2023-2024学年广西百色市田阳区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西百色市田阳区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面各组图形中，不是相似形的是( )
A. B.
C. D.
2.一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下列函数解析式：h=−3(t−2)2+5，则小球距离地面的最大高度是( )
A. 2米B. 3米C. 5米D. 6米
3.已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是( )
A. 8B. 6C. 4D. 1
4.已知抛物线y=(2−a)x2+1有最低点，那么a的取值范围是( )
A. a>0B. a<0C. a>2D. a<2
5.如图所示，棋盘上有A、B、C三个黑子与P、Q两个白子，要使△ABC∽△RPQ，则第三个白子R应放的位置可以是( )
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
6.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上.若线段BC=85cm，则线段AB的长是( )
A. 25cm
B. 45cm
C. 95cm
D. 2cm
7.如表是一组二次函数y=x2−x−3的自变量和函数值的关系，那么方程x2−x−3=0的一个近似根是( )
A. 1.2B. 2.3C. 3.4D. 4.5
8.正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目.一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V(单位：m3/天)，完成运送任务所需要的时间为t(单位：天)，则V与t满足( )
A. 反比例函数关系B. 正比例函数关系C. 一次函数关系D. 二次函数关系
9.下列关于反比例函数y=−3x的描述中，不正确的是( )
A. 图象在第二、四象限B. 点(−1,3)在反比例函数的图象上
C. y随x的增大而增大D. 当x>1时，0>y>−3
10.如图是某晾衣架的侧面示意图，根据图中数据，则C、D两点间的距离是( )
A. 0.9m
B. 1.2m
C. 1.5m
D. 2.5m
11.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc<0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+cA. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是( )
A. 两直线平行，同位角相等
B. 两条平行线之间的距离处处相等
C. 垂直于同一条直线的两条直线平行
D. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.如图是反比例函数y=kx在第二象限内的图象，若图中的矩形OABC的面积为4，则k等于______．
14.在同一个平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为______(用“>”连接)．
15.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，抛物线和与x轴的另一个交点为______．
16.在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE⋅AB.已知AB为2米，则线段BE的长为______米．
17.如图示，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC∽△ADE的是______(请填写序号)．
①∠D=∠B
②∠C=∠AED
③ABAD=ACAE
④ABAD=BCDE
18.学习了方程、不等式、函数后，老师提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？通过思考，小丽得到解题的方法：由方程x2−x−6=0的两根为x1=−2，x2=3，可得函数y=x2−x−6的图象与x轴的两个交点横坐标为−2、3，画出函数图象，观察该图象在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解集.请你模仿小丽的方法，求得不等式−x2−2x+8<0的解集为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
已知：线段a、b、c，满足a2=b3=c4，且a+b+c=27，求a−b+c的值．
20.(本小题6分)
如图，为了测量池塘的宽DE，在岸边找到点C，测得CD=50m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB/​/DE交EC的延长线于B，测出AB=6m，则池塘的宽DE为多少m？
21.(本小题10分)
如图，A(4,0)，B(1,3)，以OA、OB为边作平行四边形OACB，反比例函数y=kx的图象经过点C．
(1)求k的值；
(2)根据图象，直接写出y<3时自变量x的取值范围；
(3)将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．
22.(本小题10分)
如图，点E在矩形ABCD的边AD上，且∠EBC=∠ECB．
(1)求证：AE=ED；
(2)连接BD交CE于点F，求△BCF和△DEF的面积之比．
23.(本小题10分)
一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v(米/分)与时间t(分)满足反比例函数关系，如图所示，轨道旁边的测速仪测得弹珠半分钟末的速度为0.5米/分，求：
(1)二次函数和反比例函数的关系式；
(2)弹珠离开轨道时的速度．
24.(本小题10分)
