239，山东省泰安市东平县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份239，山东省泰安市东平县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共26页。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题48分，非选择意102分，满分150分，考试时问120分钟；
2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效；
3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如图四个几何体中，同一个几何体的左视图与俯视图相同的几何体共有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】左视图、俯视图是分别从物体左面和上面看，所得到的图形，分别得出每个几何体的视图然后判断即可．
【详解】解：A、球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同，符合题意；
B、圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同，不符合题意；
C、正方体左视图、俯视图都是正方形，左视图与俯视图相同，符合题意；
D、圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同，不符合题意；
即同一个几何体的左视图与俯视图相同的几何体共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ）
A. 其图像经过点B. 其图像分别位于第一、第三象限
C. 当时，y随x的增大而增大D. 当时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项分析即可．
【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意；
由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意、C错误，符合题意；
∵时，，且当时y随x的增大而减小
∴当时，，故D正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
3. 函数与在同一坐标系中的图象可能是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据每个选项的反比例函数的图像所在的象限，判断出的符号，再逐一判断一次函数的图像所经过的象限即可得到答案．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的图像与性质，掌握以上知识是解题的关键．
4. 抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（ ）
A. 开口向上，对称轴是直线，顶点是
B. 开口向上，对称轴是直线，顶点是
C. 开口向上，对称轴是直线，顶点是
D. 开口向下，对称轴是直线，顶点是
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．把抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
故选：B
5. 将抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线解析式为（ ）
A. y＝2x2+1B. y＝2x2﹣3
C. y＝2（x﹣8）2+1D. y＝2（x﹣8）2﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”的原则即可得到平移后函数解析式．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣4+4）2﹣1，即y＝2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y＝2x2﹣1+2，即y＝2x2+1；
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
6. 如图，在中，，，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
【详解】∵∠C=90°，
∴，
∴，
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB与AC的关系，再利用正弦函数的定义．
7. 如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的D处航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向．该货船航行30分钟后到达B处，此时测得该岛在北偏东30°的方向上．则货船在航行中离小岛C的最短距离是（ ）

A. 12海里B. 6海里C. 12海里D. 24海里
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，利用，结合锐角三角函数，列式计算即可．
【详解】解：如图，过点作，

由题意，得：，
在中，，
在中，，
∴，
∴；
故选B
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
8. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（ ）

A. B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
9. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AC是⊙O的直径，∠CAD＝26°，则∠ABD的度数为（ ）
A. 26°B. 52°C. 64°D. 74°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆周角定理得到∠ADC=90°，∠ABD=∠ACD，然后利用互余计算出∠ACD，从而得到∠ABD的度数．
【详解】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD=90°-∠CAD=90°-26°=64°，
∴∠ABD=∠ACD=64°．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10. 如图，在中，，以点A为圆心，3为半径的圆与边相切于点D，与，分别交于点E和点G，点F是优弧上一点，，则的度数是（ ）
A. 50°B. 48°C. 45°D. 36°
【答案】B
【解析】
【分析】连接AD，由切线性质可得∠ADB=∠ADC=90°，根据AB=2AD及锐角的三角函数可求得∠BAD=60°，易求得∠ADE=72°，由AD=AE可求得∠DAE=36°，则∠GAC=96°，根据圆周角定理即可求得∠GFE的度数．
【详解】解：连接AD，则AD=AG=3，
∵BC与圆A相切于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADB中，AB=6，则cs∠BAD==，
∴∠BAD=60°，
∵∠CDE=18°，
∴∠ADE=90°﹣18°=72°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=72°，
∴∠DAE=180°﹣2×72°=36°，
∴∠GAC=36°+60°=96°，
∴∠GFE=∠GAC=48°，
故选：B．
【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得∠BAD=60°是解答的关键．
11. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y＝x图象上，点A在x轴的正半轴上，等腰直角三角形BCD的顶点C在AB上，点D在函数y＝第一象限的图象上若△OAB与△BCD面积的差为2，则k的值为（ ）
A. 8B. 4C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得出OA＝AB，由△BCD是等腰直角三角形，可得CD＝BD．设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数y＝的图象经过点D，即可得到a2﹣b2＝k，进而得出△OAB与△BCD的面积之差＝a2﹣b2＝k＝2，即可求出k．
【详解】解：∵点B在函数y＝x图象上，
∴OA＝AB，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD．
设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝k，
∴△OAB与△BCD的面积之差＝a2﹣b2＝k＝2，
∴k＝4，
故选：B．
【点睛】此题考查的是求反比例函数的比例系数和等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数的比例系数与图形面积的关系是解决此题的关键．
12. 如图，正方形的边长为2，以为直径作半圆，点P是中点，与半圆交于点Q，连结，给出如下结论：①；②；③；④，下列结论正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】①连接，，如图1．易证四边形是平行四边形，从而可得．结合，证到，从而证到，则有 ；
②连接 ，如图2，根据勾股定理可求出．易证，运用相似三角形的性质可求出，从而求出的值，就可得到 的值；
③过点作于，如图3．易证，运用相似三角形的性质可求出，从而可求出的值；
④过点作于，如图4．易得，根据平行线分线段成比例可得，把代入，即可求出，然后在中运用三角函数定义，就可求出的值．
【详解】①连接，，如图1．
易证四边形是平行四边形，从而可得．
结合，可证到，从而证到≌，
则有．
故①正确；
②连接，如图2．
则有，．
易证，
运用相似三角形的性质可求得，
则，
,
故②正确；
③过点Q作于H，如图3．
易证∽，
，
，
．
故③正确；
④过点Q作于N，如图4．

