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2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县高二（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平县高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|−7A. {x|−7C. {x|−72.已知直线mx−y−4=0与直线(2m−5)x+3y+2=0平行，则实数m=( )
A. −5B. 1C. −12D. 3
3.已知O是坐标原点，F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，M(32,3)是C上一点，则线段OF的长度为( )
A. 9B. 92C. 3D. 32
4.圆C1：(x−1)2+(y−2)2=4与圆C2：(x+2)2+(y+2)2=49的位置关系是( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
5.已知偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，则满足f(3x+2)A. (−∞,−2)∪(23,+∞)B. (23,+∞)
C. (−2,23)D. (−∞,−2)
6.已知空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,b,c共面，则实数z的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 2cm，下底直径为9 2cm，喉部(中间最细处)的直径为8cm，则该塔筒的高为( )
A. 272cmB. 18cmC. 27 22cmD. 18 2cm
8.如图，已知椭圆x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆的面积为3π，设A，B两点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|y1−y2|的值为( )
A. 3
B. 2
C. 3 52
D. 5 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于x，y的方程x24−m+y2m−2=1表示的曲线是E，则曲线E可以是( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，AP=a，AB=b，AD=c，若PE=ED，CF=2FP，则( )
A. BE=12a−12b+c
B. BF=23a−23b+13c
C. DF=23a+13b−23c
D. EF=16a−13b+16c
11.已知将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数g(x)的最大值是2
B. 函数g(x)在(−π12,5π12)上单调递增
C. 函数g(x)的图象可由函数y=2cs2x+1的图象向右平移5π12个单位长度得到
D. 若关于x的方程g(x)−m=0在区间[π12,π2]上有两个不同的实根，则m∈[ 3+1,3)
12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，M，N分别为棱A1D1，AA1的中点，则下列结论正确的是( )
A. MN//平面ABC1
B. B1D⊥平面CMN
C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为 63
D. 若P为线段A1C1上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z满足(1−2i)z=10，则|z|= ______．
14.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，A(3,4)，P为C上一点，则|PA|+|PF|的最小值为______．
15.在△ABC中，点D是边AB上的动点(点D异于A，B)，且CE=13CD，若CE=λCA+μCB，则3λ+1μ的最小值为______．
16.已知F1，F2分别是双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点，经过点F2且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P，且P在第四象限，四边形PF1QF2为平行四边形，若C的离心率的取值范围是[ 213, 5]，则直线QF2的倾斜角α的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=2π3，5a=7b．
(1)求sinB的值；
(2)若a=7，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知双曲线C：x2−y23=1的右焦点与抛物线E的焦点重合．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M，N两点，求线段MN的长度．
19.(本小题12分)
2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，并制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替)；
(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从[80,90)，[90,100]中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB1=2，D，E，F分别为AA1，B1C1，AB的中点．
(1)证明：EF//平面ACC1A1；
(2)求直线CE与平面DEF所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2+10x−14y+70=0．
(1)若直线l1过点P(−3,1)且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)设直线l：12x+5y+12=0与圆C相交于A，B两点，点Q为圆C上异于A，B的动点，求△ABQ的面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e= 32，P为C上一点，△PF1F2的面积的最大值为 3．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y=kx+m(k>0)与圆x2+y2=b2相切，与椭圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|−7∴A∩B={x|−4故选：B．
利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵直线mx−y−4=0与直线(2m−5)x+3y+2=0平行，
∴m×3−(−1)×(2m−5)=0，解得m=1．
当m=1时，直线x−y−4=0与直线−3x+3y+2=0平行，故m=1．
故选：B．
根据直线平行的条件求解即可．
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由M(32,3)是C上一点，得32=3p，
解得p=3，所以|OF|=p2=32．
故选：D．
根据点在抛物线上，求得抛物线方程即可求解．
本题主要考查抛物线的方程及运用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：圆C1的圆心坐标为C1(1,2)，半径r1=2，
圆C2的圆心坐标为C2(−2,−2)，半径r2=7，
因为|C1C2|= (1+2)2+(2+2)2=5=r2−r1，所以圆C1与圆C2内切．
故选：D．
根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，
则f(x)在[0,+∞)上递减
则f(3x+2)4，
解可得：x<−2或x>23，即不等式的解集为(−∞,−2)∪(23,+∞)．
故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得f(3x+2)4，解可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，因为a,b,c共面，所以存在实数对(x,y)，使得c=xa+yb，
即(5,2,z)=x(1,0,3)+y(2,1,0)=(x+2y,y,3x)，
所以x+2y=5,y=2,3x=z,解得x=1,y=2,z=3.
