人教版七年级数学上册同步压轴题第4章几何图形初步考点训练(学生版+解析)

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A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
2．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为( )
A．B．C．或D．或
3．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：①； ②；
③； ④
其中正确的个数有( )
A．个B．个C．个D．个
4．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒()，当平分时，的值为( )
A．B．C．或D．或
5．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是( )
A．595B．406C．35D．666
6．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为( )
A．B．C．或D．或
7．如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
8．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒(0≤m≤20)，当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___________．
9．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
10．如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝34°，∠D＝42°，则∠M＝_________．
11．如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．
12．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
13．已知：如图1，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当时，试求的值；
(3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？(请直接写出结果)
14．已知∠AOB=120°，∠COD=60°．
(1)如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD=95°，求∠BOC的度数；
(2)如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE =∠AOC，∠DOF=∠BOD，求∠EOF的度数．
15．如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
(1)的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
(2)三角尺旋转的度数可表示为___________(用含t的代数式表示)：当___________时，．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
(3)当t为何值时，，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
第四章 几何图形初步考点训练
1．如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD、BC的中点，下列结论：①若AD=BM，则AB=3BD；②若AC=BD，则AM=BN；③AC-BD=2(MC-DN)；④2MN=AB-CD．其中正确的结论是( )
A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④
【答案】D
【详解】解：∵M，N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，CN=NB.
①∵AD=BM，∴AM+MD=MD+BD，∴AM=BD.
∵AM=MD，AB=AM+MD+DB，∴AB=3BD.
②∵AC=BD，∴AM+MC=BN+DN.
∵AM=MD，CN=NB，∴MD+MC=CN+DN，∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，∴AM=BN.
③AC-BD=AM+MC-BN-DN=(MC-DN)+(AM-BN)=(MC-DN)+(MD-CN)=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD=AM+MC+DN+NB=MD+MC+DN+CN=MD+DN+MC+CN=2MN.
综上可知，①②③④均正确
故答案为：D
2．已知，点C在直线 AB 上， ACa ， BCb ，且 a≠b ，点 M是线段 AB 的中点，则线段 MC的长为( )
A．B．C．或D．或
【答案】D
【详解】由于点B的位置不能确定，故应分四种情况讨论：
①当a＞b且点C在线段AB上时，如图1．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．
②当a＞b且点C在线段AB的延长线上时，如图2．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．
③当a＜b且点C在线段AB上时，如图3．
∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．
④当a＜b且点C在线段AB的方向延长线上时，如图4．
∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．
∵点M是AB的中点，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．
综上所述：MC的长为或(a＞b)或(a＜b)，即MC的长为或．
故选D．
3．如图，为直线上一点，，平分，平分， 平分，下列结论：
①； ②；
③； ④
其中正确的个数有( )
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∵平分，平分，
∴,
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵不能证明，故④错误；
∴正确的选项有3个；
故选：C.
