2023-2024学年山西省吕梁市高二上学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省吕梁市高二上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知圆O:x2+y2−4x+6y+5=0，则圆心O和半径r分别为( )
A. O−2,3,r=3 2B. O2,−3,r=2 2
C. O−2,3,r=2 2D. O2,−3,r=3 2
2.双曲线C:y23−x24=1，则双曲线C的渐近线方程为( )
A. y=±2 3xB. y=±2 33xC. y=± 32xD. y=± 3x
3.已知正项等比数列an满足a4=16,a6=64，则S5=( )
A. 62B. 30或10C. 62或−22D. 30
4.若函数fx=x(x−c)2在x=−2处有极小值，则c=( )
A. −6B. −2C. −6或−2D. −4
5.函数fx=14x−lnx的零点个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长相等，D为AA1的中点，则异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为( )
A. 32B. 22C. 12D. 0
7.某工厂去年12月试产1060个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月份开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高6%，产品合格率比前一个月增加0.4%，则今年4月份的不合格产品的数量是( )
A. 1.065×88B. 1.064×88C. 1.064×84D. 1.065×84
8.若a=0.7,b=e−0.3,c=ln1.7，则a,b,c的大小关系为( )
A. b>a>cB. b>c>aC. c>a>bD. a>b>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为y=−1，点A,B是抛物线E上不同的两点，且AF+BF=8，则( )
A. p=2B. 以线段AB为直径的圆必与准线相切
C. 线段AB的长为定值D. 线段AB的中点M到x轴的距离为定值
10.已知等差数列an的首项a1=16，公差d=−4，在an中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列bn,Sn是数列bn的前n项和.以下说法正确的是( )
A. bn=n+15B. b29是数列an的第8项
C. 当n=17时，Sn最大D. Snn是公差为−1的等差数列
11.已知函数fx=xlnx，下列说法正确的是( )
A. fx的单调递减区间是0,e
B. fx在点e2,fe2处的切线方程是x−4y+e2=0
C. 若方程alnx=x只有一个解，则a=e
D. 设gx=x2+a，若对∀x1∈R,∃x2∈1,+∞，使得gx1=fx2成立，则a≥e
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,O是空间中的一动点，下列结论正确的是( )
A. 若M,N,P分别为AB,BB1,B1C1的中点，则BD1⊥平面MNP
B. 平面A1BC1//平面ACD1
C. 若AO=14AB+λAD0≤λ≤1，则B1O+OD的最小值为 13
D. 若AO=λAB+1−λAD0≤λ≤1，则平面OAD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面面积的最大值为4 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线l1:4x−3y+2=0与直线l2:ax+y+3=0平行，则a= ．
14.已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=2×3n−3，则an= ．
15.已知函数fx=x,gx=ex，若fm=gn成立，则m⋅n+1的最小值为 ．
16.已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，直线l:y=kx与椭圆相交于A,B两点，∠AF2B=120∘,∠AF2B的平分线交l于点N，且2AN=BN，则椭圆E的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图所示，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3．

(1)用向量AB,AD,AA1表示向量BD1，并求BD1；
(2)求BD1⋅AC．
18.(本小题12分)
已知圆C:x2+y2−2x−2my+4=0．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最小正整数时，若点P为直线4x−3y+12=0上的动点，过P作圆C的一条切线，切点为A，求线段PA的最小值．
19.(本小题12分)
已知数列an的首项a1=2，且满足an+1+an=4×3n．
(1)求证：an−3n是等比数列，并求出an的通项公式；
(2)设bn=an−(−1)n，求数列nbn的前n项和Sn．
20.(本小题12分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B，长轴长为2 2，点P在椭圆C上(不与A,B重合)，且kPA⋅kPB=−12，左右焦点分别为F1,F2．
(1)求C的标准方程；
(2)设过右焦点F2的直线l与椭圆C交于M,N两点，当△F1MN的面积最大时，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
如图，多面体PS−ABC由正四面体A−PBC和正四面体S−PBC组合而成，棱长为2 3．

