北师大版七年级数学下册举一反三 专题4.7 角角边判定三角形全等-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题4.7 角角边判定三角形全等-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共29页。

【知识点1 基本事实“角角边”（AAS）】
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
【题型1 角角边判定三角形全等的条件】
【例1】(2023秋•覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
【变式1-1】(2023秋•句容市月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
【变式1-2】(2023秋•石狮市校级期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件 ，使△ABC≌△BED．
【变式1-3】(2023秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
【题型2 角角边判定三角形全等（求角的度数）】
【例2】(2023秋•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．
【变式2-1】(2023秋•黄陂区期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数是 ．
【变式2-2】(2023秋•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
【变式2-3】(2023秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠C的度数．
【题型3 角角边判定三角形全等（求线段的长度）】
【例3】(2023秋•合浦县期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3-1】(2023秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为（ ）
A．0.6B．0.8C．1D．1.6
【变式3-2】(2023秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【变式3-3】(2023秋•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
【题型4 角角边判定三角形全等（实际应用）】
【例4】(2023秋•柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【变式4-1】(2023春•深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
【变式4-2】(2023春•嘉定区期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
【变式4-3】(2023秋•南关区校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
（1）求A'到BD的距离；
（2）求A'到地面的距离．
【题型5 角角边判定三角形全等（证明题）】
【例5】(2023秋•西城区期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；
（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
【变式5-1】(2023秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
【变式5-2】(2023秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，BE、CD交于点F，AE＝AD，∠1＝∠2．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：BF＝CF．
【变式5-3】(2023春•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；
（2）CA平分∠BCF．
【题型6 角角边判定三角形全等（探究题）】
【例6】(2023秋•呼兰区期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．
（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；
（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．
【变式6-1】(2023春•雁塔区校级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．
【变式6-2】(2023秋•华容县期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF＝CF﹣BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
【变式6-3】(2023秋•金东区期中）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
专题4.7 角角边判定三角形全等-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 基本事实“角角边”（AAS）】
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
【题型1 角角边判定三角形全等的条件】
【例1】(2023秋•覃塘区期末）如图，点A，B，C，D在同一直线上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，请补充一个条件： ，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
分析：根据全等三角形的判定定理添加条件，答案不唯一．
【解答】解：∵AB＝DC，
∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．
在△ACE与△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．
故答案是：∠A＝∠D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【变式1-1】(2023秋•句容市月考）如图，已知∠ABC＝∠DCB，若添加条件 ，则可由AAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由SAS证明△ABC≌△DCB；若添加条件 ，则可由ASA证明△ABC≌△DCB．
分析：由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共边，当利用“AAS”进行判断时可加∠A＝∠D；当利用“SAS”进行判断时可加AB＝DC；当利用“ASA”进行判断时可加∠ACB＝∠DBC．
【解答】解：当∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，
当∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；
故答案为：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【变式1-2】(2023秋•石狮市校级期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AB＝BE，∠ABC＝∠E，请添加一个条件 ，使△ABC≌△BED．
分析：根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【解答】解：添加的条件是：BC＝ED，
在△ABC和△BED中，
AB=BE∠ABC=∠EBC=ED，
∴△ABC≌△BED（SAS）．
添加的条件是：∠A＝∠EBD，
在△ABC和△BED中，
∠A=∠EBDAB=BE∠ABC=∠E，
∴△ABC≌△BED（ASA）．
添加的条件是：∠ACB＝∠D，
在△ABC和△BED中，
∠ACB=∠D∠ABC=∠EAB=BE，
∴△ABC≌△BED（AAS）．
故答案为：BC＝DE或∠A＝∠EBD或∠ACB＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
【变式1-3】(2023秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8
C．AB＝5，BC＝6，AC＝13D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°