故选：D．
根据题意，由空间向量基本定理可得存在实数对(x,y)，使得c=xa+yb，由此可得关于x、y、z的方程组，进而求出x、y、z的值，即可得答案．
本题考查空间向量基本定理，涉及向量的共面，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设A与B分别为上，下底面对应点，
设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
因为双曲线的离心率为 10= 1+(ba)2，
所以b2=9a2，
又喉部(中间最细处)的直径为8cm，
所以2a=8，a=4，
所以双曲线的方程为x216−y2144=1．
由题意可知xA=3 2，xB=9 22代入双曲线方程，
得yA=3 2，yB=−21 22，
则yA−yB=27 22，
则该塔筒的高为27 22．
故选：C．
结合双曲线的性质求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由椭圆的方程可知a=5，b=3，所以c=4，
设内切圆的半径为r，则πr2=3π，可得r= 3，
S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|=12⋅r⋅4a，
即2×4⋅|y1−y2|= 3⋅4×5，
解得|y1−y2|=5 32．
故选：D．
由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由三角形的内切圆的面积，可得内切圆的半径，由三角形的面积的表达式，可得|y1−y2|的值．
本题考查椭圆的性质的应用及三角形面积的求法，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：当4−m=m−2>0时，m=3，方程x24−m+y2m−2=1可以化简为x2+y2=1，曲线E是圆；
当4−m>0，m−2>0且4−m≠m−2时，2当(4−m)(m−2)<0时，m<2或m>4，曲线E是双曲线．
故选：ABC．
根据圆，双曲线和椭圆的性质即可分类讨论求解．
本题考查了曲线与方程，圆，双曲线和椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，BE=AE−AB=12(AP+AD)−AB=12a−b+12c，故选项A错误；
对于选项B，BF=AF−AB=AC+CF−AB=AC+23CP−AB=23AP+13AC−AB=23AP−23AB+13AD=23a−23b+13c，故选项B正确；
对于选项C，DF=BF−BD=23a−23b+13c−(c−b)=23a−23b+13c−c+b=23a+13b−23c，故选项C正确；
对于选项D，EF=BF−BE=(23a−23b+13c)−(12a−b+12c)=16a+13b−16c，故选项D错误．
故选：BC．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin[2(x−π6)]=sin(2x−π3)，
然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x−π3)，再向上平移1个单位长度，
得到函数g(x)=2sin(2x−π3)+1的图象．
对于A项，由正弦函数sinx∈[−1,1]，得y=sin(2x−π3)∈[−1,1]，则g(x)max=2+1=3，故A错误；
对于B项，由x∈(−π12,5π12)，则2x−π3∈(−π2,π2)，又正弦函数y=sinx在(−π2,π2)上单调递增，所以g(x)在(−π12,5π12)上单调递增，故 B正确；
对于C项，函数y=2sin2x+1的图象向右平移π6个单位，
可得其函数解析式为y=2sin[2(x−π6)]+1=2sin(2x−π3)+1，故C正确；
对于D项，由x∈[π12,π2]，令t=2x−π3∈[−π6,2π3]，则g(x)=h(t)=2sint+1∈[ 3+1,3]，
其图象如图所示，则m∈[ 3+1,3)，故D正确．
故选：BCD．
根据图象变换求出函数g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质利用整体代换思想对各个选项逐个分析即可判断求解．
本题考查了三角函数的图像变换，正弦函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，
M，N分别为棱A1D1，AA1的中点，
以B为坐标原点，BC、BA、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,4,0)，C(2,0,0)，D(2,4,0)，
A1(0,4,4)，B1(0,0,4)，C1(2,0,4)，
D1(2,4,4)，M(1,4,4)，N(0,4,2)，
对于A，∵NM=(1,0,2),BC1=(2,0,4)=2NM，
∴BC1//MN，又BC1⊂平面ABC1，MN⊄平面ABC1，
∴MN//平面ABC1，故A正确；
对于B：B1D=(2,4,−4),CM=(−1,4,4),CN=(−2,4,2)，
设平面CMN的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CM=−x+4y+4z=0m⋅CN=−2x+4y+2z=0，
令z=1，得平面CMN的一个法向量为m=(−2,−32,1)，
∵B1D与m=(−2,−32,1)不平行，
∴B1D⊥平面CMN不成立，故B错误；
对于C：CN=(−2,4,2),AB=(0,−4,0)，
设异面直线CN和AB 所成的角为θ，
则csθ=|cs〈CN,AB〉|=|CN⋅AB||CN|⋅|AB|=|−16| 4+16+4×4= 63，故C错误；
对于 D，设A1P=λA1C1=(2λ,−4λ,0)(λ∈[0,1])，
∴CP=CA1+A1P=(2λ−2,4−4λ,4)，
又平面CMN的一个法向量为m=(−2,−32,1)，
∴点P到平面CMN的距离d=|m⋅CP||m|=2λ+2 292，不是定值，故D正确．
故选：AD．
建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、点到平面距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】2 5
【解析】解：根据题意，(1−2i)z=10，则z=101−2i=10(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+4i，