(1)证明：BC⊥AS；
(2)求PS与平面ABC所成角的正弦值．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax−2lnx．
(1)讨论函数fx的单调区间；
(2)当x>0时，fx≥12x3+x2+2−2ex−2lnx恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此确定圆心坐标及半径．
【详解】圆O的方程x2+y2−4x+6y+5=0可化为x−22+y+32=8．
所以圆心O的坐标为2,−3，半径为2 2，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解．
【详解】由双曲线C:y23−x24=1，可得a= 3,b=2，
又由双曲线C的焦点在y轴上，所以双曲线C的渐近线方程为y=±abx=± 32x．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】运用等比数列通项公式基本量的计算，先求出首项和公比，然后再运用等比数列前n项和公式求出前项和．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，
因为该正项等比数列{an}满足a4=16,a6=64，
所以a4=a1q3=16a6=a1q5=64q>0，解得a1=2,q=2，
故S5=a11−q51−q=21−251−2=62．
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】求得f′x=x−c3x−c，由f′(−2)=0，求得c=−2或c=−6，分别求得函数fx的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解．
【详解】由函数fx=x(x−c)2，可得f′x=x−c2+2xx−c=x−c3x−c，
因为函数在x=−2处取得极小值，可得f′(−2)=0，解得c=−2或c=−6，
当c=−2时，令f′(x)>0，解得x<−2或x>−23；令f′x<0，解得−2函数fx在(−∞,−2)上单调递增，在(−2,−23)上单调递减，在(−23,+∞)单调递增，
所以fx在x=−2处有极大值，不符合题意，舍去；
当c=−6时，令f′x>0，可得x<−6或x>−2；令f′x<0，可得−6函数fx在(−∞,−6)上单调递增，在(−6,−2)上单调递减，在(−2,+∞)单调递增，
所以fx在x=−2处有极小值，符合题意，
综上可得，c=−6．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】求导可得函数的单调性，进而结合零点存在性定理即可求．
【详解】f′x=14−1x，令f′x>0，则x>4，令f′x<0，解得0故fx在x>4上单调递增，在x<4上单调递减，
故当x=4时取最小值f4=1−ln4<0，
又f(1)=14>0，f(e3)=e34−3>0，
所以fx=0在(1,4),(4,e3)上各有一解，所以fx有两个零点，
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】取AC中点E，证得BE⊥平面ACC1A1，得到BE⊥C1D，再证得A1E⊥C1D，从而证得C1D⊥平面A1BE，得到C1D⊥A1B，即可求解．
【详解】取AC中点E，因为AB=BC，可得BE⊥AC，
又因为AA1⊥平面ABC，且BE⊂平面ABC，所以BE⊥AA1，
因为AC∩AA1=A，且AC,AA1⊂平面ACC1A1，所以BE⊥平面ACC1A1
又因为C1D⊂平面ACC1A1，所以BE⊥C1D，
在正方形ACC1A1中，D,E分别为AA1,AC的中点，
设A1E∩C1D=G可得▵A1C1D≅▵AA1E，
可得∠A1C1D=∠AA1E,∠A1DC1=∠AEA1，所以∠AA1E+∠A1DC1=π2，
所以∠AGD=π2，即A1E⊥C1D，
因为A1E∩BE=E且A1E,BE⊂平面A1BE，所以C1D⊥平面A1BE，
又因为A1B⊂平面A1BE，所以C1D⊥A1B，所以异面直线A1B与C1D所成的角为π2．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】【分析】由条件依次求出1,2,3,4月的产量和合格率，由此可求4月份的不合格产品的数量．
