2024江苏省决胜新高考高三下学期2月大联考试题数学含答案

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知数列是公差为的等差数列，对正整数，若，则，是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
3．已知复数满足（其中为虚数单位），且的虚部为，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，高速服务区停车场某片区有至共8个停车位（每个车位只停一辆车），有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知为椭圆与双曲线公共的焦点，且在第一象限内的交点为P，若的离心率满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知定义在上的函数，对任意正数x，y满足，且当时，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
9．已知单位向量的夹角为θ，则下列结论正确的有（ ）
A．B．在方向上的投影向量为
C．若，则D．若则
10．已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不小于的概率，即，则（ ）
A．B．
C．为减函数D．为偶函数
11．已知点在曲线上运动，过作以为圆心，1为半径的圆的两条切线，则的值可能是（ ）
A．B．C．4D．5
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
12．已知展开式中常数项为280，则______．
13．已知函数的部分图象如图中实线所示，圆与图象交于两点，且在轴上，则圆的半径为______．
14．已知有两个极值点，则实数的取值范围为______．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）
已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
16．（本小题15分）
如图，在三棱柱中，在底面上的射影为线段的中点，为线段的中点，且．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求与平面所成角的正弦值．
17．（本小题15分）
某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
（1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
18．（本小题17分）
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求面积的最大值．
19．（本小题17分）
已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）函数，求的最小值；
（2）若为函数的两个零点，证明：．