山东省济南市市中区育英中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷

这是一份山东省济南市市中区育英中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试卷，共25页。

A．B．
C．D．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）已知反比例函数y＝的图象上有两点A（1，m），B（2，n），则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不能确定
4．（3分）抛物线y＝2x2的对称轴是直线（ ）
A．y＝0B．y＝1C．x＝0D．x＝2
5．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）如图，AB是O的直径，∠D＝32°，则∠BOC等于（ ）
A．32°B．58°C．60°D．64°
7．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝﹣x2+（2m﹣4）x﹣m2+3上两点，当x1＜x2且x1+x2＞﹣2时，总有y1＞y2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣1D．m≤﹣1
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．（3分）已知，则锐角α的度数是 ．
10．（3分）如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的9倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD：OD1＝ ．
11．（3分）如图，点A，B是函数y＝图象上两点，过点A作AC⊥x轴垂足为点C，并交OB于点D．若△ADO的面积为2，D为OB的中点，则k的值为 ．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，若该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
13．（3分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 ．
三.解答题（共8小题，共58分）
15．（4分）计算：．
16．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
17．（6分）为了更好的感受中考考法，精准备考，学生L和学生H两位同学，分别从2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真题中选择一套完成，四套题分别记为A、B、C、D，若他们两人选择哪一套题相互不受影响，且选择每一套题的几率均等．
（1）他们都选择“2023”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两人都不选择“2023”的概率．
18．（6分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果保留个位）
（参考数据：tan27°≈0.5，≈1.7）
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．
（1）求证：∠CDE＝∠CAD；
（2）若CD＝4，tanB＝，求⊙O的半径．
20．（8分）如图1，矩形EBGF和矩形ABCD共顶点，且绕着点B顺时针旋转，满足．
（1）的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由；
（2）如图2，若点F为CD的中点，且AB＝8，AD＝6，连结CG，求△FCG的面积．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于函数y＝（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上．
（1）对于函数y＝（x＞0）的图象而言，
①点P（3，1）在 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
②横、纵坐标满足不等式y＜的点在 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
（2）已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W．
①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）；
②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围．
22．（12分）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一.选择题（共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从正面看到的平面图形是：．
故选：C．
2．（3分）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故选：B．
3．（3分）已知反比例函数y＝的图象上有两点A（1，m），B（2，n），则m与n的大小关系是（ ）
A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．不能确定
【解答】解：∵反比例函数中的k＝a2+1＞0，
∴在反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵反比例函数的图象上有两点A（1，m），B（2，n），1＜2，
∴m＞n．
故选：A．
4．（3分）抛物线y＝2x2的对称轴是直线（ ）
A．y＝0B．y＝1C．x＝0D．x＝2
【解答】解：抛物线y＝2x2的对称轴为y轴，
即直线x＝0．
故选：C．
5．（3分）已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有n个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：根据题意，得：＝0.4，
解得n＝3，
经检验：n＝3是分式方程的解且符合题意，
故选：A．
6．（3分）如图，AB是O的直径，∠D＝32°，则∠BOC等于（ ）
A．32°B．58°C．60°D．64°
【解答】解：∵∠D和∠BOC都对，
∴∠BOC＝2∠D＝2×32°＝64°．
故选：D．
7．（3分）一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限，则a＞0，b＞0，所以ab＞0，则反比例y＝应该位于第一、三象限，故本选项不可能；
B、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
C、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，则a＞0，b＜0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项不可能；
D、一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则a＜0，b＞0，所以ab＜0，则反比例y＝应该位于第二、四象限，故本选项有可能；
故选：D．
8．（3分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝﹣x2+（2m﹣4）x﹣m2+3上两点，当x1＜x2且x1+x2＞﹣2时，总有y1＞y2，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣1D．m≤﹣1
