46，北京十一晋元中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题

这是一份46，北京十一晋元中学2023-2024学年九年级下学期开学考数学试题，共29页。
1．本试卷共4页，共三道大题，28道小题．
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）．
1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得．
【详解】解：卯的俯视图是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键．
2. 新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值时，n是负整数．
【详解】解：4430万，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cbb角的大面小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论．
【详解】由示意图可知：和都是直角三角形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
4. 已知，，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点的象限的判断，熟练判断的正负是解题的关键．由，，得出，再逐项分析即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴同号，
∵，
，
A、在第一象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
B、在第二象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
C、在第三象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项不符合题意；
D、在第四象限，因为小手盖住的点在第四象限，故此选项符合题意；
故选：D．
5. 将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】将直线向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．
6. 解方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】分式方程的两侧同乘得：
．
故选：A．
7. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
8. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A. 54B. 52C. 50D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 使代数式有意义的的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数非负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵代数式有意义
∴
即
故答案为：
10. 分解因式：2a2﹣8b2=________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
【详解】2a2﹣8b2=2（a2﹣4b2）=2（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为2（a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
11. 若点，，都在同一个反比例函数的图象上，则的大小关系是 _____．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先由点求出解析式，再把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，比较大小即可，掌握反比例函数图象上点的横纵坐标的积等于比例系数是解题的关键．
【详解】解：设反比例函数为，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设，若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_________．

【答案】
【解析】
【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数．
【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与，
，
这块正多边形地砖的边数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面密铺的知识，解决此类题，记住几个常用正多边形的内角，关键是看位于同一顶点处的几个角之和为．
13. 如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为______cm．

【答案】18
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长．
【详解】解：，，
，
，
，
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是求出的值．
14. 一组数据1，，5，7有唯一众数，且中位数是6，则平均数是___________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据题意可得：的值只能是1，5，7中的一个，再由中位数是6，可得，即可求解．
【详解】解：∵一组数据1，，5，7的中位数是6，
∴值只能是1，5，7中的一个，
∵中位数是6，
∴，
∴平均数是．
故答案为：5
【点睛】本题考查的是众数，中位数，平均数的含义，理解概念并灵活应用是解本题的关键．
15. “神舟”十四号载人飞行任务是中国空间站建造阶段的首次载人飞行任务，也是空间站在轨建造以来情况最复杂、技术难度最高、航天员乘组工作量最大的一次载人飞行任务．如图，当“神舟”十四号运行到地球表面P点的正上方的F点处时，从点F能直接看到的地球表面最远的点记为Q点，已知，，则圆心角所对的弧长约为_____km（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】设，由是的切线，可得，由此构建方程求出r,再利用弧长公式求解．
【详解】解：设，
由题意，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，弧长公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程求解．
16. 如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上．
（1）若，，则的长是______cm．
（2）若，则的值是______．
【答案】 ①. 4 ②. 3
【解析】
【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长；
（2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值．
【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∵，
∴，
故答案为：4；
（2）设，
∵，
∴可设，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∵四边形对角互补，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：，
解得，（舍去），
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】首先计算乘方运算以及去绝对值符号，然后进行乘除、加减运算即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值、零指数幂，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序：先计算乘方、再乘除、最后加减．
18. 解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，进一步求出它的整数解即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：；
∴不等式组的解集为，
∴它的整数解为：．
19. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，以及代数式求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先通分括号内，再运算除法，化简得，结合，即可作答．
【详解】解：
∵
∴
即
则
20. 如图，的对角线，相交于点，点，在上，且．

（1）求证：；
（2）过点作，垂足为，交于点，若的周长为12，求四边形的周长．
【答案】（1）见详解 （2）24
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵的周长为12，
∴，
∴四边形的周长为24．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口． 温水的温度为30℃，流速为；开水的温度为100℃，流速为． 某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
【答案】该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．
设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可．
【详解】解：设该学生接温水的时间为，
根据题意可得：，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
22. 小云想用天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成组，第组有首，；对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，；每天最多背诵首，最少背诵首．解答下列问题：
（1）填入，补全上表；
（2）若，，，则的所有可能取值为 ；
（3）天后，小云背诵的诗词最多为 首．
【答案】（1）补表见解析；
（2），；
（3）．
【解析】
【分析】（）根据表中的规律即可得到结论；
（）根据题意列不等式即可得到结论；
（）根据题意列不等式，即可得到结论；
本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键.
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∴应填入第组，第天、第天、第天空格内，
∴补全表格如下：
【小问2详解】解：∵每天最多背诵首，最少背诵首，
∴，，，
∴，
∵，
由可得，
∴，
∵为整数，
∴或，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：∵每天最多背诵首，最少背诵首，
∴由第天，第天，第天，第天可得，
，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
即，
∴天后，小云背诵的诗词最多为首，
故答案为：．
23. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多，为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中信息，解答下列问题：
（1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
【答案】（1）20，18，36
（2）
【解析】
【分析】本题考查了统计图，列表法与树状图法．
（1）根据统计图中的信息列式计算即可；
（2）首先根据列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好抽到恰好都是女性的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解决问题的关键在于利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为：
，，
在扇形统计图中种支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：20，18，36；
【小问2详解】
由题意可知用现金支付方式共有5人，
设男生为，，女生为，，，列表得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到都是女性的有6种情况，
∴恰好都是女性的概率．
24. 如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线；
（2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，则，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，，
∴，
∴，
∴根据勾股定理可得：．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤．
25. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示．