则|z|= 4+16=2 5．
故答案为：2 5．
根据题意，由复数的计算公式求出z的值，进而计算可得答案．
本题考查复数的计算，涉及复数模的计算，属于基础题．
14.【答案】5
【解析】解：如图，过P作准线的垂线，垂足为B，
则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|，
显然点P在抛物线内，则当P，A，B三点共线时，
|PA|+|PB|最小，其最小值为4+1=5．
故答案为：5．
根据抛物线的几何性质，数形结合，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
15.【答案】12+6 3
【解析】解：依题意CE=13CD=λCA+μCB,CD=3λCA+3μCB，
由于A，D，B三点共线，所以3λ+3μ=1，
而CD=CB+BD=CB+xBA=CB+x(CA−CB)=xCA+(1−x)CB，
由于点D是边AB上的动点(点D异于A，B)，
所以00，所以λ，μ为正数，
所以3λ+1μ=(3λ+1μ)(3λ+3μ)=12+9μλ+3λμ≥12+2 9μλ⋅3λμ=12+6 3，
当且仅当9μλ=3λμ,λ= 3μ=3− 36时等号成立．
故答案为：12+6 3．
先求得λ，μ的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案．
本题考查了平面向量基本定理和基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】[2π3,3π4]
【解析】解：由双曲线的对称性可知Q也在双曲线的渐近线上，且Q在第二象限，
由PF2⊥y轴，
可知QF1⊥y轴，
所以可设Q(x0,c)，
又Q在渐近线y=−abx上，
所以Q(−bca,c)，
所以tanα=kQF2=−2ab，
因为C的离心率的取值范围是[ 213, 5]，
所以ba= (ca)2−1∈[2 33,2]，
即tanα∈[− 3,−1]，
又α∈[0,π)，
所以α∈[2π3,3π4]．
故答案为：[2π3,3π4]．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解．
本题考查了双曲线的性质，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为5a=7b，则由正弦定理可得：5sinA=7sinB，
所以sinB=5sinA7=5× 327=5 314；
(2)若a=7，则b=5，
由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA，即49=25+c2−2×5×c×(−12)，
即c2+5c−24=0，解得c=3或−5(舍去)，
所以三角形ABC的面积为S=12bcsinA=12×5×3× 32=15 34．
【解析】(1)利用正弦定理以及已知关系化简即可求解；(2)先求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，然后根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知双曲线C的方程为x2−y23=1，
此时a2=1，b2=3，
所以c2=a2+b2=4，
解得c=2，
则双曲线C的右焦点为(2,0)，
因为双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，
不妨设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0)，焦点为(p2,0)，
此时p2=2，
解得p=4，
则抛物线E的标准方程为y2=8x；
(2)由(1)知a2=1，
所以双曲线C的右顶点为(1,0)，
因为直线l过点(1,0)且斜率为2，
所以直线l的方程为y=2(x−1)，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=2(x−1)y2=8x，消去y并整理得x2−4x+1=0，
由韦达定理得x1+x2=4，x1x2=1，
则|MN|= (x1−x2)2+(y1−y2)2= 5(x1−x2)2
= 5⋅ (x1+x2)2−4x1x2=2 15．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系得到双曲线C的右焦点，设出抛物线E的方程，根据双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，列出等式，即可求出物线E的标准方程；
(2)设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.005×2+a+0.02+0.03+0.025)×10=1，
解得a=0.015，
平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
(2)[80,90)内的频率为0.25，[90,100)内的频率为0.05，
比例分配的分层随机抽样方法，从[80,90)，[90,100]中抽取6人，
则从[80,90)内抽取6×+0.05=5人，记为1，2，3，4，5，
从[90,100)内抽取6×+0.005=1人，记为6，
从这6人中随机抽取2人进行采访，基本事件有：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，
{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，
接受采访的2人中有人成绩在[90,100]包含的基本事件有：
{1,6}，{2,6}，{3,6}，{4,6}，{5,6}，共5种，
∴接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率为P=515=13．
【解析】(1)根据频率分布直方图中频率之和为1，求出a，由此能求出平均数；
(2)根据分层抽样、古典概型、列举法能求出接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】(1)证明：取AC的中点G，连接FG，C1G，
∵F，G分别为AB，AC的中点，∴FG//BC，FG=12BC，
又E为B1C1的中点，BC//B1C1，BC=B1C1，
∴FG//EC1，FG=EC1，
∴四边形EFGC1是平行四边形，
∴EF//C1G.
