江西省景德镇市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题（Word版附解析）

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命题人：程朝鹏（昌江一中）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 空间四边形中，化简（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的加减运算求解.
【详解】.
故选：B
2. 动圆经过定点，且与轴相切，则圆心的轨迹为（ ）
A. 圆B. 椭圆
C. 双曲线D. 抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识确定正确答案.
【详解】由于动圆经过定点，且与轴相切，
所以到定点的距离，等于到轴的距离，（等于圆的半径）
根据抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线.
故选：D
3. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间中点关于平面对称的知识确定正确答案.
【详解】依题意，点关于平面对称的点坐标是.
故选：A
4. 共轭双曲线与，有（ ）
A. 相同离心率B. 公共焦点
C. 公共顶点D. 公共渐近线
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案.
【详解】双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，
所以BC选项错误.
双曲线对应，
对应离心率为，渐近线方程为.
双曲线对应，
对应离心率为，渐近线方程为，
所以A选项错误，D选项正确.
故选：D
5. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面垂直列方程，从而求得.
【详解】由于，所以，
所以，所以.
故选：B
6. 已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（ ）
①若曲线为椭圆，则且焦距为常数
②曲线不可能是焦点在轴的双曲线
③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围看判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断.
【详解】曲线是椭圆等价于，解得，
且，，则焦距为常数，故①正确；
若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，
为焦点在轴的双曲线，，故②正确.
若，则曲线为，则，
若曲线上存在点，使，
则点在以为直径的圆上，即，
由，解得或，
所以有4个符合条件的点，故③正确,
所以正确的命题有3个.
故选：D
7. 已知直线过点和点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点线距公式求得正确答案.
【详解】，
所以点到直线的距离为：
.
故选：C
8. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程为，设小球大圆圆周方程，联立方程组求出，或，分析，可得最大值.
【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得的坐标为，
设抛物线的标准方程为，则，解得，
故该抛物线的标准方程为，
设小球大圆圆周方程，
联立方程组，解得或，
要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点，
就是抛物线的顶点，所以或无效，
考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即，
所以，解得，
所以最大值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解小球能触及杯盏的底部所满足的条件，从而得解.
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知向量，则（ ）
A. B.
C. D. 向量的夹角为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据空间向量的运算求得正确答案.
【详解】，A选项正确.
，B选项错误.
，C选项正确.
，
所以向量的夹角为，D选项错误.
故选：AC
10. 设抛物线的焦点为，点是上不同的两点，则（ ）
A. 抛物线的准线方程为
B. 若，那么点的横坐标为
C. 若，则线段的中点到轴距离为4
D. 以线段为直径的圆与轴相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抛物线的定义以及方程对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】抛物线，对应，抛物线开口向上，
所以焦点为，准线方程为，A选项正确.
B选项，若，根据抛物线的定义可知，
由得，B选项正确.
C选项，若，根据抛物线的定义可知，
线段的中点到轴的距离为，所以C选项错误.
D选项，设是的中点，则，
根据抛物线的定义可知，所以，
所以：以线段为直径的圆与轴相切，D选项正确.
故选：ABD

11. 已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则下列说法正确的是（ ）

A. 不存在点，使平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 直线与直线的夹角为定角
D. 平面截正方体所得的截面是有一组对边平行的四边形
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线面平行、锥体体积、线线角、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，连接，则是的中点，连接交内切圆于，
由于平面，平面，
所以平面，也即平面，所以A选项错误.

B选项，由于三角形的面积为定值，到平面的距离是定值，
也即到平面的距离为定值，所以为定值，B选项正确.

C选项，设正方形的中心为，则平面，
由于平面，所以，
所以在以为轴，为母线的圆锥的底面圆的圆上，
所以与所成角为定值，也即直线与直线的夹角为定角，C选项正确.

D选项，由于平面平面，
平面平面，设平面平面，
根据面面平行的性质定理可知，所以D选项正确.

