2023-2024学年贵州省黔东南州高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省黔东南州高一（上）期末数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2+x+1≠0B. ∃x∈R，x2+x+1>0
C. ∀x∈R，x2+x+1≠0D. ∀x∈R，x2+x+1=0
2.已知集合M={x|x2<16}，N={x|1−x>−2}，则M∩N=( )
A. (−4,3)B. (−4,4)C. (−3,4)D. (3,4)
3.“α=60°”是“tanα= 3”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.将函数f(x)=sin(4x+1)的图象向左平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=( )
A. sin(4x+5)B. sin4xC. sin(4x−3)D. sin(4x+2)
5.若a=sin1，b=lg70.2，c=70.2，则( )
A. c6.函数f(x)=lgx+5x−11的零点所在区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
7.折扇是我国传统文化的延续，它常为字画的载体，深受人们的喜爱，如图1所示.图2是某折扇的结构简化图，若AB=20厘米，弧AC和弧BD的长度之和为40厘米，则该扇形环面(由扇形OBD挖去扇形OAC后构成)的面积是( )
A. 300平方厘米B. 320平方厘米C. 400平方厘米D. 480平方厘米
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x1>x2≥0，f(x1)−f(x2)<0恒成立.若f(−2)=0，则不等式(x−1)f(x)<0的解集是( )
A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−2,1)∪(2,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角α的终边经过点A(m,3)，且sinα=35，则m的值可能是( )
A. 4B. 3C. −4D. −3
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. φ=−π3
B. 直线x=11π18是f(x)图象的一条对称轴
C. f(π6)=3 32
D. 函数f(x−π18)为偶函数
11.某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了A，B两种计件工y/千元资核算方案，员工的计件工资y(单位：千元)与其生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用A，B方案核算的计件工资相同
B. 当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用A方案核算的计件工资更多
C. 当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用B方案核算的计件工资更多
D. 当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元
12.已知函数f(x)=sin(2ωx+π6)(ω>0)在(0,π3]上恰有3个零点，则ω的值可能为( )
A. 4B. 5C. 112D. 254
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ln(3−x)+ x−1的定义域为______．
14.已知sin(α+π2)=115，则cs(3π−α)= ______．
15.已知函数f(x)=1x，若正数m，n满足f(m)+f(n)=1，则m+16n的最小值为______．
16.已知函数f(x)=lg2(−x2+ax+15)在[14,4]上为单调函数，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求下列各式的值：
(1)432−(−12)0+ (1−π)2；
(2)lg4−lg14+2lg25+lg0.1．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x+1x(x>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)判断f(x)在(1,+∞)上的单调性，并根据定义证明．
19.(本小题12分)
已知csα=4 1717，其中α∈(0,π2)．
(1)求sinα，sin2α，cs2α的值；
(2)若β=3π4，求cs(2a+β)的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+m⋅4−x．
(1)诺f(x)为偶函数，求m的值；
(2)若f(x)为奇函数，求m的值；
(3)在(2)的情况下，若关于x的不等式4xf(x)>k在[0,1]上恒成立，求k的取值范围．
21.(本小题12分)
某企业2023年9～11月份生产的产品产量x(1000x∈N)(单位：千件)与收益y(单位：万元)的统计数据如下表：
(1)根据上表数据，从下列三个函数模型①y=mx+n，②y=mx2+nx+k，③y=lgax+b(a>0且a≠1)中选取一个恰当的函数模型描述该企业2023年9～11月份生产的产品产量x(单位：千件)与收益y(单位：万元)之间的关系，并写出这个函数关系式；
(2)问该企业12月份生产的产品产量x(1000x∈N)应控制在什么范围内，才能使该企业12月份的收益在4950万元以上(含4950万元)？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sin(π3+x)sin(π3−x)+sinxcsx．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到函数g(x)的图象，若存在x1，x2∈[−π12,π12]，使得不等式f(x1)+m≥g(x2)有解，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≠0．
故选：C．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：解x2<16，得−4−2，得x<3，
所以M={x|−4所以M∩N=(−4,3)．
故选：A．
分别求解集合M，N，再求M∩N．
本题考查了一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：若α=60°，则tanα= 3．