4．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒()，当平分时，的值为( )
A．B．C．或D．或
【答案】D
【详解】解：分两种情况：
①如图平分时，，
即，
解得；
②如图平分时，，
即，
解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．
故选：．
5．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是( )
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【详解】设锐角，第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，
第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，
第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同
则，
先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．
故选择：B．
6．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为( )
A．B．C．或D．或
【答案】C
【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，
∵平分，∴=x°，
∵∠COD=180°，
∴x+x+90+ x=180，解得，x=45；∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，
同理， =2x°，
2x+2x+90+ x=180，解得：x=18，∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
7．如图，点O是钟面的中心，射线正好落在3：00时针的位置．当时钟从2：00走到3：00，则经过___________分钟，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
【答案】6或
【详解】设时针为OB，分针为OA．
当时针为OB为角平分线时，如图1所示：
设经过x分钟，OB为角平分线，则∠AOB=60゜-6x゜+，∠BOC=30゜－，依题意得：
60-6x+＝30－
解得x=6；
当时针为OC为角平分线时，如图2所示：
设经过x分钟，OC为角平分线，则∠AOC=6x゜-90゜，∠BOC=30゜－，依题意得：
6x-90＝30－
解得x=；
综合上述可得：经过6分钟或分钟时，时针，分针，与所在的三条射线中，其中一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线．
故答案为：6或．
8．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒(0≤m≤20)，当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝___．
【答案】或
【详解】平分，
，
以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转，
①如图1中，当平分时，
解得
，
②如图2，当平分时，
解得
故答案为：或
9．我们知道在9点整时，时钟的分针与时针恰好互相垂直，那么从9点开始，到10点之前，经过__________分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°．
【答案】或30
【详解】解：分针的旋转速度是度/分钟，时针的旋转速度是0.5度/分钟，设经过x分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，
分两种情况：
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=6x，
则∠COD=∠AOB+∠BOD-∠AOC= 90°+6x-0.5x=105°，
解得x=；
如图：
此时，∠AOC=0.5x，∠BOD=360°-6x，
则∠COD=∠BOD-∠AOB+∠AOC=360°-6x -90°+0.5x=105°，解得x=30；
综上，经过或30分钟后，时钟的时针与分针的夹角为105°，故答案为：或30
10．如图，AM、CM平分∠BAD和∠BCD，若∠B＝34°，∠D＝42°，则∠M＝_____．
【答案】38°
【详解】如下图，设∠MCD=x°，∠MAD=y°
∵AM、CM平分∠BAD和∠BCD
∴∠BAF=y°，∠MCF=x°
∵∠B=34°，∠D=42°
∴在△ABF中，∠BFA=180°－34°－y°=146°－y°
在△CED中，∠CED=180°－42°－x°=138°－x°
∴∠CFM=∠AFB=146°－y°，∠AEM=∠CED=138°－x°
∴在△AME中，y°+∠M+138°－x°=180°
在△FMC中，x°+146°－y°+∠M=180°
约掉x、y得，∠M=38°
故答案为：38°
11．如图所示：已知，，现有点和点分别从，两点出发相向运动，点速度为，点速度为，当到达点后掉头向点运动，点在向的运动过程中经过点时，速度变为，，两点中有一点到达点时，全部停止运动，那么经过____后的距离为．
【答案】0.9或1.1或或．
【详解】解：设经过t秒后PQ距离为0.5cm，
①当P、Q在AB上且P在Q左侧时，如图1所示：
由题意得：5-2t-3t=0.5，解得：t=0.9s，
②当P、Q在AB上且P在Q右侧时，如图2所示：
由题意得：2t+3t-0.5=5，解得：t=1.1s，
③Q到达A所用时间为5÷3=s，
当Q从A返回还未到B时，如图3所示：
由题意得：，解得：t=4.5s，但此时AQ= cm>5cm，不符合题意；
④当Q从A返回运动并超过B点时，如图4所示：
此时Q从B-A-B用时为：s，
由题意得：，解得：s；
⑤当Q超过P时，如图5所示：
由题意得：，
解得：s，
综上所述，当P、Q相距0.5cm时，经过的时间为0.9s或1.1s或或，
故答案为：0.9或1.1或或．
12．如图，数轴上有两点，点C从原点O出发，以每秒的速度在线段上运动，点D从点B出发，以每秒的速度在线段上运动．在运动过程中满足，若点M为直线上一点，且，则的值为_______．
【答案】1或
【详解】设运动的时间为t秒，点M表示的数为m
则OC=t，BD=4t，即点C在数轴上表示的数为-t，点D在数轴上表示的数为b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，
由OD=4AC得，b-4t=4(-t-a)，
即：b=-4a，
①若点M在点B的右侧时，如图1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-(m-b)=m，即：m=b-a；
