2023-2024学年广西贵港市平南县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西贵港市平南县九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−2023的倒数是( )
A. 2023B. −12023C. −2023D. 12023
2.关于x的方程(m−2)x2+3x+1=0是一元二次方程，则m满足的条件是( )
A. m≠2B. m=2C. m>2D. m<2
3.在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=8,tanB=43，则BC的值为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE/​/BC，若AB=3BD，则CEAC的值为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 23
5.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8B. (a+b)2=a2+b2
C. 3a2⋅a2=2D. a6÷a2=a4
6.用配方法解方程x2−2x−3=0，正确的是( )
A. (x−1)2=3B. (x+1)2=3C. (x−1)2=4D. (x−1)2=2
7.若关于x的一元二次方程x2+x−k=0的一个根为1，则k的值为( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
8.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=kx(k>0)的图象上，若x1<0A. y1<09.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，则可列方程组为( )
A. x+y=1000,47x+119y=999B. x+y=1000,74x+911y=999
C. x+y=1000,7x+9y=999D. x+y=1000,4x+11y=999
10.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，AF平分∠BAC交DE于点G，若AE=6，EC=2，AD=4，BD=8，则AG：AF的值为( )
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 2：3
11.某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现.如图所示的是该台灯的电流I(A)与电阻R(Ω)的关系图象，该图象经过点P(880,0.25).根据图象可知，下列说法正确的是( )
A. 当I<0.25时，R<880
B. I与R的函数关系式是I=200R(R>0)
C. 当R>1000时，I>0.22
D. 当88012.如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.要使分式1x+2有意义，则x的取值范围为 ．
14.分解因式：2ab2−8a= ．
15.如图，点A在双曲线y=3x上，点B在双曲线y=kx上，点C，D都在x轴上，若四边形ABCD是矩形，且它的面积是4，则k的值是______ ．
16.如图，在6个形状、大小完全相同的正方形组成的网格中，正方形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，则sin∠ABC的值是______ ．
17.我县动车站于2014年开通，方便了更多的人出行，如图是该动车站某扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i=5：12(i为铅直高度与水平宽度的比).小艺同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则小艺同学上升的铅直高度BC为______ 米.
18.已知a，b，可以求n，它是一种新的运算，称为对数运算.这种运算的定义是：若an=b(a>0,a≠0)，n叫做以a为底b的对数，记作：n=lgab.例如：23=8，3叫做以2为底8的对数，记作3=lg28.则lg3127= ______ ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：(π−1)0−|1− 3|+(13)−1−2cs60°．
20.(本小题6分)
解方程：3x(2x−5)=5(2x−5)．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(3,4)，B(2,0)，C(6,2)均在正方形网格的格点上．

(1)画出△ABC于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)以原点O为位似中心，在y轴左边画一个△A2B2C2，使它与△A1B1C1的相似比为1：2，并写出顶点A2，C2的坐标．
22.(本小题10分)
如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=k2x的图象分别交于C、D两点，点C坐标为(−2,1)，点A是线段BC的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求△COD的面积；
(3)直接写出当y1≤y2时，自变量x的取值范围．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AC向点C匀速运动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿CB向点B匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的16？
(2)经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？
24.(本小题10分)
2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红.据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
(1)若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？
25.(本小题10分)
阅读理解学习：
在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
【阅读材料】：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则
∵sinB=ADAB，
∴AD=AB⋅sinB．
∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC⋅AB⋅sinB=12a⋅c⋅sinB．
同理可得：S△ABC=12b⋅c⋅sinA,S△ABC=12a⋅b⋅sinC．
即：S△ABC=12b⋅c⋅sinA=12a⋅c⋅sinB=12a⋅b⋅sinC……①．
由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵abc≠0，将等式12b⋅c⋅sinA=12a⋅c⋅sinB=12a⋅b⋅sinC两边同除以12abc得，
∴sinAa=sinBb=sinCc……②．
由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：
如图，甲船以24 3海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距8 3海里．
(1)求△ADC的面积；
(2)求乙船航行的路程是多少海里(结果保留根号)．
26.(本小题10分)
综合与实践课，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠MBC= ______ °.
(2)迁移探究
小爱同学将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ= ______ °，∠CBQ= ______ °；
②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为6cm，当FQ=2cm时，直接写出AP的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．熟练掌握倒数定义是解题的关键.根据倒数定义解答即可．
【解答】
解：−2023的倒数是−12023．
2.【答案】A
【解析】解：由一元二次方程的定义可得m−2≠0，
解得：m≠2．
故选：A．
根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：(1)未知数的最高次数是2；(2)二次项系数不为0.据此即可求解．
本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．
3.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°,tanB=43，
∴ACBC=43，即BC=34AC，
∵AC=8，
∴BC=6，
故选：A．
根据三角函数值确定BC和AC的关系，求解即可．
本题考查了解直角三角形，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AB=3BD，
∴BDAB=13，
∵DE/​/BC，
∴CEAC=BDAB=13，
故选：B．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故选项错误；
B、(a+b)2=a2+2ab+b2，故选项错误；
C、3a2⋅a2=3a4，故选项错误；
D、a6÷a2=a4，故选项正确；
故选：D．
利用相关运算法则，逐一计算后，判断即可．
本题考查同底数幂的乘除，完全平方公式．掌握相关运算法则，是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由原方程，得
x2−2x+1=3+1，
即(x−1)2=4．
故选：C．
把常数项移项后，再在等式的两边同时加上1，进行配方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7.【答案】C
【解析】解：由题意，得：12+1−k=0，
∴k=2；
故选：C．
将x=1代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
本题考查一元二次方程的解，将x=1代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵k>0，
∴函数图象分布在第一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵x1<0∴A(x1,y1)在第三象限，B(x2,y2)在第一象限，
∴y2>0>y1．
故选：A．
根据函数y=kx(k>0)的增减性判断即可．
本题考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数性质是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵共买了一千个苦果和甜果，
∴x+y=1000；
∵共买一千个苦果和甜果共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
∴47x+119y=999．
∴可列方程组为x+y=100047x+119y=999．
故选：A．
利用总价=单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵AE=6，EC=2，AD=4，BD=8，
∴AC=8，AB=12，
∴AEAB=612=12,ADAC=48=12，
∴AEAB=ADAC，
而∠EAD=∠BAC，
∴△ABC∽△AED，
∵AF平分∠BAC交DE于点G，
∴AG：AF=AE：AB=1：2．
故选：A．
先根据已知线段的长计算AEAB=612=12,ADAC=48=12，得到AEAB=ADAC，再加上∠EAD=∠BAC，于是可判断△ABC∽△AED，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，
∵该图象经过点P(880,0.25)，
∴0.25=U880(R>0)，
∴U=220，
∴I与R的函数关系式是I=220R(R>0)，故B不符合题意；
当R=1000时，I=2201000=0.22，
∵220>0，
∴I随R增大而减小，
∴当I<0.25时，R>880，当R>1000时，I<0.22，当880故选：D．
设I与R的函数关系式是I=UR(R>0)，利用待定系数法求出I=220R(R>0)，然后求出当R=1000时，I=2201000=0.22，再由220>0，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了“两角法”证得两个三角形相似．
通过相似三角形△ABD∽△DCF的对应边成比例进行解答．
【解答】
解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，BC=AB，
∴∠BAD+∠ADB=120°，∠ADB+∠FDC=120°，
∴∠BAD=∠FDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCF，
∴AB：BD=DC：CF，
∴AB：BD=(BC−BD)：CF，
即9：3=(9−3)：CF，
∴CF=2．
故选：B．
13.【答案】x≠−2
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0.根据分式有意义的条件可得x+2≠0，解这个不等式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：x+2≠0，
∴x≠−2，
故答案为x≠−2．
14.【答案】2a(b+2)(b−2)
【解析】解：2ab2−8a，
=2a(b2−4)，
=2a(b+2)(b−2)．
故答案为：2a(b+2)(b−2)．