又EF⊄平面ACC1A1，C1G⊂平面ACC1A1，
∴EF//平面ACC1A1；
(2)解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
又BA，BC⊂平面ABC，∴BB1⊥BA，BB1⊥BC，
又BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0,2,0)，D(2,0,1)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴FE=(−1,1,2)，FD=(1,0,1)，CE=(0,−1,2)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅FE=−x+y+2z=0n⋅FD=x+z=0，
令x=1，得n=(1,3,−1)
设直线CE与平面DEF所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈n,CE〉|=|n⋅CE|n|⋅|CE||=|1×0+3×(−1)+(−1)×2 12+32+(−1)2⋅ 02+(−1)2+22|= 5511，
即直线CE与平面DEF所成角的正弦值为 5511．
【解析】(1)取AC的中点G，连接FG，C1G，利用线线平行证明线面平行；
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值．
本题主要考查线面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)圆C：x2+y2+10x−14y+70=0，化为标准方程为：(x+5)2+(y−7)2=4，
所以圆心C(−5,7)，半径r=2，
当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=−3，
圆心C到直线l1的距离为2=r，l1与圆C相切；
当直线l1斜率存在时，设直线l1的方程为y−1=k(x+3)，即kx−y+3k+1=0，
由直线l1与圆C相切，得圆心C到直线l1的距离为|−5k−7+3k+1| 1+k2=2，
解得k=−43，
所以直线l1的方程为4x+3y+9=0；
综上所述：直线l1的方程为x=−3或4x+3y+9=0．
(2)到直线l2的距离为d=|−60+35+12| 122+52=1，
所以|AB|=2 r2−d2=2 3，
因为点Q为圆C上异于A，B的动点，
所以点Q到直线l2的距离h≤r+d=3，
所以△ABQ的面积S=12×|AB|×h≤12×|AB|×(r+d)=12×2 3×3=3 3，
当CQ⊥l2，且Q，l2在圆心C的同侧时，等号成立，
所以△ABQ的面积的最大值为3 3．
【解析】(1)分直线l1斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果；
(2)当直线与圆相交时，利用垂径定理可以求出弦长，再判断当点Q到直线l2的距离为r+d=3时，△ABQ的面积最大，利用面积公式即可求得结果．
本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值问题，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知，当△PF1F2面积最大时，
S△PF1F2=bc= 3，又ca= 32，a2=b2+c2，
解得：a=2，b=1，
故C的方程为x24+y2=1；
(2)如图，
因为直线l：y=kx+m(k>0)与圆x2+y2=b2相切，
则d=|m| k2+1=b=1，即m2=1+k2，
设M(x1,y1)N(x2,y2)，
联立方程y=kx+mx24+y2=1，消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0，
则Δ=(8km)2−4(4k2+1)(4m2−4)=16(4k2−m2+1)>0，即4k2+1>m2=1+k2，显然成立，
所以x1+x2=8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1，
所以|MN|= k2+1 (x1+x2)2−4x1x2= k2+1⋅ 64k2m2(4k2+1)2−16m2−164k2+1=2，
整理得4(4k2−m2+1)(k2+1)=(4k2+1)2，又m2=1+k2，
解得k= 22(负值舍去)，则m=± 1+k2=± 1+12=± 62，
所以直线l的方程y= 22x+ 62或y= 22x− 62．
【解析】(1)由题意知求得b，结合离心率解得a，则椭圆方程可得；
(2)利用直线和圆相切，得到一个方程，后利用弦长得到另一个方程，联立求解即可．
本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
1.已知集合A={x|−7
A. −5B. 1C. −12D. 3
3.已知O是坐标原点，F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，M(32,3)是C上一点，则线段OF的长度为( )
A. 9B. 92C. 3D. 32
4.圆C1：(x−1)2+(y−2)2=4与圆C2：(x+2)2+(y+2)2=49的位置关系是( )
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
5.已知偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，则满足f(3x+2)
C. (−2,23)D. (−∞,−2)
6.已知空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,b,c共面，则实数z的值为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为 10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 2cm，下底直径为9 2cm，喉部(中间最细处)的直径为8cm，则该塔筒的高为( )
A. 272cmB. 18cmC. 27 22cmD. 18 2cm
8.如图，已知椭圆x225+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆的面积为3π，设A，B两点的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则|y1−y2|的值为( )
A. 3
B. 2
C. 3 52
D. 5 32