（1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式；
（2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？
【答案】（1）场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为
（2）场景B
【解析】
【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得；
（2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可．
【小问1详解】
解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，
将，代入，得，
解得，
∴；
场景B中随变化的函数关系为，
将，代入，得，解得，
∴；
【小问2详解】
解：场景A中当时，；
场景B中，将代入，得，解得，
∵，
∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长．
【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
26. 已知抛物线经过点，点，，在抛物线上．
（1）当时，求抛物线对称轴；
（2）当时，若，比较，，的大小；
（3）若抛物线开口向上，且，，三点中，有两个点在直线的上方，一个点在直线的下方，直接写出的取值范围
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练运用分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入 ，且结合，得，结合对称轴，化简即可作答．
（2）依题意，得，结合，得，根据对称轴公式代入化简，再进行分类讨论，与题意相符合才是正确的，即可作答．
（3）先得到，再结合，，的点的特征以及对称性，即可作答．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴，
化简得，
则对称轴；
【小问2详解】
解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
则对称轴，
∴，
当时，开口向上，越靠近对称轴的所对应的就越小，
∵点在抛物线上．
∴，
∴符合题意，
∴，
∵，在抛物线上，
∴结合对称性，到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
则，
同理 到对称轴的距离小于到对称轴的距离，即，
∴，
当时，开口向下，越靠近对称轴的所对应的就越大，
∵点在抛物线上，
∴，
∴不符合题意，
∴舍去；
【小问3详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴，开口向上，越靠近对称轴的所对应的就越小，
∵且，，三点中，有两个点在直线的上方，一个点在直线的下方，
∴当对称轴在和之间时，取其中点，即，
则时，三个点都在直线的上方，与题意不符合，故舍去；
则时，且，点在直线的上方，在直线的下方，
此时．
27. 在中，，，为边延长线上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，过点作直线．

（1）如图1，当直线恰好过点时，求证：；
（2）如图2，当直线与直线交于点（不与点重合）时，探究线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）见详解 （2），证明见详解
【解析】
【分析】（1）作，由旋转得，，结合等腰三角形三线合一的性质，，由，得，由，，等量代换，即可求解，
（2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，连接、，由四点共圆，，由（1）可得，可证，可得，结合（1）中，等量代换，即可求解，
本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，四点共圆，圆周角定理，解题的关键是：通过角度的转化，找到相似三角形，得到边长的比例关系．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为，

由旋转的性质可得：，
又，，
，，，
，
，
又，
，，
，，
，即：，
，
【小问2详解】
当点在线段上时，连接、，

，，
四点共圆，
，
由（1）可得，
，
，
由（1）得：，
，即：，
，
当点在线段延长线上时，连接、，

，，
四点共圆，
，
由（1）可得，
，
，
由（1）得：，
，即：，
．
28. 在平面直角坐标系中，若点在图形上，则称点为图形的一个“倍点”，已知点和点．
（1）直接写出线段在轴上的“倍点”坐标为 ；
（2）若直线上存在线段 的“倍点”，求的取值范围；
（3）已知以动点为圆心的的半径为4，若和线段有公共的“倍点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了圆的综合，新定义，正确理解题目所给“倍点”的定义，正确画出图形，熟练掌握两点之间的距离公式是解题的关键．
（1）根据题目所给“倍点”的定义，即可解答；
（2）用待定系数法求出的函数解析式为，设点在上，则点M的“倍点”为，得出，则，然后进行分类讨论：当时， 当时，即可解答；
（3）根据“倍点”的定义，得出“倍点”的轨迹和线段“倍点”的轨迹，即可解答．
【小问1详解】
解：∵和点，
∴中点，
∵在y轴上，
∴线段在轴上的“倍点”坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：设的函数解析式为，
把，代入得：
，
解得：，
∴的函数解析式为，
设点在上，则点M的“倍点”为，
将代入得：
，
整理得：，
∴，
∴或，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴k的取值范围为或；
【小问3详解】
解：由（2）得点在上，则点M的“倍点”为，
∵，
∴，
∵的函数解析式为，
∴线段的“倍点”在直线上，
设点A和点B的“倍点”分别为点C和点D，
则，
设点在上，则点E的“倍点”F坐标为，
∵的半径为4，
∴，
∴，
则，
∴的“倍点”在以为圆心，8为半径的圆上，
当经过点D时，，
解得：，

当经过点C时，，
解得：，

∵和线段有公共的“倍点”，
∴或．物理常识
开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．
第天
第天
第天
第天
第天
第天
第天
第组



第组



第组
第组



第天
第天
第天
第天
第天
第天
第天
第组



第组



第组
第组



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