【详解】由题知：1月份的产量为1060个，合格率是90%，
那么，2月份的产量为1060×1.06，合格率为90%+0.4%，
3月份的产量为1060×1.062，合格率为90%+0.4%×2，
则4月份的产量为1060×1.063，合格率为90%+0.4%×3=91.2%，
则4月份的不合格数量是1060×1.063×1−91.2%=1.064×88，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】【分析】构造函数fx=ex−x−1，gx=x−1−lnx,x>0，利用导数求函数最小值，得到ex≥x+1和x−1≥lnx，令x=0.7即可比较大小．
【详解】令fx=ex−x−1，则f′x=ex−1，
当x>0时，ex>1，所以f′x>0，所以fx在0,+∞上单调递增；
当x<0时，0所以当x=0时，fxmin=f0=e0−1=0，
所以fx≥0，即ex≥x+1，所以ex−1≥x，所以e−0.3≥0.7，
令gx=x−1−lnx,x>0，则g′x=1−1x=x−1x，
当x>1时，g′x>0，所以gx在1,+∞上单调递增；
当0所以，当x=1时，gxmin=g1=1−1−ln1=0，
所以gx≥0，即x−1≥lnx，所以x≥lnx+1，所以0.7>ln1.7，
所以e−0.3>0.7>ln1.7．
故选：A．
9.【答案】AD
【解析】【分析】根据题意，求得抛物线x2=4y及焦点F(0,1)，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.，
【详解】对于A中，由抛物线E:x2=2py(p>0)的准线为y=−1，可得−p2=−1，解得p=2，
所以抛物线E的焦点为F(0,1)且E:x2=4y，所以 A正确；
对于B中，如图，当线段AB过焦点F时，过A,B作AA1⊥l,BB1⊥l，
取AB的中点M作MN⊥l，可得MN=12(AA1+BB1)=12AB，
此时以线段AB为直径的圆与准线l相切，
因为直线AB不一定过抛物线的焦点，则MN=12AB不一定成立，故 B错误．
对于C中，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
由抛物线得的定义得AF+BF=y1+y2+2=8，所以y1+y2=6，
当直线AB过原点时，设y1=0，则y2=6，此时A(0,0),B(±2 6,6)，可得AB=2 15，
当直线AB为0时，可得y1=y2=3，不妨设x1=−2 3,x2=2 3，可得AB=4 3，
所以AB的长不是定值，所以 C错误；
对于D中，由y1+y2=6，则线段AB的中点M到x轴的距离为y1+y22=3，所以 D正确．
故选：AD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】根据题意，求得an=20−4n，结合题意，得到bn=17−n，结合等差数列的性质的求和公式，逐项判定，即可求解．
【详解】由等差数列an的首项a1=16，公差d=−4，可得an=20−4n，
对于A中，根据题意，可得b1=16,b5=a2=12，所以公差为d′=12−165−1=−1
所以数列bn的通项公式为bn=b1+(n−1)d′=17−n，所以 A错误；
对于B中，由b29=−12，令an=20−4n=−12，解得n=8，所以 B正确；
对于C中，令bn=17−n≥0，解得n≤17，所以n=16或n=17时，Sn取得最大值，所以 C正确；
对于D中，由Sn=n(33−n)2，可得Snn=33−n2=332−12n，所以Snn是公差为−12，所以 D错误．
故选：BC．
11.【答案】BD
【解析】【分析】对函数fx=xlnx求导，分析其单调性得到其图象，可判断ABC，对应选项D，设函数fxx∈1,+∞的值域为E，gx=x2+a的值域为G，由G⊆E求解判断．
【详解】函数fx=xlnx，x∈0,1∪1,+∞，f′x=lnx−1ln2x，
令f′x<0，得00，得x>e；
可得函数fx在0,1和1,e上单调递减，在e,+∞单调递增，其大致图象如图：

