湖北省随州市广水市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份湖北省随州市广水市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题纸上指定的位置．
2．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后，考生只需要上交答题纸，试题自己保留或听学校统一安排．
一、单选题（共30分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照有理数的乘方、算术平方根、幂的乘方的法则分别计算即可．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了有理数的乘方、算术平方根、幂的乘方等知识，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．
2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．原图是不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．原图是不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D
3. 下列事件中是不可能事件的是（ ）
A. 水滴石穿B. 瓮中捉鳖C. 水中捞月D. 守株待兔
【答案】C
【解析】
【分析】不可能事件是一定不会发生的事件，依据定义即可判断．
【详解】解：A、水滴石穿，是必然事件；
B、瓮中捉鳖，必然事件；
C、水中捞月，是不可能事件；
D、守株待兔，是随机事件；
故选C．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 我国“DF－41型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫（1马赫＝340米/秒），则“DF－41型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合单位的换算，根据路程=速度时间建立方程即可得．
【详解】解：因为1分钟秒，1公里米，
所以可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
5. 如图，是以边长为2的等边三角形，则点A关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点A作，根据等边三角形的性质，确定点A的坐标，结合关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数计算即可．
【详解】解：如图，过点A作，
∵是以边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴点A的坐标是，
∴点A关于x轴的对称点的坐标为．
故选：D．
6. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列表，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下．
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法求概率，熟练掌握该知识点是解题关键．
7. 如图，在中，，分别过，两点作的切线，两切线相交于点，则的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，首先根据圆周角定理求得，再结合切线的性质可得，然后根据四边形内角和为，求解即可．
【详解】解：如下图，连接，
∵，
∴，
∵均为的切线，
∴，
∵在四边形中，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、多边形内角和等知识，利用圆周角定理确定是解题关键．
8. 已知二次函数 (a 为常数，且 )的图象上有三点则 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：根据题意得：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴函数图象开口向上，
∵，点在二次函数 (a 为常数，且 )的图象上，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
9. 某网红店生产并销售一种特色食品，每天均能限量生产并销售完毕，如图中的线段，分别表示某天生产成本（单位：元），收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．根据图象信息可知，该网红店某一天中盈利120元时的产量是（ ）

A. 30千克B. 42千克C. 45千克D. 48千克
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可设段的解析式为，段的解析式为，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该网红店某一天中盈利120元时，即，可列出关于x的方程，解出x即可．
【详解】解：根据题意：可设段的解析式为：，且经过点，，
∴ ，
解得：，
∴段的解析式为：；
设段的解析式为：，且经过点，
∴，
解得：，
∴段的解析式为：．
∵该网红店某一天中盈利120元时，即，
∴，
解得：．
所以这天的产量是45千克．
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．掌握利用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
10. 利用平方根去根号可以构造一个整系数方程．例如：时，移项得，两边平方得，所以，即．仿照上述构造方法，当时，可以构造出一个整系数方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．利用已知将原式变形，结合完全平方公式得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
可变形为：，
则，
故，
则可以构造出一个整系数方程是：．
故选：B．
二、填空题（共18分）
11. 分解因式：_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，掌握一元二次方程有实数根的条件是解题的关键， 根据一元二次方程有实数根，可得，且，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，且，
解得，
∴k的取值范围是且，
故答案为：且．
13. 一座拱桥的轮廓是一段半径为的圆弧（如图所示），桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根为________．

【答案】
【解析】
【分析】设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可．
【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，如图所示：

则，，
∴，
∴，
即这些钢索中最长的一根为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
14. 小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为______字/min．
【答案】200
【解析】
【分析】根据录入的时间=录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可．
【详解】解∶设，
把代入，得，
∴，
∴，
当时，，
∵，
在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴小明录入文字速度至少为200字/min．
故答案为：200．
【点睛】此题考查了是反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
15. 已知二次函数的图象如图所示抛物线的顶点坐标是，有下列结论①；②；③；④若点在该抛物线上，则．其中正确的结论是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴；故①正确；
∵抛物线与轴没有交点，
∴；故②错误；
∵顶点坐标为，图象过，
∴，
两式相减，得：，
∴；故③正确；
∵当时值最小，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
16. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为_____________．
【答案】##
【解析】
【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取的中点为O，以为直径作，连接，，根据三角形三边关系可知：，因为为定值，根据垂线段最短，得出当O、P、N三点共线，且时，最小，则最小，根据垂径定理和勾股定理求出长，最后根据线段间的和差关系求长，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵和为直角三角形，
取的中点为O，
∴，
∴C、E、P、F四点共圆，
∵，
∵为定值，
∴当最小，且O、P、N三点共线时，最小，
过O作于H，延长交于P’，交于，而，
∴，
∵，而，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，圆的确定及基本性质等知识点，解题的关键是根据题意作出辅助圆，利用垂线段最短找出最小值时的位置．
三、解答题（共72分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要查了分式的化简求值．先计算括号内的，再计算除法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：原式
，
当时，原式＝－．
18. 如图，在中，，E为延长线上一点，且 交于点F．

（1）求证：是等腰三角形；
（2）若 ，F为中点，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出，根据余角的性质，得出根据对顶角的性质，得出，即可得出答案；
（2）证明，得出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
解：过点A作于点G，过A作AH⊥BC于H，如图所示：

