2023-2024学年山东省淄博市周村区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市周村区七年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数学中有许多精美的曲线，以下是“笛卡尔叶形线”“阿基米德螺线”“三叶玫瑰线”和“星形线”.其中一定不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖的数可能为( )
A. −πB. 5C. 13D. 17
3.有理数2的平方根是( )
A. 4B. − 2C. 2D. ± 2
4.在平面直角坐标系中，点P(x,y)的坐标满足x>0，y>0，则点P在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.平面直角坐标系中有两点A(3,0)和B(0,4)，则这两点之间的距离是( )
A. 3B. 4C. 5D. 12
6.将直线y=2x向下平移3个单位长度后，得到的直线是( )
A. y=2x+3B. y=2x−3C. y=2(x+3)D. y=2(x−3)
7.如图，△ABC中，ABA. B.
C. D.
8.以下关于直线y=2x−4的说法正确的是( )
A. 直线y=2x−4与x轴的交点的坐标为(0,−4)
B. 坐标为(3,3)的点不在直线y=2x−4上
C. 直线y=2x−4不经过第四象限
D. 函数y=2x−4的值随x的增大而减小
9.在平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(5,1)，点M在x轴上，当MA+MB取得最小值时，点M的坐标为( )
A. (5,0)
B. (4,0)
C. (1,0)
D. (0,4)
10.如图1，甲、乙两个容器内都装有一定数量的水，现将甲容器中的水匀速注入乙容器中．图2中的线段l1，l2分别表示甲、乙容器中的水的深度h(厘米)与注入时间t(分钟)之间的函数图象．
下列四个结论中错误的是( )
A. 甲容器内的水4分钟全部注入乙容器
B. 注水前，乙容器内水的深度是20厘米
C. 注水1分钟时，甲容器的水比乙容器的水深10厘米
D. 注水2分钟时，甲、乙两个容器中的水的深度相等
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.在平面直角坐标系中，点(−1,2)在第______象限．
12.无理数 3的相反数是______．
13.若等腰三角形的一个内角为92°，则它的一个底角的度数为______°.
14.如图，函数y=kx与y=6−x的图象交点的横坐标是2，则k的值是______．
15.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DG交∠ACB的平分线CD于点D，过D作DE⊥AC于点E，若AC=10，CB=4，则AE= ______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
计算：
(1) (−6)2；
(2)3−8125．
17.(本小题10分)
根据如图所示的平面直角坐标系，完成以下任务：
(1)描出点A(−3,2)，B(−2,5)，O(0,0)，并用线段顺次连接点A，B，O，得△ABO；
(2)在直角坐标系内画出△ABO关于y轴对称的△A1B1O.
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求证：DC=AB．
19.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)点A的坐标为______，点B的坐标为______；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)根据图象回答：当y>0时，x的取值范围是______．
20.(本小题12分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．
(1)当∠B=28°时，求∠CAE的度数；
(2)当AC=6，AB=10时，求线段DE的长．
21.(本小题12分)
某种摩托车的油箱加满油之后，油箱中剩余的油量y(单位：L)与摩托车行驶路程x(单位：km)之间的关系如图所示．
(1)该摩托车油箱最多可储油______L，摩托车每行驶100km消耗______L汽油；
(2)求y与x之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围)；
(3)当油箱中剩余油量小于1L时，该摩托车将自动报警，摩托车行驶多少千米后，摩托车将自动报警？
22.(本小题13分)
在“一次函数”的课题学习中，某小组从元旦期间甲、乙两家商场的促销信息中发现并提出问题，请将他们分析、解决问题的过程补充完整．
问题：在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？
分析问题：
(1)设原价为x元，甲、乙两个商场的购物金额分别y甲，y乙，得到相应的函数解析式：
y甲=0.8x，(x≥0)，
y乙={x,(0⩽x⩽300) __,(x>300)；(在横线上填写最终结果)
(2)按照表中自变量x的值代入解析式计算，分别得到了y甲，y乙的几组对应值：
则表格中，a= ______，b= ______；