∴
②若点M在线段BO上时，如图2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=m，即：m=a+b；
∴
③若点M在线段OA上时，如图3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-(b-m)=-m，即：
∵此时m＜0，a＜0，
∴此种情况不符合题意舍去；
④若点M在点A的左侧时，如图4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-(b-m)=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
13．已知：如图1，，．
(1)求的度数；
(2)如图2，若射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点以每秒旋转的速度逆时针旋转；其中射线到达后立即改变运动方向，以相同速度绕点顺时针旋转，当射线到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为秒，当时，试求的值；
(3)如图3，若射线从开始绕点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？(请直接写出结果)
【答案】(1)120°；(2)5或10或12.5或13.75；(3)60°或120°
【解析】解：∠BOC=∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC，∴∠AOB=∠AOC，
∵∠AOB=30°，∴∠AOC=120°；
(2)由(1)知，∠AOC=120°，∠BOC=90°，
①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，
由OP，OQ的运动可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t，
OP，OQ相遇前，如图2(1)，∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5，
OP，OQ相遇后，如图2(2)，∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10；
②OP顺时针旋转时，∠COP=10°t-120°，∠BOQ=6°t，
OP，OQ相遇前，如图(3)，∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=12.5，
OP，OQ相遇后，如图(4)，∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=13.75，
综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ=10°．
(3)由(1)知∠AOC=120°，根据射线OP的运动，需要分四种情况，
①当射线OP与OA重合前，如图3(1)，
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOP+∠COP=∠AOC=60°；
②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，如图3(2)，
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，
∴∠MON=∠POM-∠PON=∠AOP-∠COP=∠AOC=60°；
③∠CON=180°前，如图3(3)，
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=∠AOP+∠COP=(360°-∠AOC)=120°；
④OP与OQ重合前，如图3(4)，
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=∠AOP，∠PON=∠COP，
∴∠MON=∠PON-∠POM=∠COP+∠AOP=∠AOC=60°；
综上，∠MON的度数为60°或120°．
14．已知∠AOB=120°，∠COD=60°．
(1)如图1，当∠COD在∠AOB的内部时，若∠AOD=95°，求∠BOC的度数；
(2)如图2，当射线OC在∠AOB的内部，OD在∠AOB的外部时，试探索∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠COD在∠AOB的外部时，分别在∠AOC内部和∠BOD内部画射线OE，OF，使∠AOE =∠AOC，∠DOF=∠BOD，求∠EOF的度数．
【答案】(1)85°
(2)与互补，理由见解析
(3)当或时，；当时，；当或时，或
【解析】(1)解：∵，，∴，
∵，∴；
(2)与互补；理由如下：
∵，，
∴，∴与互补．
(3)解：设，
①当时，如图3，
，，
∵， ∴，
∵，∴，
∴， ∴；
②当时，如图，点在的延长线上，
则，，，
∴，， 此时与或重合，
当与重合时，，
当与重合时，，
③当时，如图，
，，
∵，
，
，
∴；
④当时，如图，点在的延长线上，
则，，
∴，此时与或重合，
当与重合时，，
当与重合时，；
⑤当时，如图，，，
∵，，
，∴，
综上：当或时，；
当时，；
当或时，或．
15．如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方．
【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．
(1)的度数是___________，图1中与它互补的角是___________．
(2)三角尺旋转的度数可表示为___________(用含t的代数式表示)：当___________时，．
【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒．
(3)当t为何值时，，并说明理由？
(4)试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)，秒或秒；(3)4秒或22秒，理由见解析；(4)存在，秒、秒、秒
【详解】(1)∵，，
∴，
与互补的角是，
故答案是：，；
(2)旋转的速度是每秒，
∴旋转的度数表示为，
当时，
①，
∴，
，解得，
②旋转角为，
，解得，
故答案是：，或；
(3)①如图①当在左侧时，度，度，
∵，
∴，
由题意得，解得，
②如图②当在右侧时，三角尺旋转的角度为度，直尺旋转的角度为度，
∵，
∴，
由题意得，解得，
综上所述，当秒或22秒时，；
(4)①当在左侧时，
(ⅰ)，如图③，
，解得；
(ⅱ)，如图④，
，解得；
②当在右侧时，
(ⅰ)，如图⑤，
，解得；
(ⅱ)，因为，所以不存在；
∴综上所述，当秒、秒、秒时两个角其中一个是另一个的两倍．