统考版2024高考数学二轮专题复习第五篇考前教材回归文

这是一份统考版2024高考数学二轮专题复习第五篇考前教材回归文，共4页。试卷主要包含了集合，含有一个量词的命题的否定，))等内容，欢迎下载使用。
良好的心态是稳定发挥乃至超常发挥的前提．考前这几天，最明智的做法就是回归基础，巩固基础知识和基本能力；最有效的心态调节方法就是每天练一组基础小题——做到保温训练手不凉，每天温故一组基础知识——做到胸中有粮心不慌．
(一) 集合与常用逻辑用语
必 记 知 识
1.集合
(1)集合的运算性质
①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁UA⊇∁UB.
(2)子集、真子集个数计算公式
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
(3)集合运算中的常用方法
若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
2．四种命题之间的相互关系
3．四种命题的真假关系
提醒 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．
(3)如果一些命题的真假不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．
4．否命题与命题的否定的区别
5.含有一个量词的命题的否定
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：
提醒 由于全称命题经常省略量词，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再改写量词和否定结论．
6．全称命题与特称命题真假的判断方法
1.集合运算的重要结论
(1)A∩B⊆A，A∩B⊆B；A⊆A∪B；B⊆A∪B，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)若A⊆B，则A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，则A⊆B.若A⊆B，则A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，则A⊆B.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
(4)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
2．一些常见词语的否定
3.充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
易 错 剖 析
易错点1 忽视集合中元素的互异性
【突破点】 求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值后，再根据其互异性检验．
易错点2 未弄清集合的代表元素
【突破点】 集合的特性由元素体现，在解决集合的关系及运算时，要弄清集合的代表元素是什么．
易错点3 遗忘空集
【突破点】 空集是一个特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思维定式的原因，在解题中常遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
易错点4 忽视不等式解集的端点值
【突破点】 进行集合运算时，可以借助数轴，要注意集合中的“端点元素”在运算时的“取”与“舍”．
易错点5 对含有量词的命题的否定不当
【突破点】 由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而在进行命题否定时易只否定全称命题的判断词，而不否定被省略的全称量词．
易错点6 不清楚“否命题”与“命题的否定”的区别
【突破点】 “否命题”是既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只是否定命题的结论．

易 错 快 攻
易错快攻一 遗忘空集
[典例1] 集合A＝{x|x1 000，则¬p为( )
A．∀n∈N，2n0，,Δ0的不等式时，首先要考虑对x2的系数进行分类讨论．当a＝0时是一次不等式，解的时候还要对b，c进一步分类讨论；当a≠0且Δ>0时，不等式可化为a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．
易错点5 不等式恒成立问题处理不当
【突破点】 应注意恒成立与存在性问题的区别，如对任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，可化为f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．
易错点6 寻找最优整数解的方法不当
【突破点】 线性规划问题的最优解一般在可行域的端点或边界处取得，而最优整数解的横纵坐标均为整数，所以最优整数解不一定在边界或端点处取得，一般先把端点或边界处的整点找出，然后代入验证．
易 错 快 攻
易错快攻 忽视基本不等式的应用条件
[典例] 函数y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)过定点A，若点A在直线mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，则 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)的最小值为( )
A．3 B．2 eq \r(2)
C． eq \f(3＋2\r(2),2) D． eq \f(3－2\r(2),2)
[尝试解题]
纠错技巧
应用基本不等式求最值时必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出 eq \f(m,2)＋n＝1后，若采用两次基本不等式，有如下错解：
eq \f(m,2)＋n＝1≥2 eq \r(\f(mn,2))，所以 eq \r(mn)≤ eq \f(\r(2),2)， eq \f(1,\r(mn))≥ eq \r(2)，①又 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)≥2 eq \r(\f(1,mn))，②
所以 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)≥2 eq \r(2).选B.
此错解中，①式取等号的条件是 eq \f(m,2)＝n，②式取等号的条件是 eq \f(1,m)＝ eq \f(1,n)即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2 eq \r(2)不是 eq \f(1,m)＋ eq \f(1,n)的最小值．
【方法点津】
基本不等式加以引申，可得到如下结论：当a≥b>0时，a≥ eq \r(\f(a2＋b2,2))≥ eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab)≥ eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≥b，当且仅当a＝b时等号成立．其中称 eq \r(\f(a2＋b2,2))为平方平均数、称 eq \f(a＋b,2)为算术平均数、称 eq \r(ab)为几何平均数、称 eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))为调和平均数，它们分别包含了两个正数的平方之和a2＋b2、两个正数之和a＋b、两个正数之积ab、两个正数的倒数之和 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)，只要已知这四个代数式的其中一个为定值，就可以求解另外三式的最值，应用十分广泛，应加以重视．
(三) 函数、导数
必 记 知 识
1.函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．
(2)常见函数的值域
①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R.
