2024年高考数学小专题特训:圆锥曲