湖北省沙市中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题

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1．C 2. A 3．B 4．C 5．A 6.D 7．C 8．C
（8）【解】：因为为偶函数，所以为奇函数，故关于对称，A正确；
因为为偶函数，所以为奇函数，则的图象关于点对称，B正确；
因为为偶函数，所以关于对称，结合关于对称，可知的周期为4，C错误；
由且关于对称，知，又的周期为4，可知，．由关于对称，又关于对称，可知也关于对称，所以．
因此==0，所以D正确．答案为：C．
9．ABD 10．答案：A B 11．ABD
（11）【解】作出函数的图象，则上有两个最小值点，有一个或两个最大值点，故A、B正确。由于函数上有且只有3个零点，由图象可知，故C错误。当时，，由知，所以在上递减，D正确。
12． 13． 14.
（13）【解】当时，，
当时，，若，则当时，，
则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，
则函数有最小值为满足题意；
若，则当时，，时，，
要使函数有最小值，则，解得；综上，的取值范围是，
（14）【解】作于点，连接，设，则，
所以，在中，由余弦定理可得，
，
因为为直二面角，所以平面平面，
因为平面平面，，且平面，所以平面，因为平面，所以，
则，
当最短时，，所以，
即此时为的角平分线，，
且由角平分线定理可得，，
即，所以，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解】（1）.
（2），当时的最大值为，等价于对于恒成立，
，，，当时，不等式成立，
当，即对于恒成立，
令，
于是在，，递增；在，，递减，
， 的取值范围为
16．【解】（1）依题意，.
（2）该球是甲工厂生产的概率为．
17.【解】（1）与平面所成角的正切值为；
（2）存在点，当时，点到平面的距离为；
18．【解】（1）设，，则，
由题意知，所以，得(，所以，因为，得，故曲线C的方程为．
（2）由题意可知，直线不平行坐标轴，则可设的方程为：，此时直线的方程为． 由，消去得：，
解得：或(舍去)，所以，
所以，同理可得：．
当时，直线的斜率存在，，
则直线的方程为，所以直线过定点．
当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，综上所述：直线过定点．
（3）假设存在点R使得，设，
因为，所以，即，所以，所以，
直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，
设，易知点，直线方程是，令得点P横坐标，直线方程是，令得点Q横坐标，由，得，又在椭圆上，
所以，所以，解得，所以存在点，使得成立．
19.解：（1），当且仅当时等号成立. 数列的最小项为.
（2）数列具有性质P，，
，满足性质（1）；
又即单调递增，满足性质（2） 故数列具有性质P.
（3）先证满足性质（1）
，当时



再证数列满足条件（2）

（，等号取不到），故为递增数列. 即数列具有性质P.