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山东省济南市天桥区2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）
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本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A 1B. C. D.
2. 下列几何体中，主视图是三角形是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A. B. C. D.
5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等
6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，为上三点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（ ）
A. 3B. C. 或 D. 3或
10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ）
A. 或B. 或C. D. 或
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 若，则______．
12. 如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_____．
13. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）．
14. 如图，在等腰中，，以A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积___________________（结果保留π）．
15. 如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数图象上，则k的值为______．
16. 如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点 D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH的最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）__________________．
三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
18. 解方程：
19. 如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：．
20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多，为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
21. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则
（1）点B到的距离为多少米？
（2）塔顶到地面的高度约为多少米？
（参考数据：，，，）
22. 如图，点是直径延长线上一点，与相切于点，延长线于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径长
23. 在我国，博物馆是最受欢迎旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．
（1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．
（2）如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？
24 如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；
（3）将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为 ．
25. 如图，在矩形中，，点，P分别在边，上（均不与端点重合)，且，以AP和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．
26. 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．
第I卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的相反数是（ ）
A 1B. C. D.
2. 下列几何体中，主视图是三角形是（ ）
A. B. C. D.
3. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 若两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是（ ）
A. B. C. D.
5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等D. 对角线互相垂直平分且相等
6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，为上三点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若，，，则点D的对应点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当t为何值时，与相似（ ）
A. 3B. C. 或 D. 3或
10. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ）
A. 或B. 或C. D. 或
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 若，则______．
12. 如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是_____．
13. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）．
14. 如图，在等腰中，，以A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，则阴影部分的面积___________________（结果保留π）．
15. 如图，在Rt△AOB中，，，顶点A，B分别在反比例函数和反比例函数图象上，则k的值为______．
16. 如图，矩形中，AB=2，，动点P从点A出发向终点 D运动，连接BP，并过点C作CHBP，垂足为H．以下结论：①；②AH的最小值为；③在运动过程中，BP扫过的面积等于；④在运动过程中，点H的运动路径的长为，其中正确的有（填写序号）__________________．
三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
18. 解方程：
19. 如图，在菱形中，、分别是和的中点，连接、．求证：．
20. 随着科技的进步，购物支付方式日益增多，为了解某社区居民支付的常用方式（A微信，B支付宝，C现金，D其他），某学习小组对红星社区部分居民进行问卷调查，根据查结果，绘制成如图统计图．
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）______，______，在扇形统计图中C种支付方式所对应的圆心角为______度；
（2）本次调查中用现金支付方式的居民里有2名男性，其余都是女性，现从该种支付方式中随机选2名居民参加线上支付方式培训，求恰好都是女性的概率．
21. 数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角，台阶长26米，台阶坡面的坡度，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角，则
（1）点B到的距离为多少米？
（2）塔顶到地面的高度约为多少米？
（参考数据：，，，）
22. 如图，点是直径延长线上一点，与相切于点，延长线于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径长
23. 在我国，博物馆是最受欢迎旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人．
（1）求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率．
（2）如果能保持这个月平均增长率，第三季度（7月~9月）该馆接待游客总量能否达到50万人？
24 如图，直线与双曲线交于A（1，8），B（4，n）两点，与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）设点P是y轴上的一个动点，当△APB的周长最小时，请求出点P的坐标；
（3）将直线向下平移t个单位后，与双曲线有唯一交点，t的值为 ．
25. 如图，在矩形中，，点，P分别在边，上（均不与端点重合)，且，以AP和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图③，当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长．
26. 如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）P是抛物线上，位于直线上方的一个动点，过点P作于点D，求P坐标为何值时最大，并求出最大值；
（3）如图②，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
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