②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a0⇔ eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；
(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]0，且a≠1)恒过(1，0)点．
(2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增；
当00且4(b2－3ac)≤0.
易 错 剖 析
易错点1 函数的单调区间理解不准确
【突破点】 对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
易错点2 判断函数的奇偶性时忽略定义域
【突破点】 一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数．
易错点3 用判别式求函数值域，忽视判别式存在的前提
【突破点】 (1)确保二次项前的系数不等于零．
(2)确认函数的定义域没有其他限制．
(3)注意检验答案区间端点是否符合要求．
易错点4 函数零点定理使用不当
【突破点】 只有函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续曲线，且有f(a)f(b)0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．
易错点5 不清楚导数与极值的关系
【突破点】 (1)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号．
(2)已知极值点求参数要进行检验．
易错点6 混淆“切点”致误
【突破点】 注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同．“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点．
易错点7 导数与单调性的关系理解不准确
【突破点】 (1)f′(x)>0(0），))若关于x的方程f2(x)－(a＋2)f(x)＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为( )
A．(－2 eq \r(3)－2，2 eq \r(3)－2)
B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2\r(3)－2，\f(3,2)))
C． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
D．(2 eq \r(3)－2，＋∞)
纠错技巧
(1)F(g(x))＝0的根的个数问题的解题关键是正确转化所给条件，其转化思路为：先进行整体换元，将F(g(x))＝0转化为方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的个数问题，然后转化为t＝g(x)的根的个数问题，再转化为y＝t与y＝g(x)的图象的交点个数问题．
(2)“以形助数”是研究函数问题时常采用的策略，本题在作函数f(x)的图象时，要注意指数函数3x>0.
(3)由关于t的一元二次方程的实根分布情况得到关于a的不等式组是求解本题的一个关键点，注意一元二次方程的实根分布问题一般需要从一元二次方程根的判别式，对应二次函数在区间端点所取值的正负，对应二次函数图象的对称轴与区间端点的位置关系三方面考虑．
易错快攻二 混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”
[典例2] [2022·山东临沂高三期末]已知函数f(x)＝ex－ax－cs x，g(x)＝f(x)－x，a∈R.
(1)若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的最大值；
(2)当a取(1)中所求的最大值时，讨论g(x)在R上的零点个数，并证明g(x)>－ eq \r(2).
纠错技巧
(1)已知函数的单调性求参数的取值范围问题的常用解法有两种：一种是子区间法，即利用集合思想求解；另一种是恒成立法，即若函数f(x)在区间D上单调递减，则f′(x)≤0在区间D上恒成立(且不恒等于0).若函数f(x)在区间D上单调递增，则f′(x)≥0在区间D上恒成立(且不恒等于0).
(2)求函数f(x)的单调递减区间的方法是解不等式f′(x)0)的图象的两种方法
提醒 图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等．
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin (α±β)＝sin αcs β±cs αsin β.
cs (α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β.
tan (α±β)＝ eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
sin (α＋β)sin (α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式).
cs(α＋β)cs (α－β)＝cs2α－sin2β.
5．二倍角、辅助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin2α＝2sin αcs α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α).
①1＋sin2α＝(sin α＋cs α)2.
②1－sin 2α＝(sin α－cs α)2.
(2)辅助角公式
y＝a sin x＋b cs x＝ eq \r(a2＋b2)(sin x cs φ＋cs x sin φ)＝ eq \r(a2＋b2)sin (x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝ eq \f(b,a)(a≠0)确定．
6．正、余弦定理及其变形(在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径)
提醒 在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
7．平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
提醒 (1)要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．
(2)a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；a·b1且a≠1）必成等差数列．
（3）如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数列；数列{an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件．
（4）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数．
（5）如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列．
必 会 结 论
1.判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：an＋1－an>0⇔数列{an}是递增数列；an＋1－an0时，则 eq \f(an＋1,an)>1⇔数列{an}是递增数列；0< eq \f(an＋1,an)0).