若tanα= 3，则α=k⋅180°+60°，k∈Z，不一定等于60°．
故“α=60°”是“tanα= 3”的充分不必要条件．
故选：B．
根据充分条件，必要条件的定义直接判断．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意可得g(x)=sin[4(x+1)+1]=sin(4x+5)．
故选：A．
根据平移规律：“左+右−”，即可求解平移后的解析式．
本题考查的知识要点：函数的图像的平移变换，主要考查学生的视图能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为070=1，
所以b故选：C．
根据题意，利用指对数函数性质、正弦函数以及三角函数的图象分析a、b、c的范围，即可得答案．
本题考查指数函数、对数函数和三角函数的性质，涉及对数、指数的大小比较，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：y=lgx，y=5x−11在(0,+∞)上单调递增，
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增．
若0则f(x)在(0,1)上无零点．
∵f(1)=−6<0，f(2)=lg2−1<0，f(3)=lg3+4>0，
f(4)=1g4+9>0，∴根据零点存在定理可知，
∴f(x)在(2,3)上有零点．
故选：C．
根据函数零点存在定理判断即可．
本题考查函数零点存在定理，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：设∠BOD=θ，OA=r厘米，
由题意AB=20厘米，弧AC和弧BD的长度之和为40厘米，
则弧AC的长度l1=θr，弧BD的长度l2=θ(r+20)=θr+20θ，
从而2θr+20θ=40，即θr+10θ=20，
故该扇形环面的面积S=12θ(r+20)2−12θr2
=20(θr+10θ)
=20×20
=400平方厘米．
故选：C．
由题意利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x1>x2≥0，f(x1)−f(x2)<0恒成立，
所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，在[0,+∞)上单调递减，
又f(2)=f(−2)=0，
所以由(x−1)f(x)<0得x<1f(x)>0或x>1f(x)<0，
得−22，
即不等式(x−1)f(x)<0的解集是(−2,1)∪(2,+∞)．
故选：D．
由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：角α的终边经过点A(m,3)，
则sinα=3 m2+32=35，解得m=±4．
故选：AC．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由图象可知A=3，T=4(5π18−π9)=2πω，得ω=3．
将点(π9,0)代入f(x)的解析式，得3sin(π3+φ)=0，则π3+φ=2kπ(k∈Z)，
即φ=−π3+2kπ(k∈Z).因为|φ|<π2，所以φ=−π3，故A正确；
对于B，f(x)=3sin(3x−π3)，f(11π18)=3sin(11π6−π3)=3sin3π2=−3，故B正确；
对于C，f(π6)=3sin(π2−π3)=3sinπ6=32，故C错误；
对于D，f(x−π18)=3sin[3(x−π18)−π3]=−3cs3x，其为偶函数，故D正确．
故选：ABD．
首先根据函数的图象，求函数的解析式，再根据选项，采用代入验证的方法，判断选项．
本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质，主要考查学生的视图能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用A，B方案核算的计件工资相同，选项A正确；
对于B，当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用A、B方案核算的计件工资相同，选项B错误；
对于C，若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，
采用B方案核算的计件工资为503×200=100003(元)，因为100003>3000，
所以该员工采用B方案核算的计件工资更多，选项C正确；
对于D，从图中易知，当x>3(100x∈N)时，员工采用A方案核算的计件工资
y(单位：千元)与生产的产品件数x(单位：百件)的函数关系式为y=1.6x−1.8，
则当x=10时，y=14.2，即当某员工生产的产品件数为1000时，
该员工的计件工资最多为14200元，选项D正确．
故选：ACD．
根据题意，结合图中数据，对选项中的命题进行分析，判断正误即可．
本题考查了数据的分析与判断问题，是基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：由x∈(0,π3]，得2ωx+π6∈(π6,2ωπ3+π6],
则3π≤2ωπ3+π6<4π，解得174≤ω<234，选项中只有5和112满足．
故选：BC．
首先求2ωx+π6的范围，再结合正弦函数的图象和性质，即可求解．
本题主要考查函数零点与方程根的关系，属于中档题．
13.【答案】[1,3)
【解析】解：由函数的解析式可知，函数的定义域需满足不等式3−x>0x−1≥0，
解得：1≤x<3，所以函数的定义域为[1,3)．
故答案为：[1,3)．
根据具体函数的解析式，即可列不等式求函数的定义域．
本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
14.【答案】−115
【解析】解：因为sin(α+π2)=csα=115，所以cs(3π−α)=−csα=−115．
故答案为：−115．
由诱导公式即可求解．
本题考查诱导公式，属于基础题．
15.【答案】25
【解析】解：由题意可得1m+1n=1，
则m+16n=(m+16n)(1m+1n)=1+16+16nm+mn≥17+2 16nm⋅mn=25，
当且仅当16nm=mn，即m=4n=5时，等号成立，
故m+16n的最小值为25．
故答案为：25．
先求出m，n的关系式，然后利用基本不等式，即可得出结果．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
16.【答案】(14,12]∪[8,+∞)
【解析】解：∵函数y=lg2x在(0,+∞)上单调递增，
∴函数h(x)=−x2+ax+15在[14,4]上为单调函数，
∴当h(x)在[14,4]上为单调递增函数时，则a2≥4−116+14a+15>0，解得a⩾8；
