2021-2022学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（A卷）（Word解析版）

2021-2022学年贵州省黔东南州高一（下）期末数学试卷（A卷）

副标题

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知复数，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. “幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意程度越高．现随机抽取位某小区居民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，已知，则(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，某景区欲在两山顶，之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高，，在水平面上处测得山顶的仰角为、、在同一水平面上，山顶的仰角为，，则两山顶，之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知正四棱柱中，，，正四棱柱的八个顶点都在球的球面上，则球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列命题中错误的是(    )

A. 若复数满足，则
B. 若复数，满足，则
C. 若复数，则为纯虚数的充要条件是
D. 若复数，则

10. 下列各式中，值等于的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知两个不同的平面、和两条不重合的直线、，有下列命题中正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

12. 已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是(    )

A. ，
B. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称
C. 函数在上的单调递减区间为
D. 为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某学校有高中学生人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为，，，为了调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为______
14. 已知，则______．
15. 在正四棱柱中，底面边长为，高为，则异面直线与所成角的余弦值是______．
16. 已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为，则的最大值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知向量，，，且，．
    求与；
    若，，求向量，的夹角的大小．
18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面相，．
    求证：；
    求三棱锥的体积；
    求平面和平面夹角的余弦值的大小．

19. 在中，角，，的对边分别为，，，有三个条件；；，请在这三个条件中任选一个，并加以解答．
    求；
    若，且，求的面积．
20. 某企业招聘，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，按照，，，分组，得到如图频率分布直方图：
    Ⅰ求图中的值；
    Ⅱ求全体应聘者笔试成绩的平均数；每组数据以区间中点值为代表
    Ⅲ该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取人，估计应该把录取的分数线定为多少．

21. 如图，在正三棱柱中，平面，，是的中点．
    Ⅰ求证：平面；
    Ⅱ求证：平面平面；
    Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．

22. 已知函数．
    求函数的最小正周期；
    现将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度得到的图象，若当时，恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：这组数据从小到大排列如下，
，，，，，，，，，；
而，
故第百分位数为从小到大排列的第项数据；
故选：．
根据百分位数的定义先排序，再确定数即可．
本题考查了百分位数的定义的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式即可化简求解．
本题考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由余弦定理可得，
所以．
故选：．
由已知结合余弦定理即可直接求解．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设圆锥的高为，底面圆的半径为，
圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，
等腰三角形的底角为，又母线长为，
，，，
圆锥的体积．
故选：．
先根据圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为求出圆锥的高与底面圆的半径，最后代入圆锥的体积公式即可求解．
本题考查圆锥的体积，属基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，，所以；
因为，，所以；
在，
所以．

故选：．
利用直角三角形的边角关系，求得和的长，再利用余弦定理求得的长．
本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由四棱柱的对角线为球的直径，可得，
，所以，
所以，球的表面积为，
故选：．
正四棱柱的八个顶点都在球面上，则正四棱柱的对角线为球的直径，代入球的表面积公式即可．
本题考查了正四棱柱的外接球表面积的计算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时满足，故A错误，
当，时满足，但，故B错，
复数，则为纯虚数的充要条件是且，故C错，
，，当时，，，则成立，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合特殊值法，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，以及特殊值法，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，，A正确；
对于，，错；
对于，，错；
对于，，D正确．
故选：．
利用三角函数恒等变换的应用逐项化简即可求解．
本题考查了三角恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：若，，则，故A正确；
对于：若，且、是两个不同的平面，所以，故B正确；
对于：若，，则或与异面，故C错误；
对于：若，，则，又，所以，故D正确；
故选：．
根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可．
本题主要考查空间中直线与平面的平行、垂直关系，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为相邻两条对称轴的距离为，故周期为，则，
图象关于点对称，，，
得，，
则当时，，错；
则，将函数的图象向右平移个单位长度后，
得到，该函数是偶函数，B正确；
画图可知函数在上的单调递减区间为，C正确；
，为了得到的图象，应该将函数的图象向右平移个单位，错．
故选：．
根据函数的对称性求出函数的解析式，然后根据三角函数的性质分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的对称性求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：采用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个样本量为的样本，
那么应抽取高二年级学生的人数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，
则．
故答案为：．
利用同角三角函数的基本关系，求得的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，
，
直线与所成角与直线与成角相同，即，
在中，，，，
．
故答案为：．
先找到两个异面直线，平移至，直线与成角即为直线与成角，构造三角形求解即可．
本题考查异面直线成角算法，考查数学运算能力及抽象能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，，，
由，，且，
则，
即，
因为向量，的夹角为，
即，
所以点在优弧上运动，
故的最大值是的外接圆的直径，
由余弦定理可得，
由正弦定理可得．
故的最大值是，
故答案为：．
由题意可得，又因为向量，的夹角为，即，所以点在优弧上运动，故的最大值是的外接圆的直径，然后结合正弦定理求解即可．
本题考查了平面向量的夹角，重点考查了平面向量的几何意义，属基础题．
 