分析：根据全等三角形的判定方法判断即可．
【解答】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
B、已知两角和一边，能画出唯一△ABC，故本选项符合题意；
C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，
∴不能画出△ABC；
故本选项不符合题意；
D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【题型2 角角边判定三角形全等（求角的度数）】
【例2】(2023秋•南昌期中）如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是 ．
分析：证明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，
∴∠B＝∠E＝90°，
在△ABC和△AED中，∠B=∠C∠ACB=∠ADEAB=AE，
∴△ABC≌△AED（AAS），
∴∠BAC＝∠EAD，
∵∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；
故答案为：80°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理；证明三角形全等是解题的关键．
【变式2-1】(2023秋•黄陂区期中）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC，若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数是 ．
分析：根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等，根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】解：∵在△ABE和△DCE中
∠A=∠D∠AEB=∠DECAB=DC，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°，
故答案为：25°
【点评】本题考查了三角形外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，关键是根据AAS推出△ABE和△DCE全等．
【变式2-2】(2023秋•迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE＝BC，连接BE，若∠C＝∠E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度数．
分析：（1）根据三角形内角和定理得出∠A＝∠DBE，再根据AAS证出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；
（2）根据已知条件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根据∠DBC＝34°，求出∠FBE的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∵∠C＝∠E，
∴∠A＝∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
∠A=∠DBE∠C=∠EDE=BC，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AB＝BD；
（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠E＝28°，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBE＝62°，
∵∠DBC＝34°，
∴∠FBE＝28°，
∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的内角和定理，关键是根据AAS证出△ABC≌△BDE．
【变式2-3】(2023秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若AE∥BC，且∠E=13∠CAD，求∠C的度数．
分析：（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；
（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；
【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
∠BAC=∠DAE∠B=∠ADEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE（AAS）；
（2）∵AE∥BC，
∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，
则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，
又∵由（1）得 AD＝AB，∠E＝∠C，
∴∠ABD＝4x，
∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠E＝∠C＝20°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【题型3 角角边判定三角形全等（求线段的长度）】
【例3】(2023秋•合浦县期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上（点F，C之间不能直接测量），点A，D在BE的异侧，如果测得AB＝DE，AB∥DE，AC∥DF．若BE＝14m，BF＝5m，则FC的长度为（ ）
A．3B．4C．5D．6
分析：证△ABC≌△DEF（AAS），得出BC＝EF，则BF＝CE＝5m，由FC＝BE﹣BF﹣CE即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠E∠ACB=∠DFEAB=DE，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴BC﹣FC＝EF﹣FC，
即BF＝CE＝5m，
∴FC＝BE﹣BF﹣CE＝14﹣5﹣5＝4（m）；
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式3-1】(2023秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是CB延长线上的点，BD＝BA，DE⊥AC于E，交AB于点F，若DC＝2.6，BF＝1，则AF的长为（ ）
A．0.6B．0.8C．1D．1.6
分析：根据AAS证明△DBF与△ABC全等，利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵DE⊥AC于E，
∴∠FDB+∠C＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠D+∠DFB＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
在△DBF与△ABC中，
∠C=∠BFD∠ABC=∠DBF=90°AB=DB，
∴△DBF≌△ABC（AAS），
∴BF＝BC，
∵DC＝2.6，BF＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝BD﹣BF＝DC﹣BF﹣BF＝2.6﹣1﹣1＝0.6，
故选：A．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
【变式3-2】(2023秋•陇县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（ ）
A．7B．6C．5D．4
分析：由“AAS”可证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，即可求AD的长．
【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CDE中，
∠A=∠C∠AFB=∠CED=90°AB=CD，
∴△ABF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，
∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△CDE是本题的关键．
【变式3-3】(2023秋•喀喇沁旗期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB＝DE．若BD＝8cm，则AC的长为 ．