某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：

请根据上面的信息，解决问题：
(1)设AB=x米(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
25.(本小题10分)
学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图1)，顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图2，绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的解析式.请根据以下点的坐标，解答下列问题：

(1)P1(4,0)，P2(0,0)，P3(6,6)，能绘制______(填“线段或抛物线”)，求出线段的长度或抛物线的函数关系式；
(2)P1(0,0)，P2(4,0)，P3(6,6)，能绘制______(填“线段或抛物线”)，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．
26.(本小题10分)
定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点M1(1,1)，M2(2,2)，M3(3,3)中，是矩形ABCD“梦之点“的是______；
(2)点G(2,2)是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是______，直线GH的解析式是y2= ______，y1>y2时，x的取值范围是______；
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点.连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意；
B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意；
C、两个五角星相似，故不符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选B．
根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．
本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．
2.【答案】C
【解析】解：∵h=−3(t−2)2+5，
∴当t=2时，h取得最大值，此时h=5，
故选：C．
根据二次函数的解析式，可以得到二次函数的最大值，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3.【答案】B
【解析】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a=1，b=2，c=3，
∴a：b=c：d，
即1：2=3：d，
解得：d=6．
故选：B．
根据成比例线段的概念可得a：c=c：b，可求d的值．
此题考查了比例线段，掌握比例线段的定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线有最低点，
∴抛物线开口向上，
∴2−a>0，
解得a<2，
故选：D．
由抛物线有最低点可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
5.【答案】D
【解析】解：∵要使△ABC∽△RPQ，
需AERF=BCPQ，
即3RF =24，
解得：RF=6，
∴第三个白子R应放的位置可以是丁．
故选：D．
由要使△ABC∽△RPQ，需AERF=BCPQ，然后利用方程求得RF的长，即可确定第三个白子R应放的位置．
此题考查了相似三角形的判定．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．
6.【答案】B
【解析】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴ABBC=12，
∵BC=85cm，
∴AB=45cm，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：观察表格得：方程x2−x−3=0的一个近似根为2，
故选：B．
观察表格可得−1更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：Vt=105，
∴V=105t，V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．
9.【答案】C
【解析】解：A.反比例函数y=−3x，k=−3<0，则图象在第二、四象限，故A正确，不符合题意；
B.当x=−1时，y=−3−1=3，则点(−1,3)在反比例函数的图象上，故B正确，不符合题意；
C.反比例函数y=−3x，k=−3<0，则在每一象限内，y随x的增大而增大，故C错误，符合题意；
D.当x>1时，则0>y>−3，故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据反比例函数的性质依次进行判断即可得到答案．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由相似三角形对应高的比等于相似比得，1.5−11=0.6CD，
解得CD=1.2m．
答：C、D两点间的距离为1.2m，
故选B．
根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x=−b2a>0，
∵a<0，
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，故①正确；
②∵对称轴为x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故②错误；
③由图象的对称性可知：当x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2−4ac>0，即b2>4ac；故④正确；