∵，
∴，
∵F为中点，
∴，
又
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法．
19. 某初中为增强学生亚运精神，举行了“迎亚运”书画作品创作比赛，评选小组从全校24个班中随机抽取4个班（用 A，B，C，D表示），并对征集到的作品数量进行了统计分析，得到下列两幅不完整的统计图．
（1）评选小组采用的调查方式是普查还抽样调查？
（2）根据上图表中的数据，补充完整作品数量条形图，并求出C班扇形的圆心角度数；
（3）请你估计该校在此次活动中征集到的作品数量．
【答案】（1）抽样调查
（2）图见解析，
（3）件
【解析】
【分析】（1）评选小组从全校24个班中随机抽取4个班，属于抽样调查；
（2）先根据条形统计图算出C班的件数，再除以24再乘360°即可得；
（3）先算出平均每个班的件数，再乘24即可得．
【小问1详解】
解：评选小组从全校24个班中随机抽取4个班，属于抽样调查，
即评选小组采用的调查方式是抽样调查．
【小问2详解】
解：C班有：（件），
C班扇形的圆心角度：．
条形图如图所示:
【小问3详解】
解：（件），
即该校在此次活动中征集到的作品数量是144件．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握这些知识点．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，和，请按下列要求画图并填空．

（1）平移线段AB，使点A平移到点C，则点B的对应点点D坐标为______；若点为AB上一点，则平移后，点P的对应点的坐标为______（用含a、b的代数式表示）．
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转，请在图1的网格图中画出旋转后所得的线段AE，并写出点E的坐标为______，连接点BE，EC，CB，得到，请说明的形状，并说明理由；
（3）请在图2的y轴上找出一点F（保留画图痕迹），使的周长最小，并直接写出点F的坐标为______．
【答案】（1），
（2），形状为直角三角形，理由见解析
（3）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）利用点的坐标特征得到平移规律，然后利用此平移规律写出点D坐标，及点P的对应点的坐标即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点B所对应的点E，观察图形即可求解；
（3）作点B关于y轴对称点，连接交y轴于点F，此时周长最小，并求出直线表达式即可求出点F坐标．
【小问1详解】
解：如图所示，点A先向右平移5个单位，再向下平移5个单位到点C，
所以点先向右平移5个单位，再向下平移5个单位到点，
点为AB上一点，
则平移后，点P的对应点的坐标为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：将线段AB绕点A逆时针旋转，得线段AE，由旋转可知：，
，，
，，
，，
，
故答案为：，
如图所示，，，，
，，，
，
形状为直角三角形；
【小问3详解】
解：作点关于y轴对称点，连接交y轴于点F，
，
，
根据两点之间线段最短，得此时值最小，
所以此时周长最小；
设直线表达式为，将两点坐标代入，
则：，
解得：，
直线表达式为，
当时，，
．
【点睛】本题考查了平移、旋转、直角三角形判定及最短路径问题，解题的关键是掌握相关的性质．
21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图，其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图，筒车与水面分别交于点，，筒车上均匀分布着若干盛水筒，表示筒车的一个盛水筒．接水槽所在的直线是的切线，且与直线交于点，当点恰好在所在的直线上时．解决下面的问题：
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出，由切线的性质得出，进而得出，由对顶角的性质得出，即可证明；
（2）先证明，得出，由，，，求出，进而求出，即可求出
【小问1详解】
证明：是的直径，
，
，
所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，，，
，
∴
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
22. 第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日至8月8日在成都举行，大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物和“品牌图腾”，是天府之国享有极高知名度的个性名片．此次成都大运会吉祥物“蓉宝”（如图1）便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的．某商店销售“蓉宝”的公仔毛绒玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图2所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）由于某种原因，该商品进价提高了a元/件（），如果规定该玩具售价不超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用．
（1）设关于的函数表达式为，用待定系数法求解即可；
（2）题意可得，由于对称轴为直线，由二次函数的性质即可得到结论．
正确根据题意设出函数的解析式，并用待定系数法求解是解题关键．
【小问1详解】
解：设关于的函数表达式为，
由题意可得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
【小问2详解】
由题意可得：
，
对称轴为直线，抛物线的开口向下，
，
，
物价部门规定该玩具售价不得超过40元件，
时，取最大值2400，
，
解得：．
23. 据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为 ．
【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．
【答案】【问题】结论：，证明见解析部分
【探索】结论：，证明见解析部分
【应用】6
【解析】
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）连接，根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）过点作，使，连接，，证明，得到，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：（1）结论：，
理由如下：
，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）结论：，
理由如下：
连接，如图所示：
在中，，，则，
由（1）得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）过点作，使，连接，，如图所示：
即在中，，，则，
，
∴，
在与中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标．
（3）已知E，F分别是直线和抛物线上的动点，当，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）求得两点坐标，代入抛物线解析式，获得的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）根据题意可得，以关系建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：在中，令，得，令，得
，
把代入，得
，解得，
抛物线得解析式为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，
如图，过点作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作的垂线，垂足为G，

轴，
，
，
即，
，
设D点的坐标为 ，则
，
，，
∴
解得（舍去），，
当时，，
点D坐标为；
【小问3详解】
解：如图，

∵，且以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，
∴，
设 ，
，
解得 ，
点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法，倍角关系和平行四边形点存在类问题，将倍角关系转化为等角关系是（2）问题的解题关键，根据平行四边形的性质，得到是问题的解题关键，本题综合难度不大．开关一
开关二
S1
S2
S3
S1
S2，S1
S3，S1
S2
S1，S2
S3，S2
S3
S1，S3
S2，S3