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知关于x，y的方程x24−m+y2m−2=1表示的曲线是E，则曲线E可以是( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
10.如图，在四棱锥P−ABCD中，AP=a，AB=b，AD=c，若PE=ED，CF=2FP，则( )
A. BE=12a−12b+c
B. BF=23a−23b+13c
C. DF=23a+13b−23c
D. EF=16a−13b+16c
11.已知将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数g(x)的最大值是2
B. 函数g(x)在(−π12,5π12)上单调递增
C. 函数g(x)的图象可由函数y=2cs2x+1的图象向右平移5π12个单位长度得到
D. 若关于x的方程g(x)−m=0在区间[π12,π2]上有两个不同的实根，则m∈[ 3+1,3)
12.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，M，N分别为棱A1D1，AA1的中点，则下列结论正确的是( )
A. MN//平面ABC1
B. B1D⊥平面CMN
C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为 63
D. 若P为线段A1C1上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知复数z满足(1−2i)z=10，则|z|= ______．
14.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，A(3,4)，P为C上一点，则|PA|+|PF|的最小值为______．
15.在△ABC中，点D是边AB上的动点(点D异于A，B)，且CE=13CD，若CE=λCA+μCB，则3λ+1μ的最小值为______．
16.已知F1，F2分别是双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的上、下焦点，经过点F2且与y轴垂直的直线与C的一条渐近线相交于点P，且P在第四象限，四边形PF1QF2为平行四边形，若C的离心率的取值范围是[ 213, 5]，则直线QF2的倾斜角α的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=2π3，5a=7b．
(1)求sinB的值；
(2)若a=7，求△ABC的面积．
18.(本小题12分)
已知双曲线C：x2−y23=1的右焦点与抛物线E的焦点重合．
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)若过双曲线C的右顶点且斜率为2的直线l与抛物线E交于M，N两点，求线段MN的长度．
19.(本小题12分)
2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，并制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替)；
(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从[80,90)，[90,100]中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率．
20.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB1=2，D，E，F分别为AA1，B1C1，AB的中点．
(1)证明：EF//平面ACC1A1；
(2)求直线CE与平面DEF所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知圆C：x2+y2+10x−14y+70=0．
(1)若直线l1过点P(−3,1)且与圆C相切，求直线l1的方程；
(2)设直线l：12x+5y+12=0与圆C相交于A，B两点，点Q为圆C上异于A，B的动点，求△ABQ的面积的最大值．
22.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e= 32，P为C上一点，△PF1F2的面积的最大值为 3．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y=kx+m(k>0)与圆x2+y2=b2相切，与椭圆C交于M，N两点，且|MN|=2，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|−7
利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵直线mx−y−4=0与直线(2m−5)x+3y+2=0平行，
∴m×3−(−1)×(2m−5)=0，解得m=1．
当m=1时，直线x−y−4=0与直线−3x+3y+2=0平行，故m=1．
故选：B．
根据直线平行的条件求解即可．
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由M(32,3)是C上一点，得32=3p，
解得p=3，所以|OF|=p2=32．
故选：D．
根据点在抛物线上，求得抛物线方程即可求解．
本题主要考查抛物线的方程及运用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：圆C1的圆心坐标为C1(1,2)，半径r1=2，
圆C2的圆心坐标为C2(−2,−2)，半径r2=7，
因为|C1C2|= (1+2)2+(2+2)2=5=r2−r1，所以圆C1与圆C2内切．
故选：D．
根据圆与圆的位置关系的判断方法求得正确答案．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意，偶函数f(x)在区间(−∞,0]上单调递增，
则f(x)在[0,+∞)上递减
则f(3x+2)
解可得：x<−2或x>23，即不等式的解集为(−∞,−2)∪(23,+∞)．
故选：A．
根据题意，由函数的奇偶性和单调性分析可得f(3x+2)
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，因为a,b,c共面，所以存在实数对(x,y)，使得c=xa+yb，
即(5,2,z)=x(1,0,3)+y(2,1,0)=(x+2y,y,3x)，
所以x+2y=5,y=2,3x=z,解得x=1,y=2,z=3.
