北师大版七年级数学下册举一反三 专题4.5 边角边判定三角形全等-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析）

这是一份北师大版七年级数学下册举一反三 专题4.5 边角边判定三角形全等-重难点题型（举一反三）（原卷版+解析），共27页。

【题型1 边角边判定三角形全等的条件】
【例1】(2023春•锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝ECB．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝ECD．BC＝EC，AC＝DC
【变式1-1】(2023秋•喀什地区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝DB
【变式1-2】(2023秋•通州区期中）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
【变式1-3】(2023•奎文区一模）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且AD＝AE，若由SAS判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是 ．
【题型2 边角边判定三角形全等（求角的度数）】
【例2】(2023秋•宽城区期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50°B．65°C．70°D．80°
【变式2-1】(2023秋•乐亭县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【变式2-2】(2023秋•长垣市月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝104°，则∠EDF的度数为（ ）
A．24°B．32°C．38°D．52°
【变式2-3】(2023春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
【题型3 边角边判定三角形全等（求线段的长度）】
【例3】(2023秋•越秀区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为（ ）
A．3B．9C．11D．15
【变式3-1】(2023春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（ ）
A．6B．5C．3D．4.5
【变式3-2】(2023秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
【变式3-3】(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16
【题型4 边角边判定三角形全等（实际应用）】
【例4】(2023秋•浑源县期中）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为 8m ．
【变式4-1】(2023秋•西湖区校级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x＝ （用含a，b的代数式表示）．
【变式4-2】(2023秋•温岭市期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．
【变式4-3】(2023春•郏县期末）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．
【题型5 边角边判定三角形全等（证明题）】
【例5】(2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．求证：
（1）∠ABD＝∠C；
（2）DF⊥EF．
【变式5-1】(2023秋•陆川县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且AB＞AC，E为AD上任意一点，
求证：AB﹣AC＞EB﹣EC．
【变式5-2】(2023秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．
【变式5-3】(2023秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
【题型6 边角边判定三角形全等（探究题）】
【例6】(2023秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
【变式6-1】(2023秋•唐山期中）如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
【变式6-2】(2023春•佛山月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
【变式6-3】(2023秋•集贤县期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
专题4.5 边角边判定三角形全等-重难点题型
【北师大版】
【知识点1 基本事实“边角边”（SAS）】
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.
【题型1 边角边判定三角形全等的条件】
【例1】(2023春•锦江区校级期中）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一组条件是（ ）
A．∠B＝∠E，BC＝ECB．∠B＝∠E，AC＝DC
C．∠A＝∠D，BC＝ECD．BC＝EC，AC＝DC
分析：由AB＝DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一组对应边相等及其对应夹角相等．
【解答】解：A、若AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合题意．
B、若AB＝DE，AC＝DC，∠B＝∠E，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
C、若AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，由SSA不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
D、若AB＝DE，BC＝EC，AC＝DC，由SSS不能判定△ABC≌△DEC，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，两直角三角形全等，还有HL．
【变式1-1】(2023秋•喀什地区期末）如图，已知∠ABC＝∠DCB，能直接用SAS证明△ABC≌△DCB的条件是（ ）
A．AB＝DCB．∠A＝∠DC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝DB
分析：根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式1-2】(2023秋•通州区期中）根据下列条件能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，CA＝3B．AB＝7，BC＝5，∠A＝30°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°D．AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°
分析：根据各个选项中的条件，可以判断是否可以画出唯一△ABC，从而可以解答本题．
【解答】解：当AB＝1，BC＝2，CA＝3时，1+2＝3，则线段AB、BC、CA不能构成三角形，故选项A不符合题意；
当AB＝7，BC＝5，∠A＝30°时，可以得到点B到AC的距离为3.5，可以画出两个三角形，如图1所示，故选项B不符合题意；
当∠A＝50°，∠B＝60°，∠C＝70°时，可以画出很多的三角形ABC，如图2所示，故选项C不符合题意；