7．双曲线的标准方程及几何性质
提醒 (1)离心率e的取值范围为(1，＋∞).当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于＋∞时，双曲线开口越大．
(2)满足||PF1|－|PF2||＝2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a＝0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当00)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则|PT|＝ eq \r(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋Dx0＋Ey0＋F)；
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长d＝ eq \r(（x0－a）2＋（y0－b）2－r2).
2．椭圆中焦点三角形的相关结论
由椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理．
以椭圆 eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半径公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e为椭圆的离心率)
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)S△PF1F2＝ eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取得最大值，为bc.
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c).
3．双曲线的方程与渐近线方程的关系
(1)若双曲线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则渐近线的方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝0，即y＝± eq \f(b,a)x.
(2)若渐近线的方程为y＝± eq \f(b,a)x(a>0，b>0)，即 eq \f(x,a)± eq \f(y,b)＝0，则双曲线的方程可设为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ.(λ≠0)
(3)若所求双曲线与双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共渐近线，其方程可设为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝λ(λ>0，焦点在x轴上；λ0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标恒为a.
5．抛物线焦点弦的相关结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α为直线AB的倾斜角，则
(1)焦半径|AF|＝x1＋ eq \f(p,2)＝ eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝x2＋ eq \f(p,2)＝ eq \f(p,1＋cs α).
(2)x1x2＝ eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ eq \f(2p,sin2α).
(4) eq \f(1,|FA|)＋ eq \f(1,|FB|)＝ eq \f(2,p).
(5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(6)S△OAB＝ eq \f(p2,2sinα)(O为抛物线的顶点).
易 错 剖 析
易错点1 遗漏方程表示圆的充要条件
【突破点】 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其他条件求解．
易错点2 解决截距问题忽略“0”的情形
【突破点】 解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时，需注意两点：
(1)截距不是距离，直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
(2)明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线．因此解题时应该从截距是否为0进行分类讨论．
易错点3 不清楚直线的倾斜角与斜率关系
【突破点】 在解决由直线的斜率求其倾斜角的范围问题时，先求出直线的斜率k的取值范围，再利用三角函数y＝tan x的单调性，借助函数的图象，确定倾斜角的范围．
易错点4 忽视斜率不存在的情况
【突破点】 (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2⇔k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情况，就会导致漏解．
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l1⊥l2⇔k1·k2＝－1求解，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．
易错点5 忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式
【突破点】 凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，一定不能忘记对判别式的讨论．
易错点6 忽视双曲线定义中的条件
【突破点】 双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2ab>0)的左、右焦点F1，F2恰好是双曲线x2－ eq \f(x2,8)＝1的左右顶点，椭圆C上的动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2|F1F2|，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)椭圆C上是否存在点M使得四边形OAMB(O为原点)为平行四边形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
纠错技巧
对直线斜率存在与否进行讨论，当斜率不存在时，结合条件容易得出结论；当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，得出两根之和，将条件OAMB为平行四边形进行转化，代入化简即可得出结论．
易错快攻二 忽视双曲线定义中的限制条件
[典例2] 点P到曲线E上所有点的距离的最小值称为点P到曲线E的距离，那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点P的轨迹是( )
A．射线 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．双曲线
[尝试解题]
纠错技巧
认为到两定点距离之差等于常数的点的轨迹一律是双曲线往往是错误的，一定要注意双曲线的定义中的限制条件，尤其是定义中“差的绝对值”这一条件．
【技巧点拨】
双曲线的定义的数学表达式为||PF1|－|PF2||＝2a(2a|F1F2|时，动点轨迹不存在．
(八) 概率与统计
必 记 知 识
1.概率的计算公式
(1)古典概型的概率公式
P(A)＝ eq \f(事件A包含的基本事件数m,基本事件总数n)；
(2)互斥事件的概率计算公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)对立事件的概率计算公式
P( eq \x\t(A))＝1－P(A)；
(4)几何概型的概率计算公式
P(A)＝ eq \f(构成事件A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）).
2．统计中四个数据特征
(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据；
(2)中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数；
(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 eq \(x,\s\up6(－))＝ eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)；
(4)方差与标准差
方差：s2＝ eq \f(1,n)[(x1－ eq \(x,\s\up6(－)))2＋(x2－ eq \(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－ eq \(x,\s\up6(－)))2].