⑤由图象可知：当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
∴a+c综上所述，正确的结论是：①④⑤，
故选：C．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：∵CM//DN//BE，
∴AC：CD：DE=AM：MN：NB，
∵AC=CD=DE，
∴AM=MN=NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，尺规作图，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
13.【答案】−4
【解析】解：因为反比例函数y=kx，且矩形OABC的面积为4，
所以|k|=4，即k=±4，
又反比例函数的图象y=kx在第二象限内，k<0，
所以k=−4．
故答案为：−4．
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S是个定值|k|，再由反比例的函数图象所在象限确定出k的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx的图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14.【答案】a3>a2>a1
【解析】解：∵二次函数y1=a1x2的开口最大，二次函数y3=a3x2的开口最小，
∴a3>a2>a1，
故答案为：a3>a2>a1．
抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，系数越大，开口越小．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．
15.【答案】(3,0)
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=−1，与x轴的一个交点为(−5,0)，
∴抛物线和与x轴的另一个交点为(3,0)，
故答案为：(3,0)．
根据抛物线的对称性即可得出结论．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性，关键是对函数性质的应用．
16.【答案】(−1+ 5)
【解析】【分析】
本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解决本题的关键．
根据BE2=AE⋅AB，建立方程求解即可．
【解答】
解：∵BE2=AE⋅AB，
设BE=x，则AE=(2−x)，
∵AB=2，
∴x2=2(2−x)，
即x2+2x−4=0，
解得：x1=−1+ 5，x2=−1− 5(舍去)，
∴线段BE的长为(−1+ 5)米．
17.【答案】①②③
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE
即：∠BAC=∠DAE
①若∠D=∠B，则△ABC∽△ADE(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)；
②若∠C=∠AED，则△ABC∽△ADE(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似)；
③若ABAD=ACAE，则△ABC∽△ADE(如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似)；
④ABAD=BCDE，不能判定△ABC∽△ADE；
故答案为：①②③．
根据相似三角形的判定定理的内容即可解答．
本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键．
18.【答案】x<−4或x>2
【解析】解：∵−x2−2x+8<0，
∴x2+2x−8>0，
∴x2+2x−8=0，
(x−2)(x+4)=0，
∴x−2=0或x+4=0，
解得x1=2，x2=−4，
∴方程x2+2x−8=0的两根为x1=2，x2=−4，
∴函数y=x2+2x−8的图象与x轴的两个交点横坐标为−4、2，
画出函数y=x2+2x−8的图象如下：
由图象可得，当x<−4或x>2时，y=x2+2x−8>0，
∴不等式x2+2x−8>0的解集为x<−4或x>2，
∴不等式−x2−2x+8<0的解集为x<−4或x>2．
故答案为：x<−4或x>2．
首先将−x2−2x+8<0变形为x2+2x−8>0，然后求出方程x2+2x−8=0的两根为x1=2，x2=−4，然后画出函数y=x2+2x−8的图象，最后根据图象得到x轴上方的点的横坐标的取值范围即可．
本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．
19.【答案】解：设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，
∵a+b+c=27，
∴9k=27，
∴k=3，
∴a=6，b=9，c=12，
∴a−b+c=6−9+12=9．
【解析】设a2=b3=c4=k，则a=2k，b=3k，c=4k，构建方程即可解决问题．
本题考查比例线段，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：∵AB//DE，
∴△ABC∽△DEC，
∴ABDE=ACCD，
∴6DE=550，
∴DE=60m，
答：池塘的宽DE为60m．
【解析】根据相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)∵平行四边形OACB中，A(4,0)，B(1,3)，
∴C(5,3)，
把C(5,3)代入y=kx，得：3=k5，
解得：k=15；
(2)y<3时自变量x的取值范围为：x>5或x<0；
(3)把x=1代入y=15x，
解得：y=15，
∴向上平移15−3=12个单位．
【解析】(1)由A(4,0)，B(1,3)，以OA、OB为边作平行四边形OACB，可求得点C的坐标，然后利用待定系数法求得k的值；