故选：D．
根据题意，由空间向量基本定理可得存在实数对(x,y)，使得c=xa+yb，由此可得关于x、y、z的方程组，进而求出x、y、z的值，即可得答案．
本题考查空间向量基本定理，涉及向量的共面，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由题意可得：以C为喉部对应点，以OC所在直线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设A与B分别为上，下底面对应点，
设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，
因为双曲线的离心率为 10= 1+(ba)2，
所以b2=9a2，
又喉部(中间最细处)的直径为8cm，
所以2a=8，a=4，
所以双曲线的方程为x216−y2144=1．
由题意可知xA=3 2，xB=9 22代入双曲线方程，
得yA=3 2，yB=−21 22，
则yA−yB=27 22，
则该塔筒的高为27 22．
故选：C．
结合双曲线的性质求解．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了阅读理解能力，属中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由椭圆的方程可知a=5，b=3，所以c=4，
设内切圆的半径为r，则πr2=3π，可得r= 3，
S△ABF2=12|F1F2|⋅|y1−y2|=12⋅r⋅4a，
即2×4⋅|y1−y2|= 3⋅4×5，
解得|y1−y2|=5 32．
故选：D．
由椭圆的方程可得a，b的值，进而求出c的值，由三角形的内切圆的面积，可得内切圆的半径，由三角形的面积的表达式，可得|y1−y2|的值．
本题考查椭圆的性质的应用及三角形面积的求法，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：当4−m=m−2>0时，m=3，方程x24−m+y2m−2=1可以化简为x2+y2=1，曲线E是圆；
当4−m>0，m−2>0且4−m≠m−2时，2
故选：ABC．
根据圆，双曲线和椭圆的性质即可分类讨论求解．
本题考查了曲线与方程，圆，双曲线和椭圆的性质，考查了分类讨论思想，属基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于选项A，BE=AE−AB=12(AP+AD)−AB=12a−b+12c，故选项A错误；
对于选项B，BF=AF−AB=AC+CF−AB=AC+23CP−AB=23AP+13AC−AB=23AP−23AB+13AD=23a−23b+13c，故选项B正确；
对于选项C，DF=BF−BD=23a−23b+13c−(c−b)=23a−23b+13c−c+b=23a+13b−23c，故选项C正确；
对于选项D，EF=BF−BE=(23a−23b+13c)−(12a−b+12c)=16a+13b−16c，故选项D错误．
故选：BC．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin[2(x−π6)]=sin(2x−π3)，
然后将图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到y=2sin(2x−π3)，再向上平移1个单位长度，
得到函数g(x)=2sin(2x−π3)+1的图象．
对于A项，由正弦函数sinx∈[−1,1]，得y=sin(2x−π3)∈[−1,1]，则g(x)max=2+1=3，故A错误；
对于B项，由x∈(−π12,5π12)，则2x−π3∈(−π2,π2)，又正弦函数y=sinx在(−π2,π2)上单调递增，所以g(x)在(−π12,5π12)上单调递增，故 B正确；
对于C项，函数y=2sin2x+1的图象向右平移π6个单位，
可得其函数解析式为y=2sin[2(x−π6)]+1=2sin(2x−π3)+1，故C正确；
对于D项，由x∈[π12,π2]，令t=2x−π3∈[−π6,2π3]，则g(x)=h(t)=2sint+1∈[ 3+1,3]，
其图象如图所示，则m∈[ 3+1,3)，故D正确．
故选：BCD．
根据图象变换求出函数g(x)的解析式，然后根据正弦函数的性质利用整体代换思想对各个选项逐个分析即可判断求解．
本题考查了三角函数的图像变换，正弦函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC=4，
M，N分别为棱A1D1，AA1的中点，
以B为坐标原点，BC、BA、BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A(0,4,0)，C(2,0,0)，D(2,4,0)，
A1(0,4,4)，B1(0,0,4)，C1(2,0,4)，
D1(2,4,4)，M(1,4,4)，N(0,4,2)，
对于A，∵NM=(1,0,2),BC1=(2,0,4)=2NM，
∴BC1//MN，又BC1⊂平面ABC1，MN⊄平面ABC1，
∴MN//平面ABC1，故A正确；
对于B：B1D=(2,4,−4),CM=(−1,4,4),CN=(−2,4,2)，
设平面CMN的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅CM=−x+4y+4z=0m⋅CN=−2x+4y+2z=0，
令z=1，得平面CMN的一个法向量为m=(−2,−32,1)，
∵B1D与m=(−2,−32,1)不平行，
∴B1D⊥平面CMN不成立，故B错误；
对于C：CN=(−2,4,2),AB=(0,−4,0)，
设异面直线CN和AB 所成的角为θ，
则csθ=|cs〈CN,AB〉|=|CN⋅AB||CN|⋅|AB|=|−16| 4+16+4×4= 63，故C错误；
对于 D，设A1P=λA1C1=(2λ,−4λ,0)(λ∈[0,1])，
∴CP=CA1+A1P=(2λ−2,4−4λ,4)，
又平面CMN的一个法向量为m=(−2,−32,1)，
∴点P到平面CMN的距离d=|m⋅CP||m|=2λ+2 292，不是定值，故D正确．
故选：AD．
建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可．
本题考查线面平行、线面垂直的判定与性质、点到平面距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
13.【答案】2 5