易得，
根据平行线分线段成比例可得，
则有，
解得：．
由，得．
故④正确．
综上所述：正确结论是①②③④．
故答案为：D．
【点睛】本题考查圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理，解题关键在于利用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系．
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13. 在函数y=中，自变量x的取值范围是_____．
【答案】x≥﹣2且x≠1
【解析】
【详解】分析：
根据使分式和二次根式有意义的条件进行分析解答即可.
详解：
∵要使y=有意义，
∴ ，解得：且.
故答案为且.
点睛：熟记：“二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数；分式有意义的条件是：分母的值不为0”是正确解答本题的关键.
14. 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为___米．
【答案】5
【解析】
【分析】由已知易得：△MBA∽△MCO，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
【详解】根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知，
即，
解得AM=5．
∴小明的影长为5米．
【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长.
15. 用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．
【答案】1．
【解析】
【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【详解】设此圆锥的底面半径为r．
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr，
解得：r=1．
故答案为1．
【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
16. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【详解】分析：设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
详解：设AD与圆的切点为G，连接BG，∴BG⊥AD．
∵∠A=60°，BG⊥AD，∴∠ABG=30°，在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，∴圆B的半径为，∴S△ABG=×1×=
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，∴∠EBF=120°，∴S阴影=2（S△ABG﹣S扇形）+S扇形FBE=2×（﹣）+=+．
故答案为+．

