广东省广州重点学校2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)

这是一份广东省广州重点学校2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．（1，3）
C．D．
2．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C D．
3.．复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
5．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、乙，丙，丁想根据该图编排一个舞蹈，图中的小孩扑枣有爬、扶、捡、顶四个的动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．在展开式中的系数为（ ）
A．B．0C．1D．2
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
8. 设随机变量，若二项式，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 完全正确得5分，漏选得2分，错选或不选不得分.
9．下列命题正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“若”的否定是“存在”
C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“”的必要而不充分条件
D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．所有二项式系数的和为32
C．第3项和第4项二项式系数最大D．所有项的系数和为1
11．有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
12．下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立
C．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项
D．设随机变量服从正态分布，若，则
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 复数的虚部是
14．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
15．现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，
则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
对，不等式恒成立，则a的取值范围是
四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，18^22每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
19.已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
20.多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
21．从2013年开始.的9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.
(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.
（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.
22．为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：
(1)求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与球员有关；
(2)根据以往的数据统计，球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求球员担当守门员的概率；
③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下球员担当守门员”的比赛场次数，求的分布列及期望．
附表及公式：
．
广州重点学校2021级上学期期末考试试题
答案解析
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．（1，3）
C．D．
【答案】C
【分析】先求出集合B，然后再求两集合的并集即可.
【详解】由，得，解得或，
所以或，
因为，
所以，
故选：C
2．已知，则下列不等式中成立的是（ ）
A．B．C D．
【答案】D
【分析】A选项可根据指数函数性质判断，BCD选项可以举反例得出.
【详解】
ABC选项，取，BA选项变成，B选项变成，C选项变成，ABC均错误.
D选项，根据指数函数单调递增可知，，D选项正确；
故选：D
3．复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先计算复数 ,再求出共轭复数，最后根据复数的几何意义确定所在象限即可.
【详解】,
,对应点的坐标为
故选A
4．若，，，则事件与的关系是（ ）
A．事件与互斥B．事件与对立
C．事件与相互独立D．事件与既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
【详解】∵，
∴，
∴事件与相互独立、事件与不互斥，故不对立.
故选：C
5．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．有甲、乙，丙，丁想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶中的动作，每人模仿一个动作，若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先确定基本事件总数，再分类讨论要求事件含有的基本事件数，计算概率即可.
【详解】依题意，基本事件总数是，设事件表示甲只能模仿“爬”或“扶”且乙只能模仿“扶”或“捡”，
①若甲模仿“爬”，则乙能模仿“扶”或“捡”，有2种选择，剩余的2人全排列种排法，故有种排法；
②若甲模仿“扶”，则乙只能模仿 “捡”， 剩余的2人全排列种排法，故有种排法，
故包含个基本事件，.
故选：C.
6.在展开式中的系数为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，展开式第项，当时，，当时，，故，即.
故选：B
7．已知，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】A
【解析】将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，故，
故，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为3.
故选：A.
8. 设随机变量，若二项式，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用二项式的展开式和题设条件，得到且，结合选项和二项分布的期望与方程的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，二项式，
因为，
可得且，
若选项A成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，所以A错误；
若选项B成立，则， 解得，
代入上式验证不成立，所以B错误；
若选项C成立，则， 解得，
代入上式验证成立，所以C正确；
若选项D成立，则， 解得，显然不成，所以D错误.
故选：C.
二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分. . 完全正确得5分，漏选得2分，错选或不选不得分.
9.下列命题正确的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“若”的否定是“存在”
C.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“”的必要而不充分条件
D.设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【答案】ABD
【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”，但是当<1时，a有可能是负数，所以“<1”推不出“a>1”，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件；B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3，y=3时，x2+y2≥4，但是“x≥2且y≥2”不成立，所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”，所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.
D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”，但“ab≠0”可推出“a≠0”，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.
