江苏省南京市重点学校2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题（含答案）

这是一份江苏省南京市重点学校2023-2024学年高三上学期11月期中数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 无正确选项
2. 已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
3. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列满足，且，数列满足，，则的最小值为（ ）．
A. B. 5C. D.
5. 已知，若，， 则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知命题，，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
8. 在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则向量在上的投影为
B. 若，则，
C. 若，，则
D. 若，则向量与的夹角为锐角
10. 已知函数的最小正周期为，则下列各选项不正确的是（ ）
A.
B. 直线是图像的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 将图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图像
11. 如图，矩形ABCD中，，E是边AB的中点，将沿直线DE翻折成（点不落在底面BCDE内），连接、.若M为线段的中点，则在的翻折过程中，以下结论不正确的是（ ）

A. 平面恒成立B. 存在某个位置，使
C. 线段BM的长为定值D.
12. 已知函数，的定义域均为是奇函数，且，，则（ ）
A. 为奇函数B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则___________.
14. 已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则__________．
15. 已知在直三棱柱中，，，，则点到平面的距离为 ______；若三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．
16. 设函数，若，恒成立，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量， ，其中，且. 又一中，．
（1）若，且，求角.
（2）设是边上一点，若，，求．
18. 已知函数，.
（1）求函数的值域；
（2）若在上最小值为，求实数的值.
19. 如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
20. P为圆A：（x+2）2+y2=36上一动点，点B的坐标为（2，0），线段PB的垂直平分线交直线AP于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为A1和A2，M、N为曲线C上异于A1、A2的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线A1S与直线A2N相交于点T，直线OT与直线MN相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得△RBE的面积为定值，并求该定值．
21. 已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
（1）证明：
（2）求数列的前n项和．
22. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立.
数学答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D. 无正确选项
【答案】A
2. 已知函数的部分图象如图所示，且，则的值为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
3. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 已知数列满足，且，数列满足，，则的最小值为（ ）．
A. B. 5C. D.
【答案】D
5. 已知，若，， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 已知命题，，则的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
7. 设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】C
8. 在中，，且，是的中点，是线段的中点，则的值为（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则向量在上的投影为
B. 若，则，
C. 若，，则
D. 若，则向量与的夹角为锐角
【答案】BC
10. 已知函数的最小正周期为，则下列各选项不正确的是（ ）
A.
B. 直线是图像的一条对称轴
C. 在上单调递增
D. 将图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图像
【答案】BCD
11. 如图，矩形ABCD中，，E是边AB的中点，将沿直线DE翻折成（点不落在底面BCDE内），连接、.若M为线段的中点，则在的翻折过程中，以下结论不正确的是（ ）

A. 平面恒成立B. 存在某个位置，使
C. 线段BM的长为定值D.
【答案】BD
12. 已知函数，的定义域均为是奇函数，且，，则（ ）
A. 为奇函数B.
C. D.
【答案】BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则___________.
【答案】
14. 已知是公比为)的等比数列，且成等差数列，则__________．
【答案】1
15. 已知在直三棱柱中，，，，则点到平面的距离为 ______；若三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球体积为______．
【答案】 ①. ②.
16. 设函数，若，恒成立，则的取值范围是___________．
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量， ，其中，且. 又一中，．
（1）若，且，求角.
（2）设是边上一点，若，，求．
【答案】（1）
18. 已知函数，.
（1）求函数的值域；
（2）若在上最小值为，求实数的值.
【答案】（1） （2）
19. 如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
【答案】（1）略 （2）
20. P为圆A：（x+2）2+y2=36上一动点，点B的坐标为（2，0），线段PB的垂直平分线交直线AP于点Q．
（1）求点Q的轨迹方程C；
（2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为A1和A2，M、N为曲线C上异于A1、A2的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点M关于原点O的对称点为S，若直线A1S与直线A2N相交于点T，直线OT与直线MN相交于点R，证明：在曲线C上存在定点E，使得△RBE的面积为定值，并求该定值．
【答案】（1）（2）略
21. 已知数列是公差为3的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且满足． 将数列与的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列．
（1）证明：
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）略 （2）
22. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）证明：当时，成立.
【答案】（1） （2）略