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+（2m﹣4）x﹣m2+3，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝m﹣2，
∵A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝﹣x2+（2m﹣4）x﹣m2+3上两点，当x1＜x2且x1+x2＞﹣2时，总有y1＞y2，
∴m﹣2≤﹣1，
∴m≤1．
故选：B．
二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）
9．（3分）已知，则锐角α的度数是 30° ．
【解答】解：由题意得，tanα＝＝，
∴α＝30°．
故答案为：30°．
10．（3分）如图，以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的9倍，得五边形A1B1C1D1E1，则OD：OD1＝ 1：3 ．
【解答】解：∵以O为位似中心，把五边形ABCDE的面积扩大为原来的9倍，得五边形A1B1C1D1E1，
则OD：OD1＝1：3，
故答案为1：3．
11．（3分）如图，点A，B是函数y＝图象上两点，过点A作AC⊥x轴垂足为点C，并交OB于点D．若△ADO的面积为2，D为OB的中点，则k的值为 ．
【解答】解：设点B（2m，2n），
∴4mn＝k，
∵D为OB的中点，
∴D（m，n），
∵AC⊥x轴，
∴，
∴A（m，4n），
∵△ADO的面积为2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，若该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 x＜﹣1或x＞3 ．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，该抛物线与x轴的一个交点为A（3，0），
∴该抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）
又∵抛物线开口向上
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜﹣1或x＞3．
\故答案为：x＜﹣1或x＞3．
13．（3分）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝6，则图中阴影部分的面积是 6π﹣9 ．
【解答】解：由翻折的性质可知，AD＝OD＝OA，AC＝OC，
在Rt△COD中，OD＝OC＝3，
∴∠OCD＝30°，
∴∠AOC＝90°﹣30°＝60°，
∴CD＝OD＝3，
∴S阴影部分＝S扇形AOC﹣S△AOC
＝﹣×6×3
＝6π﹣9．
故答案为：6π﹣9．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为 ．
【解答】解：解法一：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝6，
∴DC＝AB＝6，∠ABC＝∠ADC＝120°，AD∥BC，
∴∠CDF＝180°﹣∠ADC＝60°，
∵CF⊥AD，
∴∠CFD＝90°，∠DCF＝90°﹣∠CDF＝30°，
∴DF＝DC＝3，CF＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠ABC＝60°，∠DEC＝∠A′CB，
根据折叠的性质可得，AB＝A′B＝6，∠A＝∠BA′E＝60°，
∴A′B＝DC＝6，∠BA′C＝180°﹣∠BA′E＝120°＝∠CDE，
在△A′BC和△DCE中，
，
∴△A′BC≌△DCE（AAS），
∴BC＝CE＝8，
在Rt△CEF中，EF＝＝＝，
∴DE＝EF﹣DF＝．
解法二：当点A′恰好落在EC上时，如图，过点B作BF⊥AD于点F，过点C作CG⊥BE于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，BC＝8，
∴AD∥BC，AD＝BC＝8，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝60°，
在Rt△ABF中，AF＝AB•csA＝6×＝3，BF＝AB•sinA＝6×＝，
根据折叠的性质可得，∠AEB＝∠A′EB，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠CBE＝∠A′EB，即∠CBE＝∠CEB，
∴△CBE为等腰三角形，BC＝CE＝8，
∵CG⊥BE，
∴EG＝BG＝，
∵∠BEF＝∠CEG，∠BFE＝∠CGE＝90°，
∴△BEF∽△CEG，
∴，即，
∴BE2＝2EF•CE，
设EF＝x（0＜x＜8），
∴BE2＝2x•8＝16x，
在Rt△BEF中，EF2+BF2＝BE2，
∴，
整理得：x2﹣16x+27＝0，
解得：（舍去），，
∴EF＝，
∴DE＝AD﹣AF﹣EF＝8﹣3﹣）＝．
故答案为：．
三.解答题（共8小题，共58分）
15．（4分）计算：．
【解答】解：原式＝
＝
＝4+1
＝5．
16．（6分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．
【解答】证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB；
由（1）可知：△ADE∽△ACB，
∴＝，
设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵AE＝4，AC＝9，
∴＝，
解得：x＝（负值舍去），
∴BD的长是．
17．（6分）为了更好的感受中考考法，精准备考，学生L和学生H两位同学，分别从2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真题中选择一套完成，四套题分别记为A、B、C、D，若他们两人选择哪一套题相互不受影响，且选择每一套题的几率均等．
（1）他们都选择“2023”的概率为 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，求两人都不选择“2023”的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中他们都选择D的结果有1种，
他们都选择“2023”的概率为，
故答案为：；
（2）由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们都不选择D的结果有9种，
∴两人都不选择“2023”的概率为．
18．（6分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6m，CD的坡度为i＝1：，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求塔AB的高度．（结果保留个位）
（参考数据：tan27°≈0.5，≈1.7）
【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC，
在Rt△DEC中，tan∠DCE＝＝＝，
∴∠DCE＝30°，
∵CD＝6m，
∴DE＝CD＝3（m），CE＝CD＝3（m），
∴DE的长为3m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝EA，DE＝FA＝3m，
设AC＝x m，
∵CE＝3m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（x+3）m，
在Rt△ACB中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（x+3）m，
∵BF+AF＝AB，
∴0.5（x+3）+3＝x，
解得：x＝3+6≈11，