10.在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．所有二项式系数的和为32
C．第3项和第4项二项式系数最大D．所有项的系数和为1
【答案】ABC
【分析】根据给定的二项式，写出展开式判断A；利用二项式性质判断BC；利用赋值法计算判断D作答.
【详解】
，因此在的展开式中没有常数项，A正确；
的展开式的所有二项式系数的和为，B正确；
的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C正确；
当时，的展开式的所有项的系数和为，D错误.
故选：ABC
11. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06
B．任取一个零件是次品的概率为0. 0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
【答案】BC
【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.
【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
对于A，即，A错误.
对于B，
，B正确.
对于C，，C正确.
对于D，，D错误.
故选：BC
12. 下列说法正确的是（ ）
A．某射击运动员在一次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：6，5，7，9，6，8，9，9，7，5，这组数据的第70百分位数为8
B．对于随机事件A与B，若，则事件A与B独立
C．若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式共有7项
D．设随机变量服从正态分布，若，则
【答案】BD
【分析】利用百分位数的定义判断A；利用对立事件和条件概率的公式，结合独立事件的定义判断B；利用赋值法求出指数判断C；利用正态分布的对称性计算判断D.
【详解】对于A，把数据从小到大排列为：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，而，
因此这组数据的第百分位数为，A错误；
对于B，，又，
因此，即事件与相互独立，B正确；
对于C，在二项式中，令，得展开式中所有项的系数和为，
解得，因此展开式共有8项，C错误；
对于D，由随机变量服从正态分布，得对应的正态曲线关于直线对称，
而，则，因此，D正确.
故选：BD
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.复数的虚部是
【答案】-1
【详解】解：由题得，所以，所以选项A正确；
因为的虚部为-1
14，已知随机变量服从正态分布，且，则 .
【答案】
【分析】根据正态分布的对称性求解指定区间的概率即可.
【详解】随机变量服从正态分布，且，
所以，
所以，
故答案为：
15. 现有，，，，五人排成一列，其中与相邻，不排在两边，
则共有 种不同的排法（用具体数字作答）.
【答案】24
【分析】法一：先将捆绑，再排除以外其他人，最后插空即可；
法二：先将捆绑，进行全排列，再减去在两边的情况.
【详解】法一：将捆绑，则除以外其他四人的排序有种，又不排在两边，
所以可选的位置有两种，所以共种排法；
法二：将捆绑，若的位置任意，则五人的排序有种，
其中排在两边的情况有种，
所以不排在两边的情况有种；
故答案为：.
16. 对，不等式恒成立，则a的取值范围是
【答案】
【分析】对讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到的取值范围.
【详解】不等式对一切恒成立，
当，即时，恒成立，满足题意；
当时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得.
综上可得，的取值范围为.
四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，18^22每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）求得命题对应的不等式解集，与命题对应的不等式取交集即可；
（2）求得命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.
【详解】（1）当时，可得，
可化为， 解得，
又由命题为真命题，则 .
所以，都为真命题时，则的取值范围是
（2）由，解得，
因为，且是的充分不必要条件，
即集合 是的真子集，
则满足 ，解得，所以实数的取值范围是.
18.某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．
（1）求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
【答案】（1），中位数650，众数600；（2）分布列见解析；期望为；（3）填表见解析；有．
【分析】（1）由频率分布直方图中频率和为1可求得,每组数据用该组区间的中点值乘以频率相加得均值；
（2）由频率分布直方图知从，中抽取7人，从，中抽取3人，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，求出各概率得分布列，然后由期望公式得期望；
【详解】（1）由题意知，
解得，
样本平均数为，
中位数650，众数600．
（2）由题意，从中抽取7人，从中抽取3人，
随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．
，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望．
19.已知关于x的不等式ax2﹣x+1﹣a＜0．
(1)当a＝2时，解关于x的不等式；
(2)当a＞0时，解关于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）将不等式化为（2x+1）（x﹣1）＜0即可求得结果；
（2）将不等式化为（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，当a＞0时，不等式变为，计算（x﹣1）（ax+a﹣1）＝0的两根，根据两根大小关系讨论不等式解集．
【详解】（1）
当a＝2时，不等式2x2﹣x﹣1＜0可化为：（2x+1）（x﹣1）＜0，
∴不等式的解集为；
（2）
不等式ax2﹣x+1﹣a＜0可化为：（x﹣1）（ax+a﹣1）＜0，
当a＞0时，，
的根为：，
①当时，，∴不等式解集为，
②当时，，不等式解集为∅，
③当时，1，∴不等式解集为{x|x＜1}，
综上，当时，不等式解集为，
当a时，不等式解集为，
当时，不等式解集为{x|x＜1}．．
20. 多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5.