对于A，由上述分析可得 A错误；
对于B，由f′e2=lne2−1ln2e2=14，fe2=e22，得y−e22=14x−e2，
所以切线为x−4y+e2=0，故 B正确；
对于C，由方程fx=xlnx=a只有一解，由图象可知，a=e或a<0，故 C错误；
对于D，设函数gxx∈R的值域为G，函数fxx∈1,+∞的值域为E，
对于gx=x2+a，∀x∈R，G=a,+∞,
对于fx，∀x∈1,+∞，E=e,+∞,
若∀x1∈R，∃x2∈1,+∞，使得gx1=fx2成立，
则G⊆E,∴a≥e，故 D正确，
故选：BD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】由线面垂直，面面平行判断AB，由平面展开求最值判断C，由截面变化求最值判断D．
【详解】对于A，若M,N,分别为AB,BB1的中点，则AB1//MN，
又AB1⊥A1B，则A1B⊥MN，
又由正方体性质易知：BC⊥平面ABB1A1,MN⊂平面ABB1A1,故BC⊥MN，
又BC∩A1B=B,BC,A1B⊂平面A1BC，故MN⊥平面A1BC，
又A1C⊂平面A1BC，则MN⊥A1C，同理可得NP⊥平面A1B1C,
又A1C⊂平面A1B1C，则NP⊥A1C，又MN∩NP=N,MN,NP⊂平面MNP，
故A1C⊥平面MNP，若BD1⊥平面MNP，则A1C//BD1，而A1C与BD1相交，
故BD1与平面MNP不垂直，故 A不正确；
对于B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知AB//D1C1,AB=D1C1，
故ABC1D1为平行四边形，则AD1//BC1,
又AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，故AD1//平面A1BC1，
同理可得AC//平面A1BC1，又AD1∩AC=A,AD1,AC⊂平面ACD1，
故平面A1BC1//平面ACD1成立.故B正确；
对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O是空间中的一动点，
在AB上取点H，使得AH=14AB，在CD上取点K，使得DK=14DC，如图，
由AO=14AB+λAD，得AO−AH=λAD，即HO=λAD，故O是线段HK上一点．
将平面HKC1B1沿HK展开至与平面AHKD共面，
易知HB1= HB2+BB12= 322+22=52，则AB1=AH+HB1=3，
平面图中，当B1，O，D三点共线时，B1O+OD取得最小值 22+32= 13，故 C正确；
对于D，由AO=λAB+(1−λ)AD(0≤λ≤1)，可知O是线段BD上一点．连接AC并与BD交于点Z．
当O与D重合时，平面OAD1与平面ADD1A1重合，截面为正方形ADD1A1，面积为4．
当O在线段DZ(不含点D)上时，平面OAD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面为三角形，
且易知当O从D运动到Z时，三角形面积逐渐增大，
当O与Z重合时截面为△ACD1，由三角形三边长均为2 2，故此时截面面积为 34×2 22=2 3．
当O在线段BZ(不含点B，Z)上时，延长AO并与BC交于点W，
作WR//BC1并与CC1交于点R，由选项 B易知WR//AD1，且WB=C1R，
易知D1R=AW，则截面为等腰梯形AWRD1，
设BW=x0梯形AWRD1的高ℎ= AW2−(AD1−WR)24= 4+12x2，故梯形面积为12(AD1+WR)⋅ℎ=(4−x) 8+x22．
设fx=(4−x) 8+x22= 8+x2(4−x)22，
设gx=8+x2(4−x)2,0则gx=8+x2(4−x)2在0,2单调递减，故48当O与B重合时，截面为矩形ABC1D1，面积为4 2．
综上可知，平面OAD1截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面积的最大值为4 2，故 D正确；
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直及面面平行证明，截面问题，解决D选项的关键是利用动态变化讨论O的变化情况．
13.【答案】−43 或−113
【解析】【分析】由直线平行的充要条件即可求解．
【详解】由l1与l2平行，则a4=1−3≠32，所以a=−43．
故答案为：−43．
14.【答案】4×3n−1,n≥23,n=1
【解析】【分析】由Sn,an的关系对n分类讨论即可求解．
【详解】当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2×3n−2×3n−1=4×3n−1，
当n=1时，a1=3不满足上式，所以an=4×3n−1,n≥23,n=1．
故答案为：4×3n−1,n≥23,n=1．
15.【答案】−e−2 或−1e2
【解析】【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数求出函数的最小值即得．
【详解】函数fx=x,gx=ex，由fm=gn，得m=en，则m(n+1)=(n+1)en，
令ℎ(n)=(n+1)en，求导得ℎ′(n)=(n+2)en，当n<−2时，ℎ′(n)<0，当n>−2时，ℎ′(n)>0，
因此函数ℎ(n)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，则ℎ(n)min=ℎ(−2)=−e−2，
所以m⋅n+1的最小值为−e−2．
故答案为：−e−2
16.【答案】 33或 13 3
【解析】【分析】根据椭圆的对称性，角平分线性质可得AF1AF2=2，结合椭圆定义可求AF1,AF2，利用余弦定理列出关于a,c的方程，由此可求离心率．
【详解】 连接AF1、BF1，根据椭圆的对称性可知四边形AF1BF2为平行四边形，
所以AF1=BF2，
根据角平分线定理得：BNAN=BF2AF2=2，
所以AF1AF2=2，又AF1+AF2=2a
∴AF1=43a,AF2=23a，又∠F1AF2=60∘，
又在△AF1F2中，由余弦定理得：16a29+4a29−2×4a3×2a3×12=4c2
∴c2a2=13，所以e= 33
故答案为： 33．
17.【答案】解：
(1)根据空间向量的线性运算，可得BD1=AD1−AB=AD+AA1−AB，
可得BD12=(AD+AA1−AB)2=AD2+AA12+AB2+2AD⋅AA1−2AD⋅AB−2AB⋅AA1
=1+4+1+2×1×2×12−0−2×2×1×12=6，
所以BD1= 6．
(2)由空间向量的运算法则，可得AC=AB+AD，
因为AB=AD=1,AA1=2且∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，
所以BD1⋅AC=(AD+AA1−AB)⋅(AB+AD)
=AD⋅AB+AD2+AA1⋅AB+AA1⋅AD−AB2−AD⋅AB
=1×1×csπ2+12+2×1×csπ3+2×1×csπ3−12−1×1×csπ2=2．