当AC＝3.5，BC＝4.8，∠C＝70°时，可以画出唯一的三角形ABC，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式1-3】(2023•奎文区一模）如图，点D、E分别在线段AB、AC上，且AD＝AE，若由SAS判定△ABE≌△ACD，则需要添加的一个条件是 ．
分析：由题意可得∠A＝∠A，AD＝AE，则添加AB＝AC，由SAS判定△ABE≌△ACD．
【解答】解：添加AB＝AC，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
【题型2 边角边判定三角形全等（求角的度数）】
【例2】(2023秋•宽城区期末）如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC＝70°，∠C＝30°，则∠BMD的大小为（ ）
A．50°B．65°C．70°D．80°
分析：根据SAS证明△ADC与△AEB全等，利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：在△ADC与△AEB中，
AD=AE∠A=∠AAC=AB，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC，
∵∠BAC＝70°，∠C＝30°，
∴∠AEB＝∠ADC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°，
∴∠BMC＝∠DME＝360°﹣∠AEB﹣∠ADC﹣∠BAC＝360°﹣80°﹣80°﹣70°＝130°，
∴∠BMD＝180°﹣130°＝50°，
故选：A．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
【变式2-1】(2023秋•乐亭县期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，AB＝CB，AF＝CD，AE＝CF，则∠EFD＝（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
分析：由等腰三角形的性质得出∠A＝∠C＝70°，证明△AEF≌△CFD（SAS），由全等三角形的性质得出∠AFE＝∠CDF，则可得出答案．
【解答】解：∵∠B＝40°，AB＝CB，
∴∠A＝∠C=12（180°﹣40°）＝70°，
在△AEF和△CFD中，
AE=CF∠A=∠CAF=CD，
∴△AEF≌△CFD（SAS），
∴∠AFE＝∠CDF，
∵∠AFE+∠EFD+∠CFD＝180°，∠C+∠CDF+∠CFD＝180°，
∴∠EFD＝∠C＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
【变式2-2】(2023秋•长垣市月考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，E、D、F分别是AB、BC、AC上的点，且BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝104°，则∠EDF的度数为（ ）
A．24°B．32°C．38°D．52°
分析：由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠B＝∠C＝38°，由“SAS”可证△BDE≌△CFD，可得∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，由外角的性质可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝104°，
∴∠B＝∠C＝38°，
在△BDE和△CFD中，
BE=CD∠B=∠CBD=CF，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BED＝∠CDF，∠BDE＝∠CFD，
∴∠BED+∠BDE＝∠CDF+∠CFD，
∵∠BED+∠B＝∠CDE＝∠EDF+∠CDF，
∴∠B＝∠EDF＝38°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，三角形外角的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
【变式2-3】(2023春•沙坪坝区校级月考）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
（1）求证：AE＝AF；
（2）求∠EAF的度数．
分析：（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E＝∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，
∴∠ACD＝∠EBA，
在△AEB和△FAC中，
AB=FC∠EBA=∠ACFBE=CA，
∴△AEB≌△FAC（SAS），
∴AE＝FA；
（2）解：∵△AEB≌△FAC，
∴∠E＝∠CAF，
∵∠E+∠EAG＝90°，
∴∠CAF+∠EAG＝90°，
即∠EAF＝90°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AEB≌△FAC是解题的关键．
【题型3 边角边判定三角形全等（求线段的长度）】
【例3】(2023秋•越秀区校级月考）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝5，CD＝6，则AC的长为（ ）
A．3B．9C．11D．15
分析：在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明ED＝EC，进而代入数值解答即可．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
AE=AB∠BAD=∠DACAD=AD，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，BD＝DE，
∵∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB，
而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠ADB，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AB+CD＝AE+CE＝AC＝5+6＝11．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线﹣截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．
【变式3-1】(2023春•南岗区校级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E＝180°，若BD＝6，则CE的长为（ ）
A．6B．5C．3D．4.5
分析：延长BE使AF＝AD，连接CF，由“SAS”可证△ABD≌△ACF，可得∠F＝∠D，BD＝CF＝6，由平角的性质可得∠F＝∠FEC＝∠D，即可求解．
【解答】解：如图，延长BE使AF＝AD，连接CF，
在△ABD和△ACF中，
AD=AF∠DAB=∠FACAB=AC，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠F＝∠D，BD＝CF＝6，
∵∠D+∠BEC＝180°，∠BEC+∠FEC＝180°，
∴∠D＝∠FEC，
∴∠F＝∠FEC，
∴CF＝CE＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
【变式3-2】(2023秋•洪山区期末）如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（ ）
A．8B．7C．6D．5
分析：利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED＝CD，从而BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，即可求得△BDE的周长．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中，
AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴ED＝CD，
∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，
∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE≌△ADC．
【变式3-3】(2023秋•广州校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．3＜AD＜13B．1.5＜AD＜6.5C．2.5＜AD＜7.5D．10＜AD＜16
分析：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．
【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
CD=BD∠ADC=∠BDEAD=DE，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB＝AC，
根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，
∴1.5＜AD＜6.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理，倍长中线等知识点的理解和掌握，能推出8﹣5＜2AD＜8+5是解此题的关键．
【题型4 边角边判定三角形全等（实际应用）】
【例4】(2023秋•浑源县期中）如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝AC，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为 8m ．
分析：根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：在△CDE和△CAB中，
CD=CA∠DCE=∠ACBCE=CB，
∴△CDE≌△CAB（SAS），
∴DE＝AB＝8m，
故答案为：8m．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式4-1】(2023秋•西湖区校级期中）如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的DC长为b，瓶直壁厚度x＝ （用含a，b的代数式表示）．
分析：直接利用全等三角形的判定与性质得出△DOC≌△BOA，进而得出答案．
【解答】解：∵AC＝BD，O为AC、BD的中点，
∴DO＝OB．OA＝CO，
在△DOC和△BOA中
DO=OB∠DOC=∠BOACO=AO，
∴△DOC≌△BOA（SAS），
∴AB＝DC＝b，
∴x+x+b＝a，
解得：x=a−b2．
故答案为：a−b2．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
【变式4-2】(2023秋•温岭市期中）某中学计划为新生配备如图1所示的折叠凳，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿AB和CD的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出CB的长度；如果不能，请说明理由．
分析：根据中点定义求出OA＝OB，OC＝OD，然后利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【解答】解：∵O是AB、CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，
OA=OB∠AOD=∠BOCOC=OD，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴CB＝AD，
∵AD＝35cm，
∴CB＝35（cm），
答：CB的长度为35cm．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，证明得到三角形全等是解题的关键．
【变式4-3】(2023春•郏县期末）如图所示，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，请你利用三角形全等的相关知识带他设计一种方案测量出A、B间的距离，写出具体的方案，并解释其中的道理．
分析：由题意知AC＝DC，BC＝EC，根据∠ACB＝∠DCE即可证明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解题．
【解答】解：如图，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD＝AC；连接BC并延长到E，使CE＝CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A、B间的距离．
证明：由题意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
AC=DC∠ACB=∠DCEBC=EC，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB．
∴量出DE的长，就是A、B两点间的距离．
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABC≌△DEC是解题的关键．
【题型5 边角边判定三角形全等（证明题）】
【例5】(2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，过B点作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，过点D作DF∥BC，使得DF＝BD，连接EF．求证：
（1）∠ABD＝∠C；
（2）DF⊥EF．
分析：（1）由直角三角形的性质可得出答案；
（2）证明△ABD≌△EDF（SAS），由全等三角形的性质得出∠ADB＝∠DFE＝90°，则可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵∠ABD+∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠C；
（2）∵DF∥BC，
∴∠FDE＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＝∠FDE，
在△ABD和△EDF中，
AB=DE∠ABD=∠FDEBD=DF，
∴△ABD≌△EDF（SAS），
∴∠ADB＝∠DFE＝90°，
∴DF⊥EF．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【变式5-1】(2023秋•陆川县期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且AB＞AC，E为AD上任意一点，
求证：AB﹣AC＞EB﹣EC．
分析：在AB上截取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，可得EF＝EC，根据三角形三边的关系即可证明结论．
【解答】证明：如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAE＝∠CAE，
在△AEF与△AEC中，
∵AF=AC∠FAE=∠CAEAE=AE，
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴EF＝EC，
在△BEF中，EB﹣EF＜BF，
而BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC，
∴EB﹣EC＜AB﹣AC，
即AB﹣AC＞EB﹣EC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
【变式5-2】(2023秋•合江县月考）已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，求证：BC＝BD﹣BE．