(3)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点，并补全函数y乙的图象；
解决问题：
(4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案．
23.(本小题13分)
△ABC是等边三角形，点D在射线AC上，延长BC至E，使CE=AD．
(1)如图(1)，当点D为线段AC中点时，求证：DB=DE．
(2)如图(2)，当点D在线段AC的延长线上时，DB=DE还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：根据图示，可得：被覆盖的数比3大且比4小，
∵−π<0，2< 5<3，3< 13<4，4< 17<5，
∴被覆盖的数可能为 13．
故选：C．
根据图示，可得：被覆盖的数比3大且比4小，据此逐项判断即可．
此题主要考查了算术平方根的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
3.【答案】D
【解析】解：有理数2的平方根是± 2，
故选：D．
根据平方根的定义解答即可．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵x>0，y>0，
∴点P(x,y)在第一象限，
故选：A．
根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵A(3,0)，B(0,4)，
∴OA=3，OB=4，
∴AB= OA2+OB2=5，
故选：C．
利用勾股定理进行求解即可．
本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
6.【答案】B
【解析】解：把直线y=2x向下平移3个单位长度得到直线为y=2x−3．
故选：B．
根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
7.【答案】D
【解析】解：∵PA+PB=BC，而PC+PB=BC，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
即点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
由PA+PB=BC和PC+PB=BC易得PA=PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论．
本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
8.【答案】B
【解析】解：A、当y=0时，2x−4=0，解得：x=2，
所以直线y=2x−4与x轴的交点的坐标为(2,0)，选项A不符合题意；
B、当x=3时，y=2x−4=2≠3，
所以坐标为(3,3)的点不在直线y=2x−4上，选项B符合题意；
C、因为k=2>0，b=−4<0，
所以直线y=2x−4经过第一、三、四象限，选项C不符合题意；
D、因为k=2>0，
所以函数y=2x−4的值随x的增大而增大，选项D不符合题意．
故选：B．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出结论A错误，结论B正确；利用一次函数图象与系数的关系可得出结论C错误；利用一次函数的性质可得出结论D错误．综上，此题得解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系以及一次函数的性质．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”，待定系数法是解答此题的关键．先根据关于x轴对称的点的坐标特点得出点B关于x轴对称点B′的坐标，连接AB′，则AB′的长即为MA+MB的最小值，利用用待定系数法求出直线AB′的解析式即可得出M点坐标．
【解答】
解：如图所示：
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点M，
此时MA+MB=MA+MB′=AB′，
∵B(5,1)，
∴B′(5,−1)，
∴设直线AB′的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∴k+b=35k+b=−1,
解得k=−1b=4,
∴直线AB′的解析式为y=−x+4，
令y=0，则−x+4=0，
解得x=4，
∴M(4,0)．
故选B．
10.【答案】C
【解析】解：由图可得，
甲容器内的水4分钟全部注入乙容器，故选项A正确，
注水前乙容器内水的高度是20厘米，故选项B正确，
注水1分钟时，甲容器内水的深度是80−80×14=60厘米，乙容器内水的深度是：20+(60−20)×14=30厘米，此时甲容器的水比乙容器的水深60−30=30厘米，故选项C错误，
注水2分钟时，甲容器内水的深度是80×24=40厘米，乙容器内水的深度是：20+(60−20)×24=40厘米，故此时甲、乙两个容器中的水的深度相等，故选项D正确，
故选：C．
根据题意和函数图象，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】二
【解析】解：∵−1<0，2>0，
∴点(−1,2)在第二象限．
故答案为：二．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
12.【答案】− 3