故选：BCD
12. 若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，令点到直线的距离为，
由，得，
平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域，
因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为，
对于A，圆上的点到点的距离，显然，

因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是；
对于B，点在抛物线内，由消去得，
显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，

因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是；
对于C，圆上的点在椭圆外，

直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是；
对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，

直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是.
故选：AB
【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算求得正确答案.
详解】依题意，.
故答案为：
14. 焦点为的椭圆上有一点，若线段的中点落在轴上，则______．
【答案】
【解析】
【分析】通过求的坐标来求得.
【详解】椭圆的，
由于线段的中点落在轴上，而是线段的中点，
所以，所以，
由解得，不妨设，
则.
故答案为：
15. 在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果.
【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，，
所以在正三棱柱中，，平面平面，
平面平面，面，所以平面；
又是的中点，所以，所以平面，
故即是与平面所成的角；
设，则，
，所以.
故答案为：.
16. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交与点，若，则该双曲线的离心率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】求得点坐标并代入双曲线的方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】直线的斜率为，倾斜角为，
所以，由于，
所以三角形是等边三角形，所以，
将代入，
得，
整理得，两边除以得，
得，
解得或（舍去）.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 在直三棱柱中，四边形是边长为3的正方形，，，点分别是棱的中点．
（1）求的值；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得.
（2）利用向量法来证得.
【小问1详解】
依题意可知两两相互垂直，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
.
【小问2详解】
因为，
，
.
18. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，离心率为．
（1）求双曲线的方程；
（2）直线与双曲线有唯一的公共点，求的值．
【答案】（1）
（2）或2．
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线方程.
（2）将直线的方程和双曲线的方程联立，对进行分类讨论，从而求得的值.
【小问1详解】
双曲线的焦点为，一条渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
而离心率，且，，方程为.
【小问2详解】
联立，得,
即，
当时，显然有一个解，此时，负根舍去；
当时，，，负根舍去，
综上，或2．
19. 在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点在上，且．

（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与夹角的余弦值.
（2）利用向量法求得点到平面的距离．
【小问1详解】
依题意可知两两相互垂直，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
，，
即异面直线与夹角的余弦值为.
【小问2详解】
设平面的一个法向量，
，
由，得，于是平面的一个法向量，
点到平面的距离．
20. 若中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，焦距长为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）斜率为的直线经过椭圆的左焦点，与椭圆相交于两点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程.
（2）将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及点到直线的距离公式求得正确答案.
【小问1详解】
由已知，得，
设方程为，则，得，
椭圆方程.
【小问2详解】
因为左焦点坐标为，所以可得直线，也即，
设，
联立，得，即，
，．
又因为到直线的距离为，.
21. 某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法来证得平面.
（2）根据二面角的知识求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
取线段中点，连接，
由图1可知，四边形是矩形，且，
在图2中，且，
且，四边形是平行四边形，则，
由于平面，平面，平面．
【小问2详解】
由已知，四边形是矩形，折叠前后都有，
由于平面，所以平面，
由于，所以平面，由于平面，
所以，所以是二面角的平面角，
所以，，
则，，
以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
，
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量，
由，得，于是平面的一个法向量，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
22. 若椭圆截抛物线的准线所得弦长为．
（1）求的值；
（2）倾斜角为的直线与抛物线相交于两点，点，是否存在直线满足？如果存在求出直线方程，如果不存在说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求得抛物线的准线与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，由此求得.
（2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，由来判断符合题意的直线是否存在.
【小问1详解】
依题意，椭圆截抛物线的准线所得弦长为，
设椭圆与抛物线准线的一个交点为，则，
，解得．
【小问2详解】
由（1）得抛物线的方程为，
设的中点为，，
联立，得，
，故，
，，，
解得，即.
但此时，，故不存在．
【点睛】方法点睛：直线和圆锥曲线的位置关系有关问题，可以根据已知条件设出直线的方程，将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，再根据其它条件来对问题进行分析求解，要注意利用判别式来确定交点的个数.