标准差：s＝ eq \r(\f(1,n)[（x1－\(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\(x,\s\up6(－))）2]).
易 错 剖 析
易错点1 对统计图表中的概念理解不清，识图不准确
【突破点】 求解统计图表问题，重要的是认真观察图表，发现有用信息和数据．对于频率分布直方图，应注意图中的每一个小矩形的面积是落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1，当小矩形等高时，说明频率相等，计算时不要漏掉其中一个．
易错点2 对等可能事件认识不清致误
【突破点】 解与等可能事件相关的题目时，由于对等可能性事件的基本事件构成理解不清，往往计算基本事件或多或少或所划分事件根本不等可能性，从而导致失误．
易错点3 对抽样概念把握不准
【突破点】 解决随机抽样问题时，造成失分原因是分层中不明确有几层，计算比例时找不准比例关系．在学习时应熟练掌握各种抽样方法的步骤，注意系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列，公差即每段的个体数．
易错点4 不能正确区分古典概型与几何概型
【突破点】 几何概型与古典概型有相同之处又有不同之处，解题时容易犯一些似是而非的错误．在解决实际问题中，关键在于正确区分两种概型．如基本事件是无限的属于几何概型，基本事件是有限的属于古典概型．
易 错 快 攻
易错快攻一 对几何概型问题的测度理解出错
[典例1]
以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家勒洛首先发现．如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF(阴影部分)，若在△ABC中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为( )
A． eq \f(π－\r(3),2) B． eq \f(2\r(3)π－3,9)
C． eq \f(\r(3)π－3,6) D． eq \f(\r(3)π－2,6)
[尝试解题]
纠错技巧
(1)求解有关几何概型问题的关键在于弄清题中的考查对象和对象的活动范围．当考查对象为点且点在线段上(平面区域内、空间区域内)活动时，用线段长度比(面积比、体积比)计算．
(2)求解此类题的注意点：一是判断试验中所有可能出现的结果(基本事件)是否有无限多个；二是验证每个基本事件的发生是否具有等可能性，只有每个基本事件发生的可能性都相等时，才可以用几何概型的概率计算公式破解．
易错快攻二 用频率分布直方图解题时误把纵轴当作频率
[典例2] 沃尔玛超市为了了解某分店的销售情况，在该分店的电脑小票中随机抽取200张进行统计，将小票上的消费金额(单位：元)分成6组，分别是[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500)，[500，600]，制成如图所示的频率分布直方图(假设抽到的消费金额均在[0，600]内).
(1)求消费金额在[300，600]内的小票张数；
(2)为做好2022“双十二”促销活动，该分店设计了两种不同的促销方案．
方案一：全场商品打八五折．
方案二：全场购物满100元减20元，满300元减80元，满500元减120元，以上减免只取最高优惠，不重复减免．
利用频率分布直方图中的信息，分析哪种方案优惠力度更大，并说明理由．
[尝试解题]
纠错技巧
此类以频率分布直方图为背景的方案决策型问题的易错点有两处：一是观图算频率出错，需注意频率分布直方图的纵轴表示的是“ eq \f(频率,组距)”；二是求平均数出错，即利用频率分布直方图估计平均数出错，从而作出错误的决策，需认真审题与认真运算，避开此类错误．
板块一 小题补偿练(必得分)
(一)集合与常用逻辑用语
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2022·河北唐山一中高三期中]已知集合A＝{x|x2－8x≤0}，B＝{x|0c”是“a2＋b2>c2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且(Sn＋1)·(Sn＋2＋1)＝(Sn＋1＋1)2(n∈N*)，a1＝1，a2＝2，则Sn＝( )
A． eq \f(n（n＋1）,2) B．2n＋1
C．2n－1 D．2n＋1＋1
5．已知函数f(x)＝ eq \f(1,2)sin x＋ eq \f(\r(3),2)cs x，将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,4)
C． eq \f(π,3) D． eq \f(π,2)
6．函数f(x)＝(x2－4x＋1)·ex的大致图象是( )
7.