∴AB≈11m，
∴塔AB的高度约为11m．
19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．
（1）求证：∠CDE＝∠CAD；
（2）若CD＝4，tanB＝，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵AE是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAE＝90°，
∴∠OAD+∠DAE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠OAD＝90°，
∴∠B＝∠DAE，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠DAE，
∵∠ODB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CAD；
（2）解：∵∠B＝∠DAE，
∴tanB＝tan∠DAE＝，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝，
∵∠CDE＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴CA＝8，CE＝，
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAC中，OA2+AC2＝OC2，
∴r2+（8）2＝（r+4）2，
∴r＝14，
∴⊙O的半径为14．
20．（8分）如图1，矩形EBGF和矩形ABCD共顶点，且绕着点B顺时针旋转，满足．
（1）的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由；
（2）如图2，若点F为CD的中点，且AB＝8，AD＝6，连结CG，求△FCG的面积．
【解答】解：（1）．
理由：如图1中，连接BD，BF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，AD＝BC，
∵BC：AB＝3：4，
∴AD：AB＝3：4，
设AD＝3k，AB＝4k，则BD＝5k，
∴AD：AB：BD＝3：4：5，
同法可证EF：BE：BF＝3：4：5．
∴△ABD∽△EBF，
∴∠ABD＝∠EBF，，
∴∠ABE＝∠DBF，，
∴△ABE∽△DBF，
∴．
（2）如图2，连结BF，AE，过G作GT⊥DC交DC的延长线于点T．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，
∵DF＝CF＝4，DF：AE＝5：4，
∴AE＝．
∵∠ABC＝∠EBG＝90°，
∴∠ABE＝∠CBG，
∵，
∴△ABE﹣△CBG，
∴，
∴CG＝，
∵∠BCF＝∠BGF＝90°，
∴C，F，B，G四点共圆，
∴∠GCT＝∠FBG，
∴∠T＝∠BGF＝90°，
∴△CTG∽△BGF，
∴CT：GT：CG＝BG：GF：BF＝3：4：5，
∴GT＝CG＝，
∴△CFG的面积＝×CF×GT＝×4×＝．
21．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于函数y＝（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上．
（1）对于函数y＝（x＞0）的图象而言，
①点P（3，1）在 曲线上方 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
②横、纵坐标满足不等式y＜的点在 曲线下方 （填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．
（2）已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W．
①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）；
②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）①在函数y＝图象上，当x＝3时，y＝，
∴点P（3，1）在曲线上方；
②y＝为曲线，横、纵坐标满足不等式y＜的点在曲线下方．
故答案为：①曲线上方；②曲线下方．
（2）①由题意知，区域W满足，
∴区域W满足在y＝的上方且在y＝x+1的下方，如图：
②当点A（1，2）在区域W内时，，
得1＜m＜2，
当点B（2，4）在区域W内时，，
得2＜m＜8，
∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2．
22．（12分）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接CD，BD，BC，AC．当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求点D的坐标；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中，得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点D作y轴平行线交x轴于E，交BC于点F，作CG⊥DE于点G，如图1，
把x＝0代入y＝﹣x2+2x+3中，得：y＝3，
∴C点坐标是（0，3），
设直线BC：y＝kx+q，
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+q，代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
设D（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴DF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
由S△BCD＝2S△AOC得：，
∴，
整理得：m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∵0＜m＜3，
∴m的值为1或2，
当m＝1时，﹣m2+2m+3＝﹣12+2+3＝4，
当m＝2时，﹣m2+2m+3＝﹣4+4+3＝3，
∴点D的坐标为（1，4）或（2，3）；
（3）抛物线上是否存在点P，使得∠CBP+∠ACO＝∠ABC；理由如下：
由C（0，3），B（3，0）得OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
①当点P在BC左侧时．如图2，
在y轴上取点M（0，1），延长BM交抛物线于点P．
在△AOC和△BOM中，
，
∴△AOC≌△BOM（SAS），
∴∠ACO＝∠ABM，
∴∠CBP+∠ACO＝∠CBM+∠OBM＝∠ABC，
设直线BM的解析式为y＝kx+b，
将B（3，0），M（0，1）代入，得：
，
解得：，
∴设直线BM的解析式为y＝x+1，
由得：或，
∴；
②当点P在BC右侧时，如图2，
作△BOC关于BC的对称△CBN，CN交二次函数y＝﹣x2+2x+3于点P2，则∠CBN＝∠CBO＝45°，∠N＝∠BOC＝90°，∠BCO＝∠BCN＝45°，
∴∠OCN＝∠N＝∠OBN＝90°，
∵OC＝OB，
∴四边形OCNB是正方形，
∴BN＝3，
令y＝﹣x2+2x+3中，y＝3，则﹣x2+2x+0，
解得x＝0或x＝2，
∴P2（2，3），P2N＝3﹣2＝1＝OM，
∵OB＝NB，∠BOM＝∠BNP2＝90°，
在△BOM和△BNP2中，
，
∴△BOM≌△BNP2（SAS），
∴∠OBM＝∠NBP2，
∴∠CBP2+∠ACO＝∠CBP2+∠BOM＝∠CBP2+∠NBP2＝45°＝∠ABC，
∴在点P2抛物线上，即点P2满足条件∠CBP+∠ACO＝∠ABC．
故存在满足条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（2，3）．