2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：8.条件概率，期望，条件期望及概率新情境

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：8.条件概率，期望，条件期望及概率新情境，共9页。试卷主要包含了条件概率，似然估计，定义，050，635等内容，欢迎下载使用。
一．基本原理
1.条件概率
1.1根据件概率的定义, 也就是条件概率的计算公式, 先求和, 再由
定义, 即可求解.
1.2根据条件概率的定义, 也就是条件概率的计算公式, 先求 和, 再由定义, 即可求解.
1.3由条件概率和对立事件的定义, 可得条件概率的性质: , 利用该性质可以解决一些证明相对复杂的条件概率问题.
2.似然估计
2.1已知函数：输入有两个：表示某一个具体的数据；表示模型的参数，如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点，其出现概率是多少.如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现这个样本点的概率是多少.
极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值.
换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”.
2.2二项分布的两类最值
（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.
.
分析：当时，，随值的增加而增加；当时，
，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.
（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，
这可以用导数求函数最值与最值点.
分析：
当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.
2.3超几何分布的概率最值
将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为
即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数.所以当时，达到最大值.
二．典例分析
例1．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.下列正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增小
D．若，随机变量所有可能的取值为，且，则
解析：对于A选项，当时，，则，A选项正确；
对于B选项，当时，，则，其中，
.当时，；
当时，.两者相等，B选项错误；
对于C选项，若，则，所以，随着的增大而增大，C选项错误；
对于D选项，若，随机变量所有可能的取值为，且，
，
，
，，所以，，
则，所以，，D选项正确.故选：AD.
例2．在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯.麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
（1）若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
（2）若，（），求此时的信息熵.
解析：（1）当时，,，
令，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为.
（2）因为，（），所以（），故，而，
于是，
整理得
令，则，
两式相减得，因此，
所以.
例3.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则_________.
解析：由可得或或，
由题意可得
，故答案为：2
例4．某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（1）若，求数学期望；
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为.团队B提出函数模型为.现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第i组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示.
（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；
（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：.
解析：（1）由题知，随机变量服从二项分布，，
由，即，得，所以．
（2）（ⅰ），
，
．
（ⅱ）记，则，当时，，单增；当时，，单减；当时，取得最大值，即取得最大值．在团体提出的函数模型中，记函数，，当时，，单增；当时，，单减．当时，取得最大值，则不可以估计．在团体提出的函数模型中，记函数，单调递增，令，解得，则是的最大似然估计．
例5．条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p（），射击进行到击中目标两次时停止.设表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数．
（1）求，；
（2）求，．
解析：（1）由题设，，
.
（2）由题设；
同（1），，，
所以.
例6．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，
解析：（1）由已知，
又，，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）（i）因为，
所以，所以，
（ii）由已知，，又，，
所以
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828