所属成套资源:2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷【精讲+精练】(提升版)(原卷版+解析版)
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2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 5.1 三角函数的定义(精讲)(提升版)(原卷版+解析版)
展开这是一份2024年新高考数学专用第一轮复习讲义一隅三反提升卷 5.1 三角函数的定义(精讲)(提升版)(原卷版+解析版),共21页。试卷主要包含了三角函数的定义,判断三角函数值的正负,三角函数线等内容,欢迎下载使用。
考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】 (2023·广东广东·一模)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A、B、C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是______.
【例1-2】 (2023·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习)已知点,是圆:上两点,动点从出发,沿着圆周按逆时针方向走到,其路径长度的最小值为( )
A.B.
C.D.
【例1-3】 (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习(文))在长方体中,,,,点P在长方体的面上运动,且满足,则P的轨迹长度为( )
A.12πB.8πC.6πD.4π
【一隅三反】
1. (2023·全国·高三专题练习)希波克拉底是古希腊医学家,他被西方尊为“医学之父”,除了医学,他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若,,则该月牙形的面积为( )
A.B.C.D.
2. (2023·全国·高三专题练习)在棱长为6的正方体中,点是线段的中点,是正方形(包括边界)上运动,且满足,则点的轨迹周长为________.
3. (2023·上海·高三专题练习)若球的半径为(为常量),且球面上两点,的最短距离为,经过,两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为,则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为___________.
考点二 三角函数的定义
【例2-1】 (2023·河南)在平面直角坐标系中,角的终边经过点,则的值是( )
A.B.或C.D.
【例2-2】 (2023·全国·模拟预测)已知角,的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,角的终边过点,将角的终边顺时针旋转得到角的终边,则( )
A.B.C.D.
【一隅三反】
1. (2023·内蒙古赤峰·高三期末(文))在平面直角坐标系中,角和角的顶点均与原点O重合,始边均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于直线对称,若,则( )
A.B.C.D.
2. (2023·新疆昌吉·一模(文))在平面直角坐标系中,已知角的终边与圆相交于点,角满足,则的值为( )
A.B.C.D.
3. (2023·重庆八中高三阶段练习)在平面直角坐标系中,角的始边为轴的非负半轴,终边与单位圆的交点在第一象限内.若,则( )
A.B.C.D.
考点三 判断三角函数值的正负
【例3-1】. (2023·全国·高三专题练习)已知角第二象限角,且,则角是( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
【例3-2】 (2023·陕西·西安中学模拟预测(文))已知,则( )
A.B.C.D.
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习(理))若,的化简结果是( ).
A.B.C.D.
【一隅三反】
1. (2023·重庆八中高三阶段练习)(多选)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,若,则下列各式的符号无法确定的是( )
A.B.C.D.
2 (2023·全国·高三专题练习)已知是第二象限角,则下列选项中一定正确的是( )
A.B.C.D.
3. (2023·全国·高三专题练习(理))如图,在平面直角坐标系中,点为阴影区域内的动点(不包括边界),这里,则下列不等式恒成立的是( )
A.B.C.D.
考点四 三角函数线
【例4-1】 (2023·河南·高三阶段练习(文))已知,,,则( )
A.B.C.D.
【例4-2】 (2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习)已知,则的大小关系是( )
A.B.
C.D.
【一隅三反】
1. (2023·全国·高三专题练习)已知点在第一象限,则在内的的取值范围是( )
A.B.
C.D.
2. (2023·全国·高三专题练习)设,则下列命题:①;②;③是单调减函数.其中真命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
3. (2023·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中,是圆上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以O?为始边,OP为终边,若,则P所在的圆弧是
A.B.
C.D.
5.1 三角函数的定义(精讲)(提升版)
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 扇形的弧长与面积
【例1-1】 (2023·广东广东·一模)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形ABC,再分别以点A、B、C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是______.
【答案】
【解析】由条件可知,弧长,等边三角形的边长,则以点A、B、C为圆心,圆弧所对的扇形面积为,中间等边的面积
所以莱洛三角形的面积是.故答案为:
【例1-2】 (2023·江苏·徐州市第七中学高三阶段练习)已知点,是圆:上两点,动点从出发,沿着圆周按逆时针方向走到,其路径长度的最小值为( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】设点在的终边,在的终边上,设,
,优弧的圆心角为
弧长=,故选:C
【例1-3】 (2023·贵州·贵阳一中高三阶段练习(文))在长方体中,,,,点P在长方体的面上运动,且满足,则P的轨迹长度为( )
A.12πB.8πC.6πD.4π
【答案】C
【解析】如图,在左侧面的轨迹为弧,在后侧面的轨迹为弧,在右侧面的轨迹为弧,在前侧面内的轨迹为弧.
易知,,又,,∴,则,
∴P的轨迹长度为6π,故选:C.
【一隅三反】
1. (2023·全国·高三专题练习)希波克拉底是古希腊医学家,他被西方尊为“医学之父”,除了医学,他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧,两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分,若,,则该月牙形的面积为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为,,所以,所以,
设的外接圆的圆心为O,半径为R,如图所示,
由正弦定理得,所以,
内侧圆弧为的外接圆的一部分,且其对应的圆心角为,
则弓形的面积为,
外侧的圆弧以为直径,所以半圆的面积为,
则月牙形的面积为.故选:A.
2. (2023·全国·高三专题练习)在棱长为6的正方体中,点是线段的中点,是正方形(包括边界)上运动,且满足,则点的轨迹周长为________.
【答案】
【解析】如图,在棱长为6的正方体中,
则平面,平面,
又,在平面上,,,
又,,
,即,
如图,在平面中,以为原点,分别为轴建立平面直角坐标系,
则,,,
由,知,
化简整理得,,圆心,半径的圆,
所以点的轨迹为圆与四边形的交点,即为图中的
其中,,,则
由弧长公式知
故答案为:.