【解析】解：根据题意，(1−2i)z=10，则z=101−2i=10(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2+4i，
则|z|= 4+16=2 5．
故答案为：2 5．
根据题意，由复数的计算公式求出z的值，进而计算可得答案．
本题考查复数的计算，涉及复数模的计算，属于基础题．
14.【答案】5
【解析】解：如图，过P作准线的垂线，垂足为B，
则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|，
显然点P在抛物线内，则当P，A，B三点共线时，
|PA|+|PB|最小，其最小值为4+1=5．
故答案为：5．
根据抛物线的几何性质，数形结合，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
15.【答案】12+6 3
【解析】解：依题意CE=13CD=λCA+μCB,CD=3λCA+3μCB，
由于A，D，B三点共线，所以3λ+3μ=1，
而CD=CB+BD=CB+xBA=CB+x(CA−CB)=xCA+(1−x)CB，
由于点D是边AB上的动点(点D异于A，B)，
所以0
所以3λ+1μ=(3λ+1μ)(3λ+3μ)=12+9μλ+3λμ≥12+2 9μλ⋅3λμ=12+6 3，
当且仅当9μλ=3λμ,λ= 3μ=3− 36时等号成立．
故答案为：12+6 3．
先求得λ，μ的等量关系式，然后利用基本不等式求得正确答案．
本题考查了平面向量基本定理和基本不等式的应用，属于中档题．
16.【答案】[2π3,3π4]
【解析】解：由双曲线的对称性可知Q也在双曲线的渐近线上，且Q在第二象限，
由PF2⊥y轴，
可知QF1⊥y轴，
所以可设Q(x0,c)，
又Q在渐近线y=−abx上，
所以Q(−bca,c)，
所以tanα=kQF2=−2ab，
因为C的离心率的取值范围是[ 213, 5]，
所以ba= (ca)2−1∈[2 33,2]，
即tanα∈[− 3,−1]，
又α∈[0,π)，
所以α∈[2π3,3π4]．
故答案为：[2π3,3π4]．
由双曲线的性质，结合双曲线离心率的求法求解．
本题考查了双曲线的性质，属中档题．
17.【答案】解：(1)因为5a=7b，则由正弦定理可得：5sinA=7sinB，
所以sinB=5sinA7=5× 327=5 314；
(2)若a=7，则b=5，
由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA，即49=25+c2−2×5×c×(−12)，
即c2+5c−24=0，解得c=3或−5(舍去)，
所以三角形ABC的面积为S=12bcsinA=12×5×3× 32=15 34．
【解析】(1)利用正弦定理以及已知关系化简即可求解；(2)先求出b的值，再利用余弦定理求出c的值，然后根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到正余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)已知双曲线C的方程为x2−y23=1，
此时a2=1，b2=3，
所以c2=a2+b2=4，
解得c=2，
则双曲线C的右焦点为(2,0)，
因为双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，
不妨设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0)，焦点为(p2,0)，
此时p2=2，
解得p=4，
则抛物线E的标准方程为y2=8x；
(2)由(1)知a2=1，
所以双曲线C的右顶点为(1,0)，
因为直线l过点(1,0)且斜率为2，
所以直线l的方程为y=2(x−1)，
不妨设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立y=2(x−1)y2=8x，消去y并整理得x2−4x+1=0，
由韦达定理得x1+x2=4，x1x2=1，
则|MN|= (x1−x2)2+(y1−y2)2= 5(x1−x2)2
= 5⋅ (x1+x2)2−4x1x2=2 15．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系得到双曲线C的右焦点，设出抛物线E的方程，根据双曲线的右焦点与抛物线E的焦点重合，列出等式，即可求出物线E的标准方程；
(2)设出直线l的方程和M，N两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力．
19.【答案】解：(1)由频率分布直方图得：
(0.005×2+a+0.02+0.03+0.025)×10=1，
解得a=0.015，
平均数为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．
(2)[80,90)内的频率为0.25，[90,100)内的频率为0.05，
比例分配的分层随机抽样方法，从[80,90)，[90,100]中抽取6人，
则从[80,90)内抽取6×+0.05=5人，记为1，2，3，4，5，
从[90,100)内抽取6×+0.005=1人，记为6，
从这6人中随机抽取2人进行采访，基本事件有：
{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，
{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，
接受采访的2人中有人成绩在[90,100]包含的基本事件有：
{1,6}，{2,6}，{3,6}，{4,6}，{5,6}，共5种，
∴接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率为P=515=13．
【解析】(1)根据频率分布直方图中频率之和为1，求出a，由此能求出平均数；
(2)根据分层抽样、古典概型、列举法能求出接受采访的2人中有人成绩在[90,100]的概率．
本题考查频率分布直方图、平均数、分层抽样、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】(1)证明：取AC的中点G，连接FG，C1G，
∵F，G分别为AB，AC的中点，∴FG//BC，FG=12BC，
又E为B1C1的中点，BC//B1C1，BC=B1C1，
∴FG//EC1，FG=EC1，
∴四边形EFGC1是平行四边形，
∴EF//C1G.