【解析】(1)根据空间向量的线性运算，得到BD1=AD+AA1−AB，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；
(2)由空间向量的运算法则，得到AC=AB+AD，结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
18.【答案】解：
(1)由方程C:x2+y2−2x−2my+4=0表示圆，则满足4+2m2−16>0
即m2>3，解得m<− 3或m> 3，
所以m的取值范围是−∞,− 3∪ 3,+∞．
(2)由(1)，因为m取最小正整数，所以m=2，
所以圆C:(x−1)2+(y−2)2=1，可得圆心C(1,2)，半径为r=1，
又因为PA= PC2−AC2= PC2−1，
所以PA取最小值时PC取最小值，而PC取最小值，
即为圆心C到直线4x−3y+12=0的距离，可得PCmin=4×1−3×2+12 16+9=2，
所以PAmin= PC min2−1= 3．

【解析】(1)根据题意，结合方程表示圆的条件，列出方程，即可求解；
(2)由(1)得到圆心C(1,2)，半径为r=1，得到PA= PC2−1，结合圆心到直线的距离，即可求解．
19.【答案】解：
(1)证明：an+1−3n+1an−3n=−an+4×3n−3n+1an−3n=−an+4×3n−3×3nan−3n=−an+3nan−3n=−1
所以{an−3n}是以a1−3=−1为首项，−1为公比的等比数列．
所以an−3n=(−1)n，所以an=3n+(−1)n．
(2)因为bn=an−(−1)n=3n，所有nbn=n3n，
Sn=1×31+2×32+3×33+4×34+⋯+n3n，
3Sn=1×32+2×33+3×34+⋯+(n−1)3n+n3n+1，
作差可得−2Sn=3+32+33+34+⋯+3n−n×3n+1=3×(1−3n)1−3−n×3n+1，
所以Sn=2n−14×3n+1+34．

【解析】(1)由递推关系把4×3n拆到等号两边，变成an+1−3n+1=−an+3n后推出即可；
(2)求出数列nbn的通项，再用错位相减法求出Sn即可．
20.【答案】解：
(1)

依题意可得，AB=2a=2 2，所以a= 2．
设Px0,y0，(x0≠± 2)则kPA⋅kPB=y0x0+ 2⋅y0x0− 2=y02x02−2=−12，
又因为x022+y02b2=1所以y 02=(1−x022)=(1−x022)b2，
所以b2=1，所以C的标准方程为x22+y2=1．
(2)

因为F2(1,0)在直线l上，设直线l的方程：x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2)，
联立x=my+1x2+2y=2，整理得m2+2y2+2my−1=0，
Δ>0,y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2，
由题可知∶
SΔF1MN=12×2×y1−y2= y1+y22−4y1y2=2 2 m2+1m2+2
=2 21 m2+1+1 m2+1≤ 2
当且仅当 m2+1=1 m2+1，
即m=0时，面积最大为 2，此时直线l的方程是∶x=1．

