陕西省宝鸡市金台区宝鸡市第一中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份陕西省宝鸡市金台区宝鸡市第一中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共29页。

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若有理数与3互为相反数，则的值是（ ）.
A. 3B. －3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的概念可得解
【详解】有理数与3互为相反数，则，得；
故选B．
2. 把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角板得到，，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：如图，和交于点G，
由三角板可知：，，
∵，您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高∴，
∴,
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角板的性质，三角形内角和，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查是单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握其法则，根据单项式乘单项式运算法则，可知系数相乘，相同的字母指数相加即可解答．
【详解】解：，
故选：C．
4. 如图，在中，于D，下列条件中，不能使的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数定义，相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：，，
，
，
，
，故A不符合题意；
，，
，
，
，故B不符合题意；
，
，
，
，
，
，故C不符合题意；
的斜边和直角边与的两直角边和对应成比例，不能判定；
故选：D．
5. 如图，平行四边形ABCD中，∠B＝60°．G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（ ）
A. 四边形CEDF是平行四边形
B. 当CE⊥AD时，四边形CEDF矩形
C. 当∠AEC＝120° 时，四边形CEDF是菱形
D. 当AE＝ED时，四边形CEDF是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质和菱形、矩形的判定逐项进行判断即可．
【详解】A．四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌ ，
，
，
四边形CEDF是平行四边形，故A选项正确；
B．四边形CEDF是平行四边形，
，
四边形CEDF是矩形，故B选项正确；
C．四边形CEDF是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
四边形CEDF是平行四边形，
四边形CEDF是菱形，故C选项正确；
D．当时，不能得出四边形CEDF是菱形，故D选项错误，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
6. 如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的综合应用，平移的性质，勾股定理，平行四边形的面积等知识，明确线段扫过的面积为平行四边形的面积是解题关键．根据题意，线段扫过的面积为平行四边形的面积，先利用勾股定理求出，再根据平移的性质得到，即点的纵坐标为4，进而求出其横坐标为5，得到，从而得到，即可求出平行四边形面积得到答案．
【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积，
点A、B的坐标分别为、，
，
，，
，
，
点的纵坐标为4，
点在直线上，
，
解得：，即，
，
，
即线段扫过的面积为16，
故选：C．
7. 如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由三角形内心的性质得到，根据圆周角定理得到，利用三角形内角和求出，得到，最后根据同弧所对的圆周角相等可得结果．
【详解】解：∵点是的内心，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了三角形内心的性质，圆周角定理及其推论，解题的关键是灵活运用所学定理，根据内心得到．
8. 已知二次函数，若时，函数最大值与最小值的差为4，则a的值为（ ）
A. 1B. -1C. D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
【详解】当a＞0时，∵对称轴为x=，
当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，
∴4a+2-2=4．
∴a=1，
当a＜0时，同理可得
y有最大值为2； y有最小值为4a+2，
∴2-(4a+2)=4，
∴a=-1，
综上，a的值为
故选：C
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题〉
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9. 25的算术平方根是 _______ .
【答案】5
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
【详解】解：∵52=25，
∴25的算术平方根是5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查算术平方根的求法，熟练掌握算术平方根的计算方法是解题关键．
10. 若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是_________．

【答案】
【解析】
【分析】首先利用估算的方法分别得到，，前后的整数（即它们分别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数．
【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是，
能被墨迹覆盖的数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，关键在于得出无理数的取值范围．
11. 符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长．
【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，，
.
12. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与x轴夹角为，将沿直线翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线（）上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，由折叠的性质易得，，，用锐角三角函数的定义得，，得点C的坐标，进而得出答案．
【详解】解：设点C的坐标为，过点C作轴，作轴，
∵将沿直线翻折，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵
，
∵点C在第二象限，
∴，
∵点C恰好落在双曲线
∴
故答案为：．
13. 如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
【答案】．
【解析】
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF
∴△DEA≌△AFB，

∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°，
∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°
∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴
在Rt△AOB中，∠OAB=90°
∴OB=
∵
∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
三、解答题：共12小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
15. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式的化简，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，先把括号里的式子进行通分，再把后面分式的分子分母分别进行因式分解，进而化简即可．
【详解】解：
．
16. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】-1≤x＜3，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
【详解】解：，
解不等式①得x≥-1，
解不等式②得x＜3．
故不等式组的解集为-1≤x＜3．
在数轴上表示：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等知识点，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和基本作图，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得，作的垂直平分线交于点D，点D即为所求．
【详解】解：如图，点D即为所求．
18. 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分，且，，求证：．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，先证，根据性质可得，再根据三角形的外角性质即可求证，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】证明：∵平分，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
∵，，
∴．
19. 如图，在正方形网格中有三角形．
（1）将三角形进行平移，使得点的对应点为点（如图所示），画出三角形；
（2）画出（1）中三角形关于中点成中心对称的图形，所画图形需用实线画出．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平移作图、作中心对称图形：
（1）根据点A及对应点的位置判断平移方式，找出点B和点C的对应点，顺次连接即可；
（2）利用格点作出点关于中点的对称点，即为所求．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
20. 一只不透明袋中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从袋中摸出1个球，记下颜色后放回、揽匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______（精确到0.001），由此估出红球有______个；
（2）现从该袋中随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球，请用画树状图或列表法求恰好摸到1个白球和1个红球的概率．
【答案】（1）0.334，2；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了频率估计概率．
（1）利用频率估计概率，通过大量的实验，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数可作为摸到白球的概率，进而可求解；
（2）利用列表法得到所有的等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后利用求概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：（1）根据表中数据，可知摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是0.334（精确到0.001），
设红球有x个，则
，
解得，
由此估出红球的个数为2个．
故答案为：0.334，2；
【小问2详解】
将2个红球分别记为红1、红2，画树状图如图：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则，
答：恰好摸到1个白球和1个红球的概率为．
21. 在学习解直角三角形以后，某班数学兴趣小组的同学测量了旗杆的高度，如图，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为6米，落在斜坡上的影长为4米， ，点A，B，F三点共线，且，同一时刻，光线与旗杆的夹角为（米），测得坡角的度数是，求旗杆的高度为多少米？（结果保留根号）
【答案】旗杆的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，过点C作于点G，先计算，的长，然后证明四边形是矩形，得到 ，，的长，再求的长，即可进一步得到答案．
【详解】过点D作于点H，过点C作于点G，
，
，
，
（米），（米），
，
四边形是矩形，
（米） ，（米），
（米），
在中，（米），
（米），
答：旗杆的高度为米．
22. 在河道，两个码头之间有客轮和货轮通行．一天，客轮从码头匀速行驶到码头，同时货轮从码头出发，运送一批物资匀速行驶到码头，两船距码头的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）求客轮距码头的距离与时间之间的函数表达式；