又EF⊄平面ACC1A1，C1G⊂平面ACC1A1，
∴EF//平面ACC1A1；
(2)解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
又BA，BC⊂平面ABC，∴BB1⊥BA，BB1⊥BC，
又BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则C(0,2,0)，D(2,0,1)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，
∴FE=(−1,1,2)，FD=(1,0,1)，CE=(0,−1,2)，
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅FE=−x+y+2z=0n⋅FD=x+z=0，
令x=1，得n=(1,3,−1)
设直线CE与平面DEF所成的角为θ，
则sinθ=|cs〈n,CE〉|=|n⋅CE|n|⋅|CE||=|1×0+3×(−1)+(−1)×2 12+32+(−1)2⋅ 02+(−1)2+22|= 5511，
即直线CE与平面DEF所成角的正弦值为 5511．
【解析】(1)取AC的中点G，连接FG，C1G，利用线线平行证明线面平行；
(2)建立空间直角坐标系，利用坐标法求线面夹角正弦值．
本题主要考查线面平行的证明，直线与平面所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)圆C：x2+y2+10x−14y+70=0，化为标准方程为：(x+5)2+(y−7)2=4，
所以圆心C(−5,7)，半径r=2，
当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=−3，
圆心C到直线l1的距离为2=r，l1与圆C相切；
当直线l1斜率存在时，设直线l1的方程为y−1=k(x+3)，即kx−y+3k+1=0，
由直线l1与圆C相切，得圆心C到直线l1的距离为|−5k−7+3k+1| 1+k2=2，
解得k=−43，
所以直线l1的方程为4x+3y+9=0；
综上所述：直线l1的方程为x=−3或4x+3y+9=0．
(2)到直线l2的距离为d=|−60+35+12| 122+52=1，
所以|AB|=2 r2−d2=2 3，
因为点Q为圆C上异于A，B的动点，
所以点Q到直线l2的距离h≤r+d=3，
所以△ABQ的面积S=12×|AB|×h≤12×|AB|×(r+d)=12×2 3×3=3 3，
当CQ⊥l2，且Q，l2在圆心C的同侧时，等号成立，
所以△ABQ的面积的最大值为3 3．
【解析】(1)分直线l1斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果；
(2)当直线与圆相交时，利用垂径定理可以求出弦长，再判断当点Q到直线l2的距离为r+d=3时，△ABQ的面积最大，利用面积公式即可求得结果．
本题考查直线与圆的位置关系，三角形面积的最值问题，属中档题．
22.【答案】解：(1)由题意知，当△PF1F2面积最大时，
S△PF1F2=bc= 3，又ca= 32，a2=b2+c2，
解得：a=2，b=1，
故C的方程为x24+y2=1；
(2)如图，
因为直线l：y=kx+m(k>0)与圆x2+y2=b2相切，
则d=|m| k2+1=b=1，即m2=1+k2，
设M(x1,y1)N(x2,y2)，
联立方程y=kx+mx24+y2=1，消去y得(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0，
则Δ=(8km)2−4(4k2+1)(4m2−4)=16(4k2−m2+1)>0，即4k2+1>m2=1+k2，显然成立，
所以x1+x2=8km4k2+1,x1x2=4m2−44k2+1，
所以|MN|= k2+1 (x1+x2)2−4x1x2= k2+1⋅ 64k2m2(4k2+1)2−16m2−164k2+1=2，
整理得4(4k2−m2+1)(k2+1)=(4k2+1)2，又m2=1+k2，
解得k= 22(负值舍去)，则m=± 1+k2=± 1+12=± 62，
所以直线l的方程y= 22x+ 62或y= 22x− 62．
【解析】(1)由题意知求得b，结合离心率解得a，则椭圆方程可得；
(2)利用直线和圆相切，得到一个方程，后利用弦长得到另一个方程，联立求解即可．
本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的综合运用，属于中档题．
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