【解析】解：无理数 3的相反数是− 3．
故答案为：− 3．
直接利用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案．
本题主要考查相反数，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．
13.【答案】44
【解析】解：∵92°>90°，
∴92°的角是顶角，
∴(180°−92°)÷2=88°÷2=44°，
故答案为：44．
根据92°角是钝角判断出只能是顶角，然后根据等腰三角形两底角相等解答．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，先判断出92°的角是顶角是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：当x=2时，y=6−x=4，
即交点为：(2,4)，
将交点坐标代入y=kx得：4=2k，
解得：k=2，
故答案为：2．
当x=2时，y=6−x=4，即交点为：(2,4)，将交点坐标代入y=kx，即可求解．
本题考查的是两条直线相交问题，求出交点坐标是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：连接AD、BD，作DH⊥CB于H，如图所示：
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∵点D在∠ACB的平分线上，DE⊥AC，DH⊥BC，
∴DE=DH，
在Rt△ADE和Rt△DBH中，
AD=BDDE=DH，
∴Rt△ADE≌Rt△BDH(HL)，
∴AE=BH，
同理可证Rt△CDE≌△CDH(HL)，
∴CE=CH=BC+BH，
∵AE+CE=AC，
∴AE+CH=AE+BC+BH=AC，
∴2AE+BC=AC，
∴2AE+4=10，
∴AE=3；
故答案为：3．
连接AD、BD，作DH⊥CB于H，由角平分线的性质得出DE=DH.证明Rt△ADE≌Rt△BDH(HL)，得出AE=BH，同理Rt△CDE≌△CDH(HL)，得出CE=CH，进而得出答案．
本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
16.【答案】解：(1)原式=−(−6)
=6；
(2)原式=3(−25)3
=−25．
【解析】(1)根据二次根式的性质： a2=|a|=−a(a<0)，进行化简即可；
(2)根据立方根的定义进行计算即可．
本题主要考查了二次根式的性质和求一个数的立方根，解题关键是熟练掌握二次根式的性质和立方根的定义．
17.【答案】解：(1)如图，△ABO即为所求．
(2)如图，△A1B1O即为所求．

【解析】(1)直接描点连线即可．
(2)根据轴对称的性质作图即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
18.【答案】(1)解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠C+∠BAC+∠B=180°，
∴∠BAC=180°−30°−30°=120°，
∵∠DAB=45°，
∴∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°=75°；
(2)证明：∵∠DAB=45°，
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，
∴∠DAC=∠ADC，
∴DC=AC，
∴DC=AB．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定定理：等腰三角形的两底角相等；有两个角相等的三角形为等腰三角形．也考查了三角形的内角和定理、三角形外角性质．
(1)由AB=AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B=∠C=30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC=120°，而∠DAB=45°，则∠DAC=∠BAC−∠DAB=120°−45°；
(2)根据三角形外角性质得到∠ADC=∠B+∠DAB=75°，而由(1)得到∠DAC=75°，再根据等腰三角形的判定可得DC=AC，这样即可得到结论．
19.【答案】(2,0) (0,1) x<2
【解析】解：(1)将y=0代入函数解析式得，
−12x+1=0，
解得x=2，
所以点A坐标为(2,0)．
将x=0代入函数解析式得，
y=1，
所以点B坐标为(0,1)．
故答案为：(2,0)，(0,1)．
(2)函数图象如图所示，
(3)由(2)中函数图象可知，
当x<2时，函数图象在x轴的上方，即y>0，
所以当y>0时，x的取值范围是：x<2．
故答案为：x<2．
(1)分别将x=0和y=0代入函数解析式，即可求出与坐标轴的交点坐标．
(2)画出经过A，B两点的直线即可．
(3)利用数形结合的思想即可解决问题．
本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠B=28°，
∴∠BAC=90°−28°=62°，
∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，
∴∠CAE=12∠CAB=12×62°=31°．