(1)写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望；
(2)求小李同学当天穿连衣裙的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2).
【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可；
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解.
【详解】（1）设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2，
，，，
所以X的分布列为：
故.
（2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.
因为穿红色衣物的概率为，
则穿蓝色衣物的概率为，
穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为，
则当天穿连衣裙的概率为.
所以小李同学当天穿连衣裙的概率为.
21从2013年开始.的9年来，某地区第年的第三产业生产总值（单位：百万元）统计图如下图所示.根据该图提供的信息解决下列问题.
(1)在所统计的9个生产总值中任选2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)由统计图可看出，从第6年开始，该地区第三产业生产总值呈直线上升趋势，试从第6年开始用线性回归模型预测该地区第11年的第三产业生产总值.
（附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望
(2)该地区第11年的第三产业生产总值约为
【分析】（1）求出平均值，得出不低于平均值的有3个，因此服从超几何分布，由此可计算出各概率得分布列，由期望公式可计算出期望；
（2）由后面的四个数据求出线性回归直线方程，将代入回归方程即可得出预测值.
【详解】（1）依题知，9个生产总值的平均数为：
，
由此可知，不低于平均值的有3个，
所以服从超几何分布，
，
所以，
，
，
分布列为：
所以；
（2）由后面四个数据得：
，，
，
，
所以，，
所以线性回归方程为，
当时，，
所以该地区第11年的第三产业生产总值约为
22. 为了迎接2022年世界杯足球赛，某足球俱乐部在对球员的使用上一般都进行一些数据分析，在上一年的赛季中，A球员对球队的贡献度数据统计如下：
(1)求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与球员有关；
(2)根据以往的数据统计，球员能够胜任前锋､中锋､后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋､中锋､后卫以及守门员时，球队赢球的概率依次为：，则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛赢球的概率；
②当他参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求球员担当守门员的概率；
③在2022年的4场联赛中，用X表示“球队赢了比赛的条件下球员担当守门员”的比赛场次数，求的分布列及期望．
附表及公式：
．
【答案】(1)，，没有的把握认为球队胜利与球员有关；
(2)①0.27；②；③分布列见解析，.
【分析】（1）根据列联表中的数据补全，再根据独立性检验求解即可；
（2）①根据独立事件的乘法公式求解即可；
②根据条件概率计算求解即可；
③由题知，进而根据二项分布求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，补全列联表如下表：
所以，，，
所以，没有的把握认为球队胜利与球员有关
（2）解：①根据题意，记球员参加比赛时，球队某场比赛赢球为事件，
，
所以，球员参加比赛时，球队某场比赛赢球的概率为.
②记球员担当守门员为事件，则，
所以，当球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为，
因为.
所以，球员参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 球员担当守门员的概率为
③由②知，球队赢了比赛的条件下球员担当守门员的概率为，
由题知的可能取值为，且
所以；；
；；
.
所以，的分布列如下表，
所以，
球队胜
球队负
总计
上场
22
未上场
12
20
总计
50
0
1
2
3
X
4
3
2
P
0
1
2
球队胜
球队负
总计
上场
22
未上场
12
20
总计
50
球队胜
球队负
总计
上场
22
30
未上场
12
20
总计
30
20
50