【解析】(1)由椭圆的性质得到a= 2，设点Px0,y0，表示出kPA⋅kPB=y02x 02−2=−12，再代入椭圆方程，求出b2=1，得到椭圆方程；
(2)设直线l的方程：x=my+1，直曲联立，韦达定理表示出y1+y2=−2mm2+2,y1y2=−1m2+2，再用其表示出三角形面积，最后结合基本不等式求出结果．
21.【答案】解：
(1)取BC的中点D，连接AD,SD，
在正四面体P−ABC和正四面体S−PBC中，可得▵ABC和△SBC均为等边三角形，
所以AD⊥BC,SD⊥BC，
因为AD∩SD=D且AD,SD⊂平面ASD，所以BC⊥平面ASD，
又因为AS⊂平面ASD，所以BC⊥AS．
(2)取▵ABC的中心O为坐标原点，过O作BD的平行线为x轴正方向，OD为y轴正方向，OP为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为正四面体的棱长是2 3，可得AD=2 3sinπ3=3，则OA=23×AD=2
所以OP= PA2−OA2=2 2，
则A(0,−2,0),B( 3,1,0),C(− 3,1,0),P(0,0,2 2),D(0,1,0)，
再取▵PBC的中心为M，因为DM=13DP，
设M(x,y,z)，可得(x,y−1,z)=13(0,−1,2 2)，
解得x=0,y=23,z=2 23，即M(0,23,2 23)，
所以AM=0,83,2 23，AS=2AM=0,163,4 23，可得S0,103,4 23，
则PS=0,103,−2 23
又由平面ABC的一个法向量n=0,0,1，
设直线PS与平面ABC所成的角为θ，
可得sinθ=csn,PS=n⋅PSnPS=2 23 1032+2 232= 69，
所以直线PS与平面ABC所成角的正弦值是 69．

【解析】(1)取BC的中点D，证得AD⊥BC,SD⊥BC，利用线面垂直的判定定理，证得BC⊥平面ASD，进而证得BC⊥AS；
(2)取▵ABC的中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系，再取▵PBC的中心为M，求得M(0,23,2 23)，得到向量PS=0,103,−2 23和平面ABC的一个法向量n=0,0,1，结合向量的夹角公式，即可求解．
22.【答案】解：
(1)fx的定义域为0,+∞，f′x=a−2x=ax−2x，
当a≤0时，f′(x)<0恒成立，所以fx的单调递减区间为0,+∞，
当a>0时，令f′(x)>0，则x>2a，所以fx的单调递增区间为2a,+∞
令f′(x)<0，则0综上：当a≤0时，fx的单调递减区间为0,+∞，无增区间；
当a>0时，fx的单调递增区间为2a,+∞，单调递减区间为0,2a；
(2)当x>0时，fx≥12x3+x2+2−2ex−2lnx恒成立，
即ax−2lnx≥12x3+x2+2−2ex−2lnx对x>0恒成立，
即a≥12x2+x+2x−2exx对x>0恒成立，
令gx=12x2+x+2x−2exx(x>0)，
g′x=x+1−2x2−2x−1exx2=x3+x2−2−2x−1exx2
=x−1x2+2x+2−2x−1exx2=x−1x2+2x+2−2exx2
令mx=x2+2x+2−2ex(x>0)，则m′(x)=2x+2−2ex，
令tx=m′(x)=2x+2−2ex(x>0)，则t′(x)=2−2ex，
由x>0得，ex>1，所以t′(x)<0，所以tx在0,+∞上单调递减，
所以tx所以mx令g′(x)>0，则0令g′(x)<0，则x>1，所以gx在1,+∞单调递减，
所以gx≤g1=72−2e，所以a≥72−2e．
综上实数a的取值范围为a≥72−2e．

【解析】(1)对函数fx求导，分别讨论a≤0和a>0两种情况，即可求出结果；
(2)先分离参数，将原式化为a≥12x2+x+2x−2exx，构造函数gx=12x2+x+2x−2exx，利用导数判断gx的单调性进而求出gx的最大值即可．
关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得a≥12x2+x+2x−2exx对x>0恒成立，再设新函数gx=12x2+x+2x−2exx(x>0)，对此求导研究其最值即可．