(2)在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
∴BC= AB2−AC2= 102−62=8，
∵△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，
∴AD=AC=6，CE=DE，
∴BD=AB−AD=4，
设DE=x，则BE=BC−CE=8−x，
∵Rt△BDE中，DE2+BD2=BE2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得x=3．
即DE的长为3．
【解析】点拨
(1)在Rt△ABC中，利用互余得到∠BAC=62°，再根据折叠的性质得∠CAE=12∠CAB=31°；
(2)Rt△ABC中，利用勾股定理即可得到BC的长；设DE=x，则BE=BC−CE=8−x，依据勾股定理可得，Rt△BDE中DE2+BD2=BE2，再解方程即可得到DE的长．
本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
21.【答案】12 2
【解析】解：(1)当x=0是，y=12，
∴摩托车油箱最多可储油12L，
摩托车每行驶100km消耗12÷(600÷100)=2(L)，
故答案为：12，2；
(2)设求y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
将(0,12)，(600,0)代入得：
b=12600k+b=0，
解得k=−0.02b=12，
∴y=−0.02x+12；
(3)当y=1时，1=−0.02x+12，
解得x=550，
∴摩托车行驶550千米后，摩托车将自动报警．
(1)根据图象可得摩托车油箱最多可储油12升，最远可行驶600km，即可得出每行驶100千米消耗汽油升数；
(2)由待定系数法可得y=−0.02x+12；
(3)令y=1算出x的值，即可得自动报警时行驶的路程．
本题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，从一次函数的图象上获取正确的信息是解题关键．
22.【答案】240 480
【解析】解：分析问题：
(1)设原价为x元，则甲、乙两家商场的购物金额分别y甲元、y乙元，得到相应的函数解析式：
y甲=0.8x(x≥0)；
当0≤x≤300时，y=x，
当x>300时，y=300+0.6(x−300)=0.6x+120．
∴y乙=x(0≤x≤300)0.6x+120(x>300)；
(2)由(1)知，a=0.8×300=240；
b=0.6×600+120=480；
故答案为：240，480；
(3)根据(2)表中数据和(1)解析式画图，如图：
解决问题：
从分析问题(3)可知，当购买原价小于600元商品时应选择甲商场购买；
当购买原价等于600元商品时，甲、乙两家商场花费一样多；
当购买原价大于600元商品时应选择乙
∴x<600时，选择甲；当x=600时，甲、乙一样；当x>600时，选择乙．
分析问题：(1)根据题意直接写出函数解析式；
(2)根据(1)中解析式直接求值即可；
(3)根据(2)中数据在坐标系中画出图象即可；
解决问题，根据分析问题中的数据和图象可以直接得出结论．
本题考查一次函数的应用，关键是根据相关信息列出函数解析式．
23.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠BCA=60°，
∵点D为线段AC的中点，
∴BD平分∠ABC，AD=CD，
∴∠CBD=30°，
又∵AD=CE，
∴CD=CE，
∠CDE=∠CED，
又∵∠CDE+∠CED=∠BCD，
∴2∠CED=60°，
∴∠CED=30°=∠CBD，
∴DB=DE；
(2)DB=DE成立，
理由如下：如图(2)，过点D作DF/​/AB交BE于F，
∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠ABC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°，BC=AC=AB，
∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF，
∴△CDF为等边三角形
∴CD=DF=CF，
又∵AD=CE，
∴AD−CD=CE−CF，
∴BC=AC=EF，
∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°，
∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°，
∴∠BCD=∠DFE，
在△BCD和△EFD中
BC=EF∠BCD=∠EFDCD=DF
∴△BCD≌△EFD(SAS)
∴DB=DE．
【解析】(1)由等边三角形的性质可得AD=CD，∠CBD=30°，由等腰三角形的性质可得∠CED=30°=∠CBD，可证DB=DE；
(2)过点D作DF/​/AB交BE于F，由“SAS”可证△BCD≌△EFD，可得DB=DE．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．甲商场：所有商品打8折；
乙商场：一次性购物不超过300元不打折，超过300元时，超出的部分打6折．
x/元
0
300
600
…
y甲
0
a
480
…
y乙
0
300
b
…
x/元
0
300
600
…
y甲/元
0
240
480
…
y乙/元
0
300
480
…