两项的数字公因式为2，字母公因式为a，故公因式为2a，提公因式后，用平方差公式进一步因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式．注意公因式包括数字、字母，公因式选择应完整．因式分解应该分解到不能再分解为止．
15.【答案】7
【解析】解：延长BA交y轴于E，如图，
∵S矩形BCOE=|k|，S矩形ADOE=|3|=3，矩形ABCD的面积为4，
∴S矩形BCOE−S矩形ADOE=4，
即|k|−3=4，
而k>0，
∴k=7．
故答案为：7．
延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形BCOE=|k|，S矩形ADOE=|3|=3，则|k|−3=4，解得即可．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16.【答案】 55
【解析】解：如图，连接EA，EC，

设正方形的边长为a，由题意得∠ACE=∠CAE=∠AEF=∠CEF=∠BCG=45°，∠ACG=90°，
∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=90°，∠ACE+∠ACG+∠BCG=180°，
∴E、C、B共线，
∵AE= a2+a2= 2a，AB= a2+(3a)2= 10a，
∴在Rt△AEB中，sin∠ABC=AEAB= 2a 10a= 55．
故答案为： 55．
如图，连接EA、EC，先证明∠AEC=90°，E、C、B共线，再根据sin∠ABC=AEAB，求出AE、AB即可解决问题．
本题考查正方形的性质，三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题．
17.【答案】10013
【解析】解：∵小艺同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，
∴AB=0.5×40=20(米)，
∵AB的坡度i=5：12，
∴BCAC=512，
设BC=5x，则AC=12x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即(12x)2+(5x)2=202，
解得x=2013(负根已舍去)，
∴BC=5x=10013，
故答案为：10013．
先求AB的长度，根据坡度设BC=5x，则AC=12x，利用勾股定理求出x的值，即可得到答案．
此题考查了勾股定理、坡度等知识，准确计算是解题的关键．
18.【答案】−3
【解析】解：∵3−3=133=127，
∴lg3127=−3，
故答案为：−3．
根据题干提供的信息进行解答即可．
本题主要考查了新定义运算，乘方的逆运算，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则．
19.【答案】解：(π−1)0−|1− 3|+(13)−1−2cs60°
=1+1− 3+3−2×12
=1+1− 3+3−1
=4− 3．
【解析】先计算绝对值，特殊角的三角函数，零次幂，负整数指数幂，再合并即可．
本题考查的是绝对值，锐角的余弦，零次幂，负整数指数幂的运算，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】解：3x(2x−5)=5(2x−5)，
∴(3x−5)(2x−5)=0，
∴3x−5=0或2x−5=0，
解得x1=53，x2=52．
【解析】利用因式分解把方程转化为两个一元一次方程，即可得到方程的解．
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，顶点A2的坐标为顶点A2(32,2)，C2(−3,1)．
【解析】(1)根据轴对称的性质得到点A1、B1、C1，顺次连线即可得到△A1B1C1；
(2)以O为位似中心，在y轴左边作△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使各边为△A1B1C1的一半，再写出点A2，C2的坐标即可．
此题考查了作图：轴对称作图及位似作图，以及点的坐标，正确掌握轴对称的性质及位似的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将点C坐标(−2,1)代入y2=k2x，
得：k2−2=1，
解得k2=−2，
即反比例函数解析式为：y2=−2x；
∵点A是线段BC的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，点C的坐标(−2,1)，
∴B点坐标为(0,−1)，A点坐标为(−1,0)，
将B(0,−1)、C(−2,1)代入一次函数y1=k1x+b，
得：−2k1+b=1b=−1，
解得：k1=−1b=−1，
即一次函数解析式为：y1=−x−1；
(2)∵B(0,−1)，
∴OB=1，
联立y=−x−1y=−2x，
解得x1=1y1=−2，x2=−2y2=1，
即D的坐标(1,−2)．
又∵C(−2,1)，
则△COD的面积是S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]=12×1×(2+1)=32，
即所求面积为32；
(3)y1≤y2时自变量x的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量x的取值范围，结合图象可得：−2≤x<0或者x>1．
【解析】(1)将点C坐标(−2,1)代入y2=k2x，即可求出反比例函数解析式；根据点A是线段BC的中点，点B横坐标为0，点A纵坐标为0，求出B点坐标为(0,−1)，A点坐标为(−1,0)，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)联立得到y=−x−1y=−2x，求出D的坐标(1,−2).再利用S△COD=12|OB|×[|xC|+|xD|]即可作答；
(3)根据图象，数形结合即可作答．
本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键．
23.【答案】解：(1)设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的16，
则有PC=8−2x，QC=x，
∴12×x(8−2x)=12×8×6×16，
解得x1=x2=2，
答：经过2秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的16；
(2)设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，