分析：由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形两锐角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根据同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根据AAS判断△ABC≌△EDB，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中点，得到BE=12BC=12BD＝4．
【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，
∴∠ABC+∠DEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
∠ACB=∠DBC∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD＝BC，AC＝BE，
∵E是BC的中点，BD＝8cm，
∴BE=12BC=12BD＝4cm．
故答案为：4cm
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目，找准全等的三角形是解决本题的关键．
【题型4 角角边判定三角形全等（实际应用）】
【例4】(2023秋•柳州期末）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
分析：根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
【变式4-1】(2023春•深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
分析：由全等三角形的判定定理AAS得到△ABM≌△DCM，则其对应边相等：BM＝CM，AM＝DM，故AC＝DM﹣BM＝2m．
【解答】解：∵在△ABM与△DCM中，∠AMB=∠DMC∠ABM=∠DCMAB=DC，
∴△ABM≌△DCM（AAS），
∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，
∴AC＝AM﹣CM＝2m．
即梯子下滑的高度是2m．
【点评】本题考查了全等三角形的应用．解题时，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
【变式4-2】(2023春•嘉定区期末）如图，两车从路段MN的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达A，B两地，两车行进的路线平行．那么A，B两地到路段MN的距离相等吗？为什么？
分析：要判断A，B两地到路段MN的距离是否相等，可以由条件证明△AEM≌△BFN，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．
【解答】解：A，B两地到路段MN的距离相等．
理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，
∴∠AFN＝∠AEM＝90°．
∵AM∥BN，
∴∠M＝∠N．
在△AEM和△BFN中，
∠AEM=∠BFN∠M=∠NAM=BN，
∴△AEM≌△BFN（AAS），
∴AE＝BF．
∴A，B两地到路段MN的距离相等．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，点到直线的距离的理解，在解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．
【变式4-3】(2023秋•南关区校级期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m．点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A′时，有A′B⊥AB．
（1）求A'到BD的距离；
（2）求A'到地面的距离．
分析：（1）作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
∠ACB=∠A'FB∠2=∠3AB=A'B，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'
∴BF＝AC＝1.5m，
作A'H⊥DE，垂足为H．
∵A'F∥DE，
∴A'H＝FD，
∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），
【点评】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【题型5 角角边判定三角形全等（证明题）】
【例5】(2023秋•西城区期末）如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，∠A＝∠E，AC＝ED．
（1）求证：BC＝CD；
（2）连接BD，求证：∠ABD＝∠EBD．
分析：（1）由“AAS”可证△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；
（2）由等腰三角形的性质可得∠CBD＝∠CDB，由平行线的性质和平角的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCE，
在△ABC和△ECD中，
∠A=∠E∠ABC=∠DCEAC=DE，
∴△ABC≌△ECD（AAS），
∴BC＝CD；
（2）如图，连接BD，
∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
又∵∠CBD+∠EBD＝180°，
∴∠ABD＝∠EBD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
【变式5-1】(2023秋•苏州期末）如图，AD，BF相交于点O，AB∥DF，AB＝DF，点E与点C在BF上，且BE＝CF．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）求证：点O为BF的中点．
分析：（1）由“SAS”可证△ABC≌△DFE；
（2）由“AAS”可证△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥DF，
∴∠B＝∠F，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DFE中，
AB=DF∠B=∠FBC=EF，
∴△ABC≌△DFE（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DFE，
∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，
在△ACO和△DEO中，
∠ACB=∠DEF∠AOC=∠DOEAC=DE，
∴△ACO≌△DEO（AAS），
∴EO＝CO，
∴点O为BF的中点．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
【变式5-2】(2023秋•宽城区期中）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，BE、CD交于点F，AE＝AD，∠1＝∠2．
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：BF＝CF．
分析：（1）根据AAS即可证明△ABE≌△ACD，根据该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）欲证明BF＝CF，只需推知∠FBC＝∠FCB即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，
∵∠1=∠2∠A=∠AAE=AD，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
∴AB＝AC．
（2）方法一：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC﹣∠1＝∠ACB﹣∠2，即∠FBC＝∠FCB．
∴BF＝CF．
方法二：可用全等证明
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【变式5-3】(2023春•沙坪坝区校级期中）如图，BD是△ABC中AC边上的中线，过点C作CE∥AB，交BD的延长线于点E，F为△ABC外一点，连接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求证：
（1）△ABD≌△CED；
（2）CA平分∠BCF．
分析：（1）由平行线的性质得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根据AAS可证明△ABD≌△CED；
（2）证明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出∠BCD＝∠FCD．
【解答】证明：（1）∵CE∥AB，
∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，