点睛：本题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题的关键．
17. 二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论的是______（填序号）
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识．利用图象信息以及二次函数的性一一判断即可．
【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴，故②错误；
∵抛物与x轴的交点在原点与之间，对称轴为直线，
∴抛物与x轴的另一个交点在原点与的左边，
当时，，
∴，故③正确；
∵当时，，当时，，
∴，
∴，故④错误；
∵当时，是函数的最大值，
∴，
∴，
∴，故⑤正确；
故答案为：①③⑤
18. 如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
三、解答题（本大题共7个题，共78分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】19. 1 20.
【解析】
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算：
（1）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解；
（2）先把特殊角锐角三角函数值代入，再计算，即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
20. 如图，一次函数（）与反比例函数（）的图象交于， 两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出使成立的的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）一次函数解析式为；
（2）当或时，；
（3）8．
【解析】
【分析】（1）把A，B两点的坐标分别代入中，求得m，n的值，即可确定A，B两点的坐标，再利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）找出图象中一次函数图象低于反比例函数图象部分对应的x的取值范围；
（3）分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点，当时，求得D点坐标，继而可得，，，代入，求解即可．
【小问1详解】
解：分别把，代入得，，
解得，，
所以点坐标为，点坐标为，
分别把，代入得：，
解得，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：根据图象可知：
当或时，；
【小问3详解】
解：如图，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别是E、C点．直线交x轴于D点．
当时，，解得，则点坐标，
∴，
∵，，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数交点的问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、割补法求三角形的面积是解题的关键．
21. 如图，小山上有一座高的电视发射塔，为了测量小山的高度．在山脚某处D测得山顶的仰角为，测得塔项的仰角为，求小山的高．（已知：）（结果精确到）
【答案】80m
【解析】
【分析】设BC为x m，则AC=(120+x) m，通过解直角△ADC和直角△BCD列出关于x的方程，利用方程求得结果．
【详解】设m，
∵m，
∴m．
在中，，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
解得，
答：小山的高约为80m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22. 某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）的部分对应值如下表，已知产品的日销售量y（件）是每件产品的销售价x（元）的一次函数，设每日获得的利润为P元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求P与x之间的函数关系式；
（3）当每件产品的销售单价为多少元时，才能使每日获得的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）
（2）
（3）当每件产品销售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1600元
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据总利润等于单个的利润乘以销售量列出函数解析式即可；
（3）将二次函数化为顶点式，求出最大值即可．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为，
将，；，分别代入，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为．
【小问2详解】
解：由题意知．
小问3详解】
解：∵，，
∴当＋时，P取最大值，为1600．
∴当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1600元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出函数解析式．
23. 如图，点C在以为直径的上，点D是的中点，连接并延长交于点E，作，交的延长线于点P．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由AB为直径，可得∠ACB=90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD∥AC，从而∠ODB=90°．由OB=OE得∠OEB=∠OBE，又∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，又∠EBP=∠EBC，得∠P=∠OBD．又∠BOD+∠OBD=90°，从而可得∠BOD+∠P=90°，即∠OBP=90°．则可证PB为⊙O切线；
（2）由（1）可得OD=1，从而PO=7，可证明△BDP～△OBP，从而得比例 ，解得BP=，最后由勾股定理可求半径OB．
【详解】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD=AC，OD∥AC，
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠OBE，
又∵∠OEB=∠P+∠EBP，∠OBE=∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP=∠OBD+∠EBC，
又∠EBP=∠EBC，
∴∠P=∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD=90°，
∴∠BOD+∠P=90°，
∴∠OBP=90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）解：∵AC=2，
由（1）得OD=AC=1，
又PD=6，
∴PO=PD+OD=6+1=7．
∵∠P=∠P，∠BDP=∠OBP=90°，
∴△BDP～△OBP．
∴，
即BP2=OP•DP=7×6=42，
∴BP=．
∴OB=．
故⊙O的半径为．
【点睛】本题属于圆的综合问题，考查了圆周角定理，三角形中位线性质定理，等腰三角形性质，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并灵活运用所学知识是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
【答案】（1）y＝−x2＋4x＋5；（2）P（，），S四边形APCD最大＝．
【解析】
【分析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，−x2＋4x＋5），建立函数关系式S四边形APCD＝−2x2＋10x，根据二次函数表达式求出最值．
【详解】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x−2）2＋9，
∵抛物线与y轴交于点A（0，5），
∴4a＋9＝5，
∴a＝−1，
∴y＝−（x−2）2＋9＝−x2＋4x＋5；
（2）连接AP，
当y＝0时，−x2＋4x＋5＝0，
∴x1＝−1，x2＝5，
∴E（−1，0），B（5，0），
设直线AB的解析式为y＝mx＋n，
∵A（0，5），B（5，0），
由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y＝−x＋5；
设P（x，−x2＋4x＋5），
∴D（x，−x＋5），
∴PD＝−x2＋4x＋5＋x−5＝−x2＋5x，
∵A、C关于直线x=2对称，
∴AC＝4，
又∵AC⊥PD，
∴S四边形APCD＝×AC×PD＝2（−x2＋5x）＝−2x2＋10x，
∴当x＝时，即点P（，）时，S四边形APCD最大＝．
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数最值的确定方法，解本题的关键是建立函数关系式求最值．
25. 如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．
（1）求证：AE•BC=AD•AB；
（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【详解】（1）证明：∵AB为半圆O的直径，
∴∠C=90°，
∵OD⊥AC，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，
∵AE是切线，
∴OA⊥AE，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠E=∠CAB，
∴△EAD∽△ABC，
∴AE：AB=AD：BC，
∴AE•BC=AD•AB．
（2）解：作DM⊥AB于M，
∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=，
∴BC=AB•sin∠BAC=6，
∴AC==8，
∵OE⊥AC，
∴AD=AC=4，OD=BC=3，
∵sin∠MAD==，
∴DM=，AM==，BM=AB﹣AM=，
∵DM∥AE，
∴，
∴AF=．
考点：圆的综合题.x/元
130
150
165
y/件
70
50
35