当h(x)在[14,4]上为单调递减函数时，则a2≤14−16+4a+15>0，解得14综上所述，实数a的取值范围为(14,12]∪[8,+∞)．
故答案为：(14,12]∪[8,+∞)．
由题意得函数h(x)=−x2+ax+15在[14,4]上为单调函数，利用二次函数的性质，分类讨论，求解即可得出答案．
本题考查复合函数的单调性，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=23−1+(π−1)
=8−1+π−1=6+π．
(2)原式=lg16+2lg25−1=4lg2+4lg5−1
=4(lg2+lg5)−1
=4lg10−1=4−1=3．
【解析】由已知结合指数及对数的运算性质即可分别求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为x>0，所以f(x)=x+1x⩾2，当且仅当x=1时，等号成立，
所以f(x)的最小值为2．
(2)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增．证明如下：
任取x1>x2>1，x1−x2>0，x1x2>1，
则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)(x1x2−1)x1x2>0，
即f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(1,+∞)上单调递增．
【解析】(1)由已知结合基本不等式即可求解；
(2)任取x1>x2>1，利用比较法判断f(x1)与f(x2)的大小即可判断．
本题主要考查了基本不等式求解函数最值，还考查了函数单调性的判断，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因为csα=4 1717，α∈(0,π2)，
sinα= 1−(4 1717)2= 1717，
sin2α=2sinαcsα=2×4 1717× 1717=817，
cs2α=2cs2α−1=2×(4 1717)2−1=1517，
(2)cs(2α+β)=cs2αcsβ−sin2αsinβ，
cs(2α+β)=1517×(− 22)−817× 22=−23 234．
【解析】(1)由csα=4 1717，α∈(0,π2)，求出sinα，再结合二倍角公式即可求值；
(2)利用二倍角余弦公式展开即可求值．
本题考查三角函数求值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)若f(x)为偶函数，则f(−x)=4−x+m⋅4x=f(x)=4x+m⋅4−x，
即(m−1)(4x−4−x)=0，
则m−1=0，解得m=1．
(2)若f(x)为奇函数，则f(−x)=4−x+m⋅4x=−f(x)=−4x−m⋅4−x，
即(m+1)(4x+4−x)=0，
则m+1=0，解得m=−1．
(3)由题意可得f(x)=4x−4−x，则4xf(x)=(4x)2−1=16x−1，
因为函数y=16x−1在[0,1]上单调递增，
所以(16x−1)min=160−1=0，
则k<0，故k的取值范围为(−∞,0)．
【解析】(1)根据偶函数的定义求参数；
(2)根据奇函数的定义求参数；
(3)将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可．
本题考查了函数的奇偶性，考查了指数函数的性质，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为函数y=mx+n及y=lgax+b(a>0且a≠1)均为单调函数，
根据表中数据可得y=mx+n与y=lgx+b(a>0且a≠1)均不符合题意．
取②y=mx2+nx+k，
将(30,4200)，(40,4800)，(80,3200)代入函数解析式y=mx2+nx+k，
得900m+30n+k=42001600m+40n+k=48006400m+80n+k=3200，
解得m=−2n=200k=0，
所以y=−2x2+200x(1000x∈N)．
(2)根据题意得−2x2+200x≥4950，即−2x2+200x−4950≥0，
即x2−100x+2475≤0，
解得45≤x≤55．
故该企业12月份生产的产品产量x(1000x∈N)(单位：千件)应控制在[45,55]内，
才能使该企业12月份的收益在4950万元以上(含4950万元)．
【解析】(1)根据函数的单调性，判断y=mx+n与y=lgx+b(a>0且a≠1)均不符合题意，利用y=mx2+nx+k，求出m、n和k的值，写出函数解析式．
(2)根据题意列不等式求解即可．
本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)= 3sin(π3+x)sin(π3−x)+sinxcsx
= 3( 32csx+12sinx)( 32csx−12sinx)+12sin2x= 3(34cs2x−14sin2x)+12sin2x
= 3(34×1+cs2x2+−14×1−cs2x2)+12sin2x= 34+ 32cs2x+12sin2x=sin(2x+π3)+ 34++12sin2x
= 34+ 32cs2x+12sin2x
=sin(2x+π3)+ 34，
令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，
得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，
即f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ](k∈Z)；
(2)根据题意可得g(x)=sin(4x+π3)+ 34，
因为存在x1,x2∈[−π12,π12]，使得不等式f(x1)+m≥g(x2)有解，
所以m≥g(x2)min−f(x1)max，
当−π12≤x2≤π12时，0≤4x2+π3≤2π3，g(x2)min=g(−π12)=sin0+ 34= 34．
当−π12≤x1≤π12时，π6≤2x1+π3≤π2，f(x1)max=f(π12)=sinπ2+ 34=1+ 34，
所以m≥−1，即m的取值范围为[−1,+∞)．
【解析】(1)先利用和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
(2)先求出g(x)的解析式，然后结合恒成立与存在性问题与最值关系的转化可求．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了三角函数的图象的变换，恒成立与存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．月份
9月
10月
11月
产品产量x/千件
30
40
80
收益y/万元
4200
4800
3200