∵BD是△ABC中AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
∠ABD=∠CED∠BAD=∠DCEAD=CD，
∴△ABD≌△CED（AAS）；
（2）∵△ABD≌△CED，
∴BD＝DE，
又∵DE＝DF，
∴BD＝DF，
∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADF，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，
∴∠BDC＝∠FDC，
在△BDC和△FDC中，
BD=DF∠BDC=∠FDCDC=DC，
∴△BDC≌△FDC（SAS），
∴∠BCD＝∠FCD，
∴CA平分∠BCF．
【点评】本题考查了平行线的性质，角分线的判定，中线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【题型6 角角边判定三角形全等（探究题）】
【例6】(2023秋•呼兰区期中）如图，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F．
（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数；
（2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系．
分析：（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数；
（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA＝∠AED＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∵AB＝AD，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴∠ABF＝∠DAE，
∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；
（2）解：BF+EF＝DE．
∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，DE＝AF，
∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．
【点评】本题考查了平行线的性质，直角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
【变式6-1】(2023春•雁塔区校级月考）如图，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线上，且有BD＝CE，连DE交BC于F，过E作EG⊥BC于G，试判断FG、BF、CG之间的数量关系，并说明理由．
分析：在BC上截取GH＝GC，可得△EHC是等腰三角形，进而得出AB∥EH，再证△BDF≌△HEF（AAS），通过线段之间的转化即可得出结论．
【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：
在BC上截取GH＝GC，连接EH，如图所示：
∵EG⊥BC，GH＝GC，
∴HE＝EC，
∴∠EHC＝∠C，
又AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠EHC＝∠ABC，
∴EH∥AB，
∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，
∵BD＝CE，
∴HE＝BD，
在△BDF和△HEF中，
∠DBF=∠EHF∠D=∠DEHBD=HE，
∴△BDF≌△HEF（AAS），
∴BF＝FH，
∴FG＝FH+HG＝BF+GC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【变式6-2】(2023秋•华容县期末）如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．
（1）求证：EF＝CF﹣BE．
（2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论．
分析：（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论；
（2）如图2，同样由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根据∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出结论EF＝BE+CF．
【解答】解：（1）证明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠AFC∠BAE=∠ACFAB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE﹣AF，
∴EF＝CF﹣BE；
（2）EF＝BE+CF
理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°．
∴∠FAC+∠ACF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠FAC＝90°，
∴∠BAE＝∠ACF．
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠AFC∠BAE=∠ACFAB=AC，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝AF．
∵EF＝AE+AF，
∴EF＝BE+CF．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．
【变式6-3】(2023秋•金东区期中）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．
（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．
求证：①△BDF≌△ADC；
②FG+DC＝AD；
（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．
分析：（1）①要证明△BDF≌△ADC，如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可证BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；
在△ADC中，可证得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等），∴∠ACD＝∠BFD；运用AAS，问题可证．
②由△BDF≌△ADC可证得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可证得AF＝GF；于是问题可证．
（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通过证明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．
【解答】解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；
∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°
又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；
∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）
②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；
∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，
∴∠AGF＝∠BAD，
∴FA＝FG；
∴FG+DC＝FA+DF＝AD．
（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，
∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；
∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，
∴∠DFB＝∠DCA；
又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，
∴△BDF≌△ADC（AAS）；
∴DF＝DC，
∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．
【点评】本题综合考查了三角形全等的判定和性质；利用三角形全等证明线段相等是经常使用的重要方法，注意掌握．