黑龙江省哈尔滨市萧红中学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份黑龙江省哈尔滨市萧红中学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. －lB. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．
【详解】解：∵，
∴最小的数是-1．
故选：A
【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
2. 在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 2023年4月26日，第十二届江苏园艺博览会在我市隆重开幕．会场所在地园博园分为“山海韵”“丝路情”“田园画”三大片区，共占地约2370000平方米．其中数据“2370000”用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
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【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大数，一般形式为，其中，确定a与n的值是解题的关键．
4. 由四个大小相同的长方体搭成的立体图形的左视图如图所示，则这个立体图形的搭法不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】A.从左面看，从左往右2列长方体个数依次为1，2；
B.从左面看，从左往右2列长方体的个数依次为2，1；
C.从左面看，从左往右2列长方体的个数依次为2，1；
D.从左面看，从左往右2列长方体的个数依次为2，1.
故答案选A.
5. 二次函数y=（x+1）2+2的最小值是（ ）
A. 2B. 1C. -3D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数性质直接判断即可．
【详解】解：当时，二次函数有最小值，且最小值为：，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题，熟知二次函数的性质：二次函数当时，函数在时有最小值且最小值为c，当时，函数在时有最大值且最大值为c，是解题的关键．
6. 如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点，则点落在阴影部分的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解．
【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，
∴总面积为，
阴影部分的面积为，
∴点落在阴影部分的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．
7. 下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（ ）

A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律，即可得解．
【详解】解：通过观察可得到
第①个图形中实心圆点的个数为：5=2×1+1+2，
第②个图形中实心圆点的个数为：8=2×2+2+2，
第③个图形中实心圆点的个数为：11=2×3+3+2，
……
∴第⑥个图形中实心圆点的个数为：2×6+6+2=20，
故选：C．
【点睛】本题考查探索与表达—图形变化类．关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
8. 如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若米，则点到直线距离为（ ）．

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】设点到直线距离为米，根据正切的定义用表示出、，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】解：设点到直线距离为米，
在中，，
在中，，
由题意得，，
解得，（米，
故选：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．
9. 如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案．
【详解】解：设，交于点，
由题意得，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，
故，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
．

故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键．
10. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A. 54B. 52C. 50D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 计算结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
12. 函数 的自变量x的取值范围是___________．
【答案】x≠-2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式2x+4≠0，可得到答案．
【详解】根据题意得：2x+4≠0，
解得x≠−2.
故答案为x≠−2.
【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，解题关键在于分式有意义的条件是分母不为0.
13. 分解因式：a3－a=___________
【答案】
【解析】
【详解】解：a3－a
=a(a2-1)
=
故答案为：
14. 不等式组的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到他们的公共部分，即可得出结果．
【详解】解：由，得：，
由，得：；
故不等式组的解集为：；
故答案为：．
15. 在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则______（填“>”“=”或“0，在每个象限内，y随x的增大而减小，进行判断即可．
【详解】解：∵k>0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
，
∴>．
故答案为：>．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．
16. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
17. 一个扇形的面积为，弧长为，则此扇形的圆心角为__________________度．
【答案】60
【解析】
【分析】设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由扇形的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r，
∵扇形的弧长为2π，面积为6π，
∴6π=×2πr，解得r=6．
∵，
∴n=60°．
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式及弧长公式是解答此题的关键．
18. 如图，在 中，分别在 上，，，，，，则 的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、平行线的性质，根据平行线的性质及平行四边形的判定及性质得，，，，再根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，，
又，
，四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，，
，
解得：,
，
故答案为：．
19. 矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，的长为______．
【答案】2或
【解析】
【分析】分两种情况：当时和当时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：当时，

