睛：D选项解题的关键点是画出函数与的图象解题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知角的终边经过点，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用任意角三角函数的定义求出，再用诱导公式化简求值即可.
【详解】由已知得角的终边经过点，则是第一象限角，，
由任意角三角函数的定义得，由诱导公式得.
故答案为：
14. 函数（）的图象经过定点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】借助对数函数的定点问题，令，计算即可.
【详解】令，得，所以点的坐标为．
故答案为：.
15. 若函数在上恰有3个零点，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数周期，可得函数在上有个周期，结合图象特征求出的值.
【详解】由已知函数的最小正周期，
作出函数的草图如图：
由于函数在上有个周期，
若函数在上恰有3个零点，
则.
故答案为：.
16. 已知奇函数的定义域为，且有，若对，都有，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，构造，判断出的奇偶性和单调性，把不等式转化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】由题知，
记，
因为是奇函数，
所以，
所以，
所以为偶函数，
由题知，记，即，
因为，
所以，即，
所以在上，为减函数，
因为为偶函数，
所以在上，为增函数，
因为不等式可化为，即，
又因为，可得，
所以可化为，解得，或，
所以解集为
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）已知正数a满足，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用指数，对数的性质处理即可.
（2）利用指数幂运算法则结合条件求值即可.
【详解】（1）原式
；
（2）由已知得，同时平方得，
即，平方得，
故.
18. 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标变为原来的2倍.得到函数的图象.
（1）求的解析式；
（2）若是奇函数，求的值；
（3）求在上的最小值与最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）最大值2，最小值
【解析】
【分析】（1）根据周期变换和平移变换即可得解；
（2）根据三角函数的奇偶性即可得解；
（3）根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.
【小问1详解】
由题意可得；
【小问2详解】
，
因为是奇函数，
所以，解得；
【小问3详解】
因为，所以，
当，即时，取得最小值，且最小值为，
当，即时，取得最大值，且最大值为.
19. 某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
记销售人员每月的提成为（单位：万元），每月的销售总额为（单位：万元）．
注：表格中的（）表示销售额超过100万元的部分．另附参考公式：销售额×销售额的提成比例＝提成金额．
（1）试写出提成关于销售总额的关系式；
（2）若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
【答案】（1）
（2）135万元
【解析】
【分析】（1）根据题意写出提成与销售额的关系式即可；
（2）根据关系式，通过求解对数不等式可得答案.
【小问1详解】
根据题意可知，当时，；
当时，．
故提成关于销售总额的函数关系式为
【小问2详解】
当时，，
则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，
令，得，解得，
即该销售人员当月的销售总额至少为135万元．
20. 已知指数函数.
（1）若在上的最大值为8，求的值；
（2）当时，若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）或2
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解；
（2）方法一：由在上单调递减，转化为，即可求解；
方法二：根据题意，转化为对恒成立，令，结合哈市的单调性，得到，即可求解.
【小问1详解】
解：当时.在上单调递增，可得，解得；
当时，在上单调递减，可得，
解得.
综上可得，实数的值为或2.
【小问2详解】
解：方法一：由函数在上单调递减，
当时，在上单调递增，且，
所以，即，
又因为，所以，所以实数的取值范围是.
方法二：由题意得，不等式对恒成立，
即对恒成立，
令，
因为，所以为增函数，所以，所以，
又因为，解得，所以实数取值范围是.
21. 已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）求图象的对称中心的坐标；
（3）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
（3）由，求得，得到，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数
.
令，可得.
所以的单调递减区间为.
【小问2详解】
解：由函数，
令，解得，
所以图象的对称中心的坐标为.
【小问3详解】
解：由，可得，则，
因为，所以，所以，
所以.
22. 已知函数且.
（1）若，函数，求的定义域；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可；
（2）分和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案.
【小问1详解】
，代入可得：
，
有意义可得，所以，
的定义域为.
【小问2详解】
因为且，所以恒成立.
若，则函数是增函数.
因为，所以，即.
设，要使时，恒成立，
只需或
解得.
故符合题意.
若，则函数是减函数.
因为，所以，即.
结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立.
故不符合题意.销售人员个人每月销售额/万元
销售额的提成比例
不超过100万元的部分
5%
超过100万元的部分