17.【答案】解：由，得，解得，
由，得，解得，
，；
因为，，
，，，
，且，
向量，的夹角为． 

【解析】本题考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，向量加法和数乘的坐标运算，向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于基础题．
根据向量平行和向量垂直时的坐标关系即可求出，，从而得出，；
进行向量加法和数乘的坐标运算即可得出，，然后即可求出、和的值，从而可求出的值，进而得出的夹角．
 

18.【答案】解：证明：因为平面，平面，所以，
因为平面，四边形是矩形，所以，是三棱锥的高，
，
因为底面，平面，
所以，又，，
所以平面，因为平面，
所以，又因为，
所以是平面和平面的夹角，
由于，，所以，
所以，
所以平面与平面的夹角余弦值为， 

【解析】利用线面垂直可得线线垂直，
用转化法可求，
利用二面角的平面角可以得到是平面和平面的夹角．
本题考查线线垂直、体积问题、面面夹角相关知识，属于较难题．．
 

19.【答案】考查要点正弦定理、余弦定理、解三角形．
解析：选择，由正弦定理得，，
化简得，
又因为，可得，
所以，即，
又因为，所以，得；
选择由正弦定理得，，整理得，
又由余弦定理得，
又因为，所以；
选择由正弦定理得，，
所以，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，
因为，得得，
又，所以，，
所以的面积． 

【解析】若选，由正弦定理及三角形中，整理可得；若选，整理可得：，由正弦定理及余弦定理可得；若选，由正弦定理可得，即，在三角形中，，且，可得；
由余弦定理可得，可求，，进而可求面积．
本题考查三角形的正余弦定理的性质的应用及三角形的面积的求法，属于中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由题意，
解得．
Ⅱ这些应聘者笔试成绩的平均数为：
．
Ⅲ根据题意，录取的比例为，
设分数线定为，根据频率分布直方图可知，
且，
解得．
故估计应该把录取的分数线定为分． 

【解析】Ⅰ由频率分布直方图列方程能求出．
Ⅱ由频率分布直方图能求出这些应聘者笔试成绩的平均数．
Ⅲ根据题意，录取的比例为，设分数线定为，根据频率分布直方图可知，列出方程能估计录取的分数线．
本题考查与频率分布直方图有关的计算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】Ⅰ证明：连接交于点，连接
在正三棱柱中，，侧面是正方形，
则点是的中点，
又点是的中点，故是的中位线，，
又平面，平面，平面；
Ⅱ证明：平面，平面，可得，
又，为的中点，，
而，平面，
平面，平面平面；
Ⅲ解：由Ⅱ知，平面平面，
又平面，
在平面中，过作，可得平面，连接，
为直线与平面所成角，
设，在中，求得，
，即直线与平面所成角的正弦值为． 

【解析】Ⅰ连接交于点，连接，根据是的中位线可得，再由线面平行的判定可得平面；
Ⅱ证明平面，即可证明平面平面；
Ⅲ由Ⅱ知，平面平面，在平面中，过作，可得平面，连接，得为直线与平面所成角，
设，求解三角形得答案．
本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由，可得，
化简得，
所以最小正周期为；
将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得，
再向右平移个单位长度得到，
要使恒成立，只需，
只需的最小值大于等于即可，
，，
，
所以的最小值为，
由，得
数的取值范围是． 

【解析】利用辅助角公式进行化简，然后利用周期公式进行计算即可，
根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，然后求出角的范围，利用参法分离法转化求最值即可．
本题主要考查三角函数的恒等变换，利用辅助角公式进行转化求解，以及利用参法分离法转化为求最值问题是解决本题的关键，是中档题．