∵四边形矩形，
∴，则，
由平行线分线段成比例可得：，
又∵M为对角线的中点，
∴，
∴，
即：，
∴，
当时，

∵M为对角线的中点，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵四边形矩形，
∴，则，
∴
∴，
综上，的长为2或，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．
20. 如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC________．
【答案】．
【解析】
【分析】过点D、B分别作DE⊥AC， BH⊥AC于E、H，设AC=x，用含x的式子AE 以及求出DE，然后利用勾股定理表示出AD2，再根据等腰三角形三线合一得出AH=x，利用锐角三角函数的定义可求得HB进而列方程求解即可．
【详解】如图，
过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．
∵在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，DE⊥AC，
∴DE=，CE=．则AE=，
在Rt△AED中，由勾股定理得：=，
∵AB=BC，BH⊥AC，
∴AH=AC=，
∵tan∠BAC==，
∴BH=AH=，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：，
∴=．
∵AB=AD，∴=，
解得：，．
当AC=时，AC＜DC，与图形不符舍去．
∴AC=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH、BH的长度是解题的关键．
三、解答题（其中 21~24题各7分，25、26题各10分，27题12分，共60分）
21. 先化简,再求值:，其中x=2(tan 45°-cs 30°).
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：本题主要考查分式的混合运算以及特殊角的三角函数值，需要先把原式化为最简形式；
试题解析：
∴原式
把代入，
22. 如图、图均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点小正方形的边长为，线段的端点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图中，以 为底边画一个等腰 ；
（2）在图中，以 为一边画一个面积为的．
（3）直接写出线段 的长．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析； （3）．
【解析】
【分析】（）根据等腰三角形的性质，使得，画出图形即可；
（）由四边形是平行四边形可知：，，通过两组对边分别相等找出合适的即可；
（）根据勾股定理求出的长度即可；
本题考查了等腰三角形的定义，平行四边形的判定，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求．
理由：由勾股定理可得，，
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
理由：由勾股定理可得，，，
∴四边形是平行四边形；
【小问3详解】
解：，
∴线段的长为．
23. 江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了了解学生“最喜爱的省运会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ， ；
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 度；
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数.
【答案】（1）50人，；（2）；（3）该校最喜爱的省运动会项目是篮球的学生人数为480人.
【解析】
【详解】分析：（1）依据9÷18%，即可得到样本容量，进而得到a+b的值；
（2）利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆心角；
（3）依据最喜爱的省运会项目是篮球的学生所占的比例，即可估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
详解：（1）样本容量是9÷18%=50，
a+b=50-20-9-10=11，
故答案为50，11；
（2）“自行车”对应的扇形的圆心角=×360°=72°，
故答案为72°；
（3）该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：1200×=480（人）．
点睛：本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图，中，，D是上的一点，，过点D作，并截取．
（1）求证：是等腰直角三角形；
（2）延长至，使得，连接并与的延长线相交于点，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由可得，，证明，由全等三角形的性质可得，，则，即可得证；
（2）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质可得．
【小问1详解】
证明：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形；
【小问2详解】
解：，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
25. 服装店去年10月以每套 元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额28000元，进入11月份搞促销活动，每件让利 元，这样销售额比10月份增加了11000元，销售量是 月份的倍．
（1）求每件羽绒服的标价是多少元；
（2）进入12月份，服装店决定把剩余羽绒服九折甩货，全部卖掉，这批羽绒服总获利不少于9940元，问这批羽绒服至少购进多少件？
【答案】（1）每件羽绒服的标价为1400元
（2）这批羽绒服至少购进99件
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的应用，准确掌握题意是解题的关键．
（1）设每件羽绒服的标价为元，则 10月份售出 件，根据等量关系列方程求解即可；
（2）设这批羽绒服购进件，根据题意列出不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：设每件羽绒服的标价为元，则 10月份售出 件，
根据题意得：
解得：,
经检验 是原方程的解，
答：每件羽绒服的标价为1400元．
【小问2详解】
解：设这批羽绒服购进件，
10月份售出（件），11月份售出（件）
根据题意得：
解得，
所以至少是99，
答：这批羽绒服至少购进99件．
26. 在中，为直径，为弦，弧弧．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的切线，交延长线于点，交延长线于点 ，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，为上一点，，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
分析】（1）连接，根据等弧所对圆周角相等，内错角相等两直线平行，即可得证，
（2）连接，，根据等边对等角，等弧所对圆心角相等，即可得到，由切线的性质定理，通过等量代换，即可得证，
（3）延长交于点，延长交于点，交于点，通过证明，导角得到，在中，应用勾股定理求得，，解即可求解，
【小问1详解】
解：连接，
弧弧，
，
，
【小问2详解】
解：连接，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又切于点，
，
，
【小问3详解】
解：延长交于点，延长交于点，交于点，连接，
，，
，
又，，
，
，，
，
，即：，
，
，
在中，设，则，，
由勾股定理得：，即：，解得：，
，
，
是直径，
，
在中，设，则，
由勾股定理得：，即：，解得：，
则：，，，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了，圆周角定理及推论，切线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等角对等边，解直角三角形，解题的关键是：通过辅助线，从已知的角度关系推导出边的关系．
27. 在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线交轴负半轴于，交正半轴于，交 轴于 ，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点是第三象限抛物线上一点，连接交 轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系；
（3）如图2，在（2）的条件下，过点作的垂线，交轴于点 ，垂足为点，为 上一点，连接 ，若，，求点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先令求出点坐标再根据已知，可得点的坐标，运用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）由（1）可得点的坐标，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，进而求出，即可求得答案；
（3）找点关于原点的对称点，连接，过点作于，根据已知先证得，再证，进而证得，得，再证可得，，进而求出点的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与抛物线的交点的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线交轴于点，
，
，
，
，
在抛物线上，
，
，
．
【小问2详解】
点是第三象限抛物线上一点，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为．
令，得，
，
，
线段 长为 ，
；
【小问3详解】
解：找点关于原点的对称点，连接，过点作于，
，，，
，，
，
，
，，
点关于原点的对称点，
，，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式是，
，
，
直线的解析式是，
点在直线上，也在抛物线上，
，
，
；
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加正确的辅助线是解题的关键．