如图所示，三国时代数学家在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取 eq \r(3)≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A．20 B．27
C．54 D．64
8．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C． eq \f(9,2) D． eq \f(11,2)
9．已知四面体ABCD的所有棱长相等，E为棱AC的中点，F为棱AB上一点，且AF＝ eq \f(1,4)AB，则异面直线BE，DF所成角的余弦值为( )
A． eq \f(\r(39),78) B． eq \f(4\r(19),57)
C． eq \f(\r(39),39) D． eq \f(6\r(19),57)
10．函数f(x)＝ eq \f(cs 2x＋2sin x·cs 2x－2sin 2x cs x,\r(2)cs （x＋\f(π,4)）)的值域为( )
A．(－ eq \r(2)＋1， eq \r(2)＋1)
B．[－ eq \r(2)＋1， eq \r(2)＋1)
C． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，\r(2)＋1))
D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)，\r(2)＋1))
11．在三棱锥P ­ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝ eq \r(3)，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A． eq \f(4π,3) B． eq \f(8\r(2)π,3)
C．8π D．12π
12．已知三棱锥S ­ABC的体积为4，且AC＝4，SA2＋BC2＝24，∠ACB＝30°，则三棱锥S ­ABC的表面积为( )
A．10 eq \r(3)B．12 eq \r(3)
C．7 eq \r(6)或12 eq \r(3) D．9 eq \r(6)或10 eq \r(3)
二、填空题(把正确答案填在题中横线上)
13．若曲线y＝ eq \r(x)在点P(a， eq \r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m，n满足m＝( eq \r(3)b－c，cs C)，n＝(a，cs A)，m∥n，则cs A的值为________．
15．如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B＝60°，点E，F分别在边BC，AB上运动(不含端点)，且EF∥AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B ­ECDAF的体积最大时，EF的长为______________.
16．已知函数f(x)满足f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x2，x≤0,\f(ex,x)－e，x>0))，若方程[f(x)]2－2mf(x)＋m2－2＝0有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围为________.
提速练(二)
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，N＝{x|2x≤32}，则M∪N＝( )
A．(－∞，6] B．(－∞，5]
C．[0，6] D．[0，5]
2．已知复数z＝ eq \f(2,\r(3)－i)，则复数z的共轭复数 eq \(z,\s\up6(－))＝( )
A． eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i B． eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i
C． eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i D． eq \f(1,2)＋ eq \f(\r(3),2)i
3．椭圆2x2－my2＝1的一个焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\r(2)))，则实数m＝( )
A． eq \f(2,3) B． eq \f(2,5)
C．－ eq \f(2,3) D．－ eq \f(2,5)
4．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（\f(1,2)）x，x≥2,f（x＋1），xb>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
7．某同学研究曲线C：x eq \s\up6(\f(1,3))＋y eq \s\up6(\f(1,3))＝1的性质，得到如下结论：①x、y的取值范围是R；②曲线C是轴对称图形；③曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为 eq \f(\r(2),8).其中正确的结论序号为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
8．若在直线l上存在不同的三点A、B、C，使得关于x的方程x2 eq \(OA,\s\up6(→))＋x eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＝0有解(O∉l)，则方程解集为( )
A．∅
B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1))
C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，0))
D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋\r(5),2)，\f(－1－\r(5),2)))
9．将函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(|φ|< eq \f(π,2))的图象向右平移 eq \f(π,12)个单位长度后所得的图象关于y轴对称，则f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为( )
A．－ eq \r(3) B．－1
C．－2 D．0
10．已知O为△ABC的外心，且 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝4， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝2 eq \r(3)，则 eq \(AO,\s\up6(→))·( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
11．已知实数a、b、c、d满足 eq \f(a－2ea,b)＝ eq \f(1－c,d－3)＝1(e是自然对数的底数)，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为( )
A．10 B．18
C．8 D．12
12．1777年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题，此后人们根据蒲丰投针原理，运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识，解决蒲丰投针问题：平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于a(a>0)，向此平面任投一根长度为l(l2，
∴ 当z＝3，y＝4，x＝5时，
x＋y＋z取最小值12.
答案：①6 ②12
14．解析：根据题意可得a1＝ eq \f(1,2)，a2＝－ eq \f(3,4)，
又a2k＝S2k－S2k－1＝－ eq \f(1,22k)－ eq \f(1,22k－1)＝－ eq \f(3,22k)0，
易知，数列{an}的奇数项为递减的等比数列且各项为正；偶数项为递增的等比数列且各项为负，于是不等式（p－an）（p－an＋1）