3. (2023·上海·高三专题练习)若球的半径为(为常量),且球面上两点,的最短距离为,经过,两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为,则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为___________.
【答案】
【解析】因为球的半径为,球面上两点,的最短距离为,所以,
设经过,两点的平面截球所得的圆面为圆,则平面,且,
所以截面圆圆的半径,
连接,因为,,所以线段,
在中,,,
由余弦定理可得:,所以,
所以在此圆面上劣弧所在的弓形面积为扇形的面积减去的面积,
即为: ,故答案为:.
考点二 三角函数的定义
【例2-1】 (2023·河南)在平面直角坐标系中,角的终边经过点,则的值是( )
A.B.或C.D.
【答案】D
【解析】.
因为,,,所以,所以,故选:D.
【例2-2】 (2023·全国·模拟预测)已知角,的顶点为坐标原点,始边与x轴正半轴重合,角的终边过点,将角的终边顺时针旋转得到角的终边,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题知,点到原点的距离为,,,.故选:C.
【一隅三反】
1. (2023·内蒙古赤峰·高三期末(文))在平面直角坐标系中,角和角的顶点均与原点O重合,始边均与x轴的非负半轴重合,它们的终边关于直线对称,若,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】角和角的终边关于直线对称,则,.
.故选:C.
2. (2023·新疆昌吉·一模(文))在平面直角坐标系中,已知角的终边与圆相交于点,角满足,则的值为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由三角函数定义可知,,
,,,故选:.
3. (2023·重庆八中高三阶段练习)在平面直角坐标系中,角的始边为轴的非负半轴,终边与单位圆的交点在第一象限内.若,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为角的终边与单位圆的交点在第一象限内,所以,.
因为,所以,即,
将代入,得,即,
解得,
当时,(舍);
当时,;
所以.故选:C.
考点三 判断三角函数值的正负
【例3-1】. (2023·全国·高三专题练习)已知角第二象限角,且,则角是( )
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
【答案】C
【解析】因为角第二象限角,所以,
所以,
当是偶数时,设,则,此时为第一象限角;
当是奇数时,设,则,此时为第三象限角.;
综上所述:为第一象限角或第三象限角,
因为,所以,所以为第三象限角.故选:C.
【例3-2】 (2023·陕西·西安中学模拟预测(文))已知,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为,所以,,
所以
另解:因为,所以,,所以
.故选:C
【例3-3】 (2023·全国·高三专题练习(理))若,的化简结果是( ).
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由,,得,
故选:C.
【一隅三反】
1. (2023·重庆八中高三阶段练习)(多选)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,若,则下列各式的符号无法确定的是( )
A.B.C.D.
【答案】AC
【解析】由三角函数定义,,
所以,对于A选项,当时,,时,,时,,所以选项A符号无法确定;
对于B选项, ,所以选项B符号确定;
对于C选项,,故当时,,时,,时,,所以选项C的符号无法确定;
对于D选项,,所以选项D符号确定.
所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.
故选:AC.
2 (2023·全国·高三专题练习)已知是第二象限角,则下列选项中一定正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为是第二象限角,所以,,则,,
所以为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上,所以选项A不一定正确;
可能不存在,选项B也不一定正确;又,,是第一象限或第三象限角,
则选项C正确,选项D不一定正确.故选:C.
3. (2023·全国·高三专题练习(理))如图,在平面直角坐标系中,点为阴影区域内的动点(不包括边界),这里,则下列不等式恒成立的是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由于,则.设与相平行的直线的方程为,
当直线过点时,;
当直线过点和时,;
直线过点和时,.
则由图中阴影部分可得或,
这里.则一定有.
考点四 三角函数线
【例4-1】 (2023·河南·高三阶段练习(文))已知,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为时,,,所以,
又,所以故选:D
【例4-2】 (2023·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习)已知,则的大小关系是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】先证明:当0<x<时,
如图,角x终边为OP,其中点P为角x的终边与单位圆的交点,PM⊥x轴,交x轴与点M,
A点为单位圆与x轴的正半轴的交点,AT⊥x轴,交角x终边于点T,
则有向线段MP为角x的正弦线,有向线段AT为角x的正切线,设弧PA=l=x×1=x,
由图形可知:S△OAP<S扇形OAP<S△OAT,
即
所以<<,即
所以
又由函数在上单调递增,所以
又由函数在上单调递减,则
所以
所以,即
故选:C.
【一隅三反】
1. (2023·全国·高三专题练习)已知点在第一象限,则在内的的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由已知点在第一象限得:
,,即,,
当,可得,.
当,可得或,.
或,.
当时,或.
,
或.
故选:B.
2. (2023·全国·高三专题练习)设,则下列命题:①;②;③是单调减函数.其中真命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】对于①,在如图所示的单位圆中,
设,则,因为,
所以由可得,即,所以①正确;
对于②,令,
所以,
因为,所以,
所以在上递增,所以,即,即,
所以②正确;
对于③,因为,所以,由②知,
所以,所以为上的递减函数,故③正确.
故选:D
3. (2023·全国·高三专题练习(文))在平面直角坐标系中,是圆上的四段弧(如图),点P在其中一段上,角以O?为始边,OP为终边,若,则P所在的圆弧是
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由下图可得:有向线段为余弦线,有向线段为正弦线,有向线段为正切线.
A选项:当点在上时,,
,故A选项错误;
B选项:当点在上时,,,
,故B选项错误;
C选项:当点在上时,,,
,故C选项正确;
D选项:点在上且在第三象限,,故D选项错误.
综上,故选C.
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