(2)观察图象即可求得y<3时自变量x的取值范围；
(3)首先求得当x=1时，反比例函数上的点的坐标，继而可求得将平行四边形OACB向上平移几个单位长度，使点B落在反比例函数的图象上．
此题考查了反比例函数的性质以及平行四边形的性质．注意掌握反比例函数上的点的坐标特征．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠CDE=90°，
∵∠EBC=∠ECB，
∴EB=EC，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE(HL)，
∴AE=ED．
(2)解：∵BC=AD，AE=ED，
∴BC=2DE，
∵DE/​/BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△BCFS△DEF=(BCDE)2=41．
【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)根据HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE即可．
(2)利用相似三角形的性质即可解决问题．
23.【答案】解：(1)v=at2的图象经过点(12,12)，
∴a=2．
∴二次函数的解析式为：v=2t2，(0≤t≤2)；
设反比例函数的解析式为v=kt，
由题意知，图象经过点(2,8)，
∴k=16，
∴反比例函数的解析式为v=16t(2(2)由图象知，弹珠在第5分钟末离开轨道，速度为165=3.2(米/分)．
【解析】(1)由图象可知前一分钟过点(1,2)，后三分钟时过点(2,8)，分别利用待定系数法可求得函数解析式；
(2)把t=5代入(1)中反比例函数的解析式即可．
本题考查了反比例函数和二次函数的应用．解题的关键是从图中得到关键性的信息：自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标．
24.【答案】解：(1)设AB=x米，可得BC=69+3−2x=72−2x；
(2)小英说法正确；
理由：矩形面积S=x(72−2x)=−2(x−18)2+648，
∵72−2x>3，
∴x<34.5，
∴0∴当x=18时，S取最大值，
此时x≠72−2x，
∴面积最大的不是正方形．
故小英说法正确．
【解析】(1)设AB=x米，根据等式x+x+BC=69+3，可以求出BC的表达式；
(2)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】线段 抛物线
【解析】解：(1)线段，
∵P1(4,0)，P2(0,0)，4−0=4>0，
∴能绘制线段，线段P1P2=4；
(2)抛物线，
∵P1(0,0)，P2(4,0)，P3(6,6)，0−0=0，
∴设绘制抛物线为y=ax(x−4)，把点(6,6)坐标代入得a=12，
∴y=12x(x−4)，即y=12x2−2x；
方法2：设绘制抛物线为y=ax2+bx+c，把点P1(0,0)，P2(4,0)，P3(6,6)代入得：
c=016a+4b+c=036a+6a+c=0，
解得a=12，b=−2，c=0，
∴绘制抛物线为y=12x2−2x．
(1)根据图2判断出绘制线段，根据两点间的距离公式可得答案；
(2)根据图2判断出绘制抛物线段，利用待定系数法可得答案．
此题考查了程序设计型问题，解题的关键是待定系数法求二次函数解析式，弄懂程序框图．
26.【答案】M1，M2 H(−2,−2) x x<−2或0【解析】解：(1)∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，
∴矩形ABCD的“梦之点”(x,y)满足−1≤x≤3，−1≤y≤2，
∴点M1(1,1)，M2(2,2)是矩形ABCD的“梦之点”，点M3(3,3)不是矩形ABCD的“梦之点”，
故答案为：M1，M2；
(2)∵点G(2,2)是反比例函y1=kx图象上的一个“梦之点”，
∴把G(2,2)代入y1=kx得k=4，
∴y1=4x，
∵“梦之点”的横坐标和纵坐标相等，
∴“梦之点”都在y=x的图象上，联立y1=4xy=x，
解得x=2y=2或x=−2y=−2，
∴H(−2,−2)，
∴直线GH的解析式为y2=x，
∴y1>y2时，x的取值范围是x<−2或0故答案为：H(−2,−2)，x，x<−2或0(3)△ABC是直角三角形，
理由：∵点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，
∴y=−12x2+x+92y=x，
解得x=3y=3或x=−3y=−3，
∴A(3,3)，B(−3,−3)，
∵y=−12x2+x+92=−12(x−1)2+5，
∴顶点C(1,5)，
∴AC2=(3−1)2+(3−5)2=8，AB2=(−3−3)2+(−3−3)2=73，BC2=(−3−1)2+(−3−5)2=80，
∴BC2=AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形．
(1)根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
(2)把G(2,2)代入y1=kx求出解析式，再求于y=x的交点即为H，最后根据函数的图象判断y1>y2时，x的取值范围；
(3)根据“梦之点”的定义求出点A，B的坐标，再求出顶点C的坐标，最后求出AC，AB，BC，即可判断△ABC的形状．
本题是二次函数的综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数，理解坐标与图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．x
1
2
3
4
y
−3
−1
3
9
画法
图形
(1)以A为端点画一条射线；
(2)用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
(3)过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N.M、N就是线段AB的三等分点．