2024年新高考数学培优专练10 数列求和方法之错位相减法（原卷版+解析）

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1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（ ）
A．-3+(n+1)×2nB．3+(n+1)×2n
C．1+(n+1)×2nD．1+(n-1)×2n
二、解答题
2．在公差不为零的等差数列中，前五项和，且，，依次成等比数列，数列的前项和满足（）.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n﹣1.
(1)求数列{an}的通项公式，
(2)设函数f(x)＝()x，数列{bn}满足条件b1＝f(﹣1)，f(bn+1)．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn，求数列{cn}的前n项和Tn．
4．数列的前项和，数列的前项和，满足.
（1）求及；
（2）设数列的前项和为，求并证明：.
5．已知数列是公差不为零的等差数列，若，且、、成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝3an－3，其中n∈N*．
（1）证明：数列{an}为等比数列；
（2）设bn＝2n－1，cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn．
7．已知等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
8．已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
（3）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.
9．已知数列满足，.设.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和为.
10．已知等比数列满足，.
（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”；
（2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和.
11．已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
12．已知各项都大于1的数列{an}的前n项和为Sn，4Sn－4n＋1＝an2：数列{bn}的前n项和为Tn，bn＋Tn＝1.
（1）分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn＝anbn，若对任意的n∈N*.不等式5(λn＋3bn)－2bnSn>λn(c1＋c2＋c3＋…＋cn)恒成立，试求实数λ的取值范围.
13．已知等差数列的前n项的和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
14．记等比数列的前n项和为，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
15．已知数列的前n项的和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16．已知数列中，，.
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
17．已知数列{an}的首项为0，且2anan+1+an+3an+1+2＝0.
（1）证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}的前n项和为Sn，且，若不等式(-1)nλ＜Sn+3×2n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.
18．已知等比数列{an}的公比大于1，且满足a3+a5＝90，a4＝27．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bn＝lg3an，求数列{an(bn+1)}的前n项和Tn.
19．已知在等差数列中，，其前8项和.
（1）求数列的通项公式﹔
（2）设数列满足，求的前项和.
20．已知等差数列的前项和为，，和的等差中项为.
（1）求及；
（2）设，求数列的前项和.
21．甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n项和为，已知____________，
（1）判断的关系并给出证明.
（2）若，设，的前n项和为，证明.
甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.
22．已知数列中，且满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式;
（2）求证：对于数列，的充要条件是.
23．数列的前n项和为，若，点在直上.
（1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和；
24．已知数列，，满足，.
（1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，证明：.
25．已知是递增的等差数列，、是方程的根
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
三、填空题
50．求和____________. (用数字作答)