∵∠C=∠C，
∴可分为两种情况：
①PCBC=QCAC，
即8−2t6=t8，
解得t=3211；
②PCAC=QCBC，即8−2t8=t6，
解得t=125．
答：经过3211或125秒，△PCQ与△ABC相似．
【解析】(1)分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用△PCQ的面积等于△ABC面积的16列出方程求解；
(2)设运动时间为ts，△PCQ与△ABC相似，当△PCQ与△ABC相似时，则有PCBC=QCAC或PCAC=QCBC，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值．
本题考查一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24.【答案】解：(1)设月平均增长率是x，
依题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：月平均增长率是20%．
(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(80−y−40)元，每天的销售量为(20+4y)件，
依题意得：(80−y−40)(20+4y)=1400，
整理得：y2−35y+150=0，
解得：y1=5，y2=30．
又∵要尽量减少库存，
∴y=30．
答：售价应降低30元．
【解析】(1)设月平均增长率是x，利用3月份的销售量=1月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(80−y−40)元，每天的销售量为(20+4y)件，利用每天销售该公仔获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低的钱数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)由题意知：∠ADC=60°，DC=8 3，AD=24 3×2060=8 3，
由结论①知，S△ADC=12DC⋅AD⋅sin∠ADC
=12×8 3×8 3×sin60°
=12×8 3×8 3× 32=48 3(平方海里)，
所以△ADC的面积为48 3平方海里．
(2)由(1)知DC=AD，∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD=8 3，
又∠BAM=75°，
∴∖angBAC=180°−75°−60°=45°，
由题意知∠NBC=15°，∠NBA=75°，
∴∠ABC=75°−15°=60°，
在△ABC中，由材料中结论②得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，
∴BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=8 3×sin45°sin60°=8 3× 22 32=8 2(海里)，
∴乙船航行的路程为8 2海里．
【解析】(1)结合题中条件可求出AD的长，再根据材料中的结论1：三角形的面积等于两边及其夹角正弦值的一半，即可求出答案．
(2)根据第一问可知△ACD是等边三角形，结合题中条件求出∠ABC和∠BAC的大小，根据材料中的结论2：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，可求出BC的长．
本题考查的是方向角问题、等边三角形的判定、比例的性质、实数的混合运算，掌握方向角的概念、比例的性质，正确使用材料中的结论是解题的关键．
26.【答案】30 15 15
【解析】解：(1)∵AE=BE=12AB,AB=BM，
∴BE=12BM，
∵∠BEM=90°，sin∠BME=BEBM=12，
∴∠BME=30°，
∴∠MBE=60°，
∵∠ABP=∠PBM，
∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°，
故答案为：30；
(2)①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°，
∴BM=BC；
∵BM=BC，BQ=BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，
∴∠MBQ=∠CBQ；
同法(1)可得：∠MBC=30°，
∴∠MBQ=∠CBQ=15°，
故答案为：15，15；
②∠MBQ=∠CBQ，理由如下：
∵BM=BC，BQ=BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，
∴∠MBQ=∠CBQ；
当点Q在点F的下方时，如图3，
∵FQ=2cm，DF=FC=3cm，AB=6cm，
∴QC=CD−DF−FQ=6−3−2=1(cm)，DQ=DF+FQ=3+2=5(cm)，
由(2)可知，QM=QC，
设AP=PM=x，PD=6−x，
∴PD2+DQ2=PQ2，
即(6−x)2+52=(x+1)2，
解得：x=307，
∴AP=307cm；
当点Q在点F的上方时，如图4，
∵FQ=2cm，DF=FC=3cm，AB=6cm，
∴QC=5cm，DQ=1cm，
由(2)可知，QM=QC，
设AP=PM=x，PD=6−x，
∴PD2+DQ2=PQ2，
即(6−x)2+12=(x+5)2，
解得：x=611，
∴AP=611cm．
综上所述，AP=307cm或AP=611cm．
(1)根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得∠BME=30°，进而可得∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°；
(2)①根据折叠的性质，可证Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，即可求解；②证明Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，即可；
(3)由(2)可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP=PM=x，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．
本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．