分析：（1）先证∠DAB＝∠EAC，再证△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，则可得出结论；
（2）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，进而得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BE+CE＝BD+BE；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【变式5-3】(2023秋•温岭市期中）（1）如图1，已知在△ABC中，AD为中线，求证AB+AC＞2AD．
（2）如图2，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF分别交AB，AC于点E，F．
求证：BE+CF＞EF．
分析：（1）根据SAS证明△ABD≌△CED，得出AB＝EC，由三角形三边关系得出答案；
（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，如图1．
则AE＝2AD，
在△ABD与△ECD中，
AD=ED∠ADC=∠EDBDB=DC，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝EC，
在△ACE中，有AC+CE＞AE，即AC+AB＞2AD；
（2）延长ED至点G，使DG＝DE，连接CG，FG，如图2．
∵FD垂直平分EG，
∴EF＝FG，
在△EDB与△GDC中，
BD=CD∠BDE=∠CDGED=GD，
∴△EDB≌△GDC（SAS），
∴BE＝CG，
在△FCG中，CF+CG＞FG，
即CF+BE＞EF．
【点评】此题考查全等三角形的判定与性质．关键是根据全等三角形的判定和性质以及三角形三边关系解答．
【题型6 边角边判定三角形全等（探究题）】
【例6】(2023秋•怀宁县期末）如图，已知：AD＝AB，AE＝AC，AD⊥AB，AE⊥AC．猜想线段CD与BE之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想．
分析：证明△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质得到CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，根据三角形内角和定理得出∠BFD＝∠BAD＝90°，证明结论．
【解答】解：猜想：CD＝BE，CD⊥BE，
理由如下：∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB＝∠EAC＝90°．
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，
在△ACD和△AEB中，
AD=AB∠CAD=∠EABAC=AE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
∵∠AGD＝∠FGB，
∴∠BFD＝∠BAD＝90°，即CD⊥BE．
【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【变式6-1】(2023秋•唐山期中）如图，在△ABC中，AD，CE分别是BC、AB边上的高，AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG＝BC，连接BG，若CF＝AB．
（1）求证：△ABG≌△CFB；
（2）在完成（1）的证明后，爱思考的琪琪想：BF与BG之间有怎样的数量关系呢？它们之间又有怎样的位置关系？请你帮琪琪解答这一问题，并说明理由．
分析：（1）根据SAS证明△ABG≌△CFB，再利用全等三角形的性质证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠G＝∠FBD，再证明即可．
【解答】（1）证明：∵AD，CE是高，
∴∠BAD+∠AFE＝∠BCF+∠CFD＝90°，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠BAD＝∠BCF，
在△ABG与△CFB中，
AG=BC∠BAD=∠BCFCF=AB，
∴△ABG≌△CFB（SAS）；
（2）解：BF＝BG，BF⊥BG，理由如下：
∵△ABG≌△CFB，
∴BF＝BG，∠G＝∠FBD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDG＝90°
∴∠G+∠DBG＝90°，
∴∠FBD+∠DBG＝90°，
∴∠FBG的度数为90°，
∴BF⊥BG．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABG≌△CFB．
【变式6-2】(2023春•佛山月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°时，那么∠DCE＝ 度；
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．
分析：（1）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，即可解题；
（2）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠B+∠ACB＝180°﹣α即可解题；
（3）易证∠BAD＝∠CAE，即可证明△BAD≌△CAE，可得∠ACE＝∠B，根据∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°即可解题．
【解答】解：（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠CAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°；
故答案为 90．
（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵∠B+∠ACB＝180°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°﹣α＝β，
∴α+β＝180°；
（3）作出图形，
∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE+∠AED+α＝180°，∠CDE+∠CED+β＝180°，
∠CED＝∠AEC+∠AED，
∴α＝β．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BAD≌△CAE是解题的关键．
【变式6-3】(2023秋•集贤县期中）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由．
分析：（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB＝∠AEC＝90°，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，根据∠EBD+∠BDE＝90°推出∠ADF+∠CAE＝90°，求出∠AFD＝90°即可；
（2）求出∠BED＝∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，根据∠ACE+∠EOC＝90°求出∠BDE+∠DOF＝90°，求出∠DFO＝90°即可．
【解答】解：（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECED=CE，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）结论不发生变化，
理由是：设AC与DE相交于点O，
∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
BE=AE∠BED=∠AECED=CE，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．