北京市东直门中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

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考试时间：120分钟 总分：150分
班级 姓名 学号
第一部分（选择题）
选择题：(本题有12道小题，每小题4分，共48分)
已知集合A = {x  N | x – 3  0}，集合B = {x  R | – 4 < x < 4}，则A  B =
A．{0 , 1 , 2 , 3}B．{1 , 2 , 3}C．{x | –4 < x  3}D．{x | –4 < x < 4}
若函数y = f (x)的定义域为{x | 0  x  1}，值域为{y | 0  y  1}，那么函数y = f (x)的
图象可能是
A． B． C． D．
设a , b  R，且a < b < 0，则
A．1a<1bB．ba>abC．ba+ab>2D．a+b2>ab
下列函数中，是偶函数且在(0 , +)上单调递增的是
A．y=−1xB．y=xC．y = | x |D．y = x3 + 1
已知函数f (x)是一次函数，且f (x – 1) = 4x + 3，则f (x)的解析式为
A．f (x) = 4x – 1B．f (x) = 4x + 7C．f (x) = 4x + 1D．f (x) = 4x + 3
已知函数f (x)的定义域为[–1 , 0)，则f (2x)的定义域是
A．−12,0B．0,12C．[–2 , 0)D．[0 , 2)
设f (x)为定义在R上的偶函数，且f (x)在[0 , +)上为增函数，则f (–2)，f (–π)，f (3)的大小顺序为
A．f (–π) < f (–2) < f (3)B．f (–2) < f (3) < f (–π)
C．f (–π) < f (3) < f (–2)D．f (3) < f (–2) < f (–π)
已知奇函数f (x)的定义域为{x | x  0}，且f (x)在(0 , +)上单调递减．若f (2) = 0，
则f (x) > 0的解集为
A．(–2 , 2)B．(– , –2)  (0 , 2)
C．(–2 , 0)  (2 , +)D．(– , –2)  (2 , +)
设已知函数f (x)如下表所示：
则不等式f (f (x))  0的解集为
A．{1 , 2 , 0}B．{–1 , –2 , 0}C．{1 , 2}D．{–1 , –2}
已知函数f (x) = −x2−ax−5,x≤1ax, x>1是R上的增函数，则a的取值范围是
A．(– , –2)B．(– , 0)C．(–3 , –2]D．[–3 , –2]
当x  [0 ,1]时，若函数f (x) = (mx – 1)2的图象与g (x) = x+m2的图象有且只有一个
交点，则正实数m的取值范围是
A．[2 , +)B．(0 , 2]  52,+∞
C．52,+∞D．(0 , 1]  [2 , +)
刘老师沿着某公园的环形跑道(周长大于1 km)按逆时针
方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，
他每跑1 km，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．
已知刘老师共跑了11 km，恰好回到起点，前5 km的
记录数据如图所示，则刘老师总共跑的圈数为
A．7B．8
C．9D．10
第二部分（非选择题）
填空题：(本题有8道小题，每小题4分，共32分)
若命题p：x  Q，x2 < 3，则命题p的否定为．
函数f (x) = 1x2−x−2+x+1的定义域是．
已知幂函数f (x)经过点(9 , 3)，则f (4) = ．
已知y = 2x + 8x−3 (x > 3)，则当x = 时，y取最小值为 ．
已知函数f (x) = | 2x – a |在(– , 3)上单调递减，则实数a的取值范围是 ．
已知函数f (x) = ax3 + x2 + bx – 3，且f (10) = 6，则f (–10) = ．
已知f (x) = −x2+2x,x≥0x2+2x, x<0，若f (a) < f (–a)，则a的取值范围是 ．
已知函数fx=x2−2x−3,x>a−x, x≤a
当a = 0时，f (x)的值域为 ；
若方程f (x) = 0有两个不同的解，则实数a的取值范围为 ．
解答题：(本题有6道小题，共70分)
(本小题满分10分)
已知全集U = R，集合A = {x | 2 < x < 9}，B = {x | –2  x  5}．
求A  B，B  (∁U A)；
已知集合C = {x | a  x  2 – a}，若C  (∁U B) = R，求实数a的取值范围．
(本小题满分12分)
已知函数f (x)的图象如图所示，其中y轴的左侧为
一条线段，右侧为某抛物线的一段．
写出函数f (x)的解析式、定义域和值域；
求f (3)，f [ f (3)]，f { f [ f (3)]}的值．
(本小题满分12分)
已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0) = f (2) = 3．
求f (x)的解析式；
当x  [–1 , 1]时，f (x) > 2x + 2m + 1恒成立，试确定实数m的取值范围．
(本小题满分12分)
某公司为改善营运环境，年初以50万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车
每年的营运总收入为30万元，使用x年(x  N*)所需的各种费用总计为2x2 + 6x万元．
该车营运第几年开始赢利(总收入超过总支出，今年为第一年)；
该车若干年后有两种处理方案：
① 当赢利总额达到最大值时，以10万元价格卖出；
② 当年平均赢利总额达到最大值时，以12万元的价格卖出．
问：哪一种方案较为合算？并说明理由．
(本小题满分12分)
函数f (x) = 2x2 – 2ax + 3，其中a  R．
当a = 2时，求不等式f (x) > 6x – 9的解集；
当x  [–1 , 3]时，f (x)的最小值为0，求a的值．
(本小题满分12分)
已知n为正整数，集合Mn = {(x1 , x2 , … , xn) | xi  {0 , 1}，i = 1 , 2 , … , n}，
对于Mn中任意两个元素α = (a1 , a2 , … , an)和β = (b1 , b2 , … , bn}．
定义：α – β = (| a1 – b1 | , | a2 – b2 | , … , | an – bn |)；
d (α , β) = | a1 – b1 | + | a2 – b2 | + … + | an – bn |．
当n = 3时，设α = (0 , 1 , 0)，β = (1 , 0 , 0)，写出α – β，并计算d (α , β)；
若集合S满足S  M3，且对于α , β  S，d (α , β) = 2，求集合S中元素个数的
最大值，写出此时的集合S，并证明你的结论；
若α，β  Mn，且d (α , β) = 2，任取γ  Mn，求d (α – γ , β – γ)的值．
x
–2
–1
0
1
2
f (x)
2
1
0
–1
–2