（2）请问两船出发多久相距？
【答案】（1）
（2）两船出发或相距
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解题时注意分段函数思想的应用，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解题的关键．
（1）设，根据图象，把，代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案；
（2）设，把代入求出的值，即可得出与的关系式，令，求出对应的的值即可得答案．
【小问1详解】
解：设，
由图象可知：为客轮行驶的函数图象，点，在该图象上，
∴，
解得：，
∴与时间之间的函数表达式为．
【小问2详解】
解：设，
由图象可知：为货轮行驶的函数图象，点在该图象上，
∴，
解得：，
∴，
∵两船出发多久相距，
∴，
当时，，
解得：，（舍去），
当时，，
解得：，
综上所述：两船出发或相距．
23. 为保障学生的生命安全和心理健康，市政府开展“安全知识进校园”宣传活动．为了调查学生对安全知识的掌握情况，从某中学随机抽取名学生进行了相关知识测试，将成绩(成绩取整数)分为“：分；：分；：分；：分及以下”四个等级进行统计，得到如图尚不完整的统计图表：
等级成绩的具体情况是：
根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）等级成绩的中位数是 分；
（3）假设全市有名学生都参加此次测试，若成绩在分以上(含80分)为优秀，求全市成绩优秀的学生人数约有多少人．
【答案】（1）见解析 （2）97
（3）约有人
【解析】
【分析】（1）用总人数减去、、三组的人数和即可得出组的人数，然后补全条形统计图即可；
（2）A组共有人，把数据按照从小到大从大到小的顺序排列，找到中间第七个数据即可；
（3）用乘以分以上的人数所占的比例即可得出人数．
【小问1详解】
解：的人数为：，
补全条形统计图如下所示：
【小问2详解】
解：等级共有名学生，按照从小到大的顺序排列是、、、、、、、、、、、、，处在最中间的数据是，
∴这组数据为中位数是，
故答案：．
【小问3详解】
解：人，
答：该校成绩优秀的学生人数约有人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体，求中位数，解题的关键是掌握中位数的概念以及掌握用样本估计总体的方法．
24. 如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
【解析】
【分析】（1）本题考查证明切线，连接，根据得到，根据得到，即可得到，从而得到结合即可得到证明；
（2）本题考查相似三角形判定与性质，解直角三角形正切的运用，勾股定理，先求出，根据勾股定理求出，再证明，即可求出，再根据求出，结合勾股定理求出即可得到答案；
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．
备用图
（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标；
（3）若点是轴上方抛物线上的动点，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点恰好落在轴上时，请直接写出点的横坐标．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或
（3）点的横坐标为或
【解析】
【分析】（1）将点，点代入函数解析式，再根据函数解析式求得顶点坐标，即可解答；
（2）过F作轴于点G，设F点坐标为，利用，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，即可求得F点的坐标；
（3）设，分两种情况讨论，根据正方形的性质得出m的方程，求出m的值即可得P点横坐标．
【小问1详解】
解：将点，点代入函数解析式，
可得，
解得，
故函数解析式为，
，
当时，，
【小问2详解】
解：如图，过点作交于点，
设，
，
，
，
，
，，，
，
当点在轴上方时，可得，
解得（舍去），
此时点；
当点在轴下方时，可得，
解得（舍去），
此时点，
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：考虑两种情况：
①如图，过点作轴，轴的垂线段，分别交于点，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
，
设，
可得，
解得（舍去），
点横坐标为；
②如图，过点作轴，轴的垂线段，分别交于点，
同理可得，
，
，
解得（舍去），
综上所述，点的横坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式、相似三角形和全等三角形的判定与性质，在（2）中构造相似三角形是解题关键，在（3）中，确定点P的位置是解题关键，注意运用分类讨论的思想．
26. 问题探究：如图①，已知等边，在内求作一点，使到各边的距离都相等，画出这个点；
如图②中，，，，请求出的内切圆半径的值（结果保留根号）；
问题解决：如图③，市区有空地位于两条笔直且平行的道路，之间，、之间的距离为40米，线段在上，且米，现拟在道路找一点，与、构成三角形休闲小道，内建圆形绿化区，要求、、均与圆形绿化区相切，试探究圆形绿化区面积有无最大值？如果有，求面积的最大值及并指出圆心位置；如果没有，请说明理由（道路宽度可忽略不计）．
【答案】问题探究：图①见解析；图②；
问题解决：圆形绿化区面积有最大值，为，圆心到各边的距离均为
【解析】
【分析】问题探究：图①根据等边三角形的性质，作边，的垂直平分线，即角平分线，两条角平分线的交点即为内切圆的圆心；图②过点C作于点D，连接，，，设的半径为r，根据含的直角三角形性质得到，，得到，由勾股定理得到，运用三角形面积公式求得，
问题解决：当时，圆形绿化区面积最大，设半径为r，过点A作于点D，则，根据勾股定理得到，运用图②方法求得， ．
【详解】问题探究：分别以点B、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线，
再分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点N，作射线，
与交于点P，点P即为所求作，如图①；
如图②，过点C作于点D，连接，，，设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的内切圆半径为；
问题解决：圆形绿化区面积有最大值．理由：
当时，圆形绿化区面积最大，设半径为r，过点A作于点D，
则，
∵，
∴，
由图②知，，
∴，
∴．
故圆形绿化区面积最大为，圆心到各边的距离均为．
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，角平分线性质，含的直角三角形性质，圆切线性质，三角形内心性质，等腰三角形性质，面积法求三角形的高．摸球的次数
200
300
400
1000
1600
2000
摸到白球的频数
72
93
130
334
532
667
摸到白球的频率
0.3600
0.3100
0.3250
0.3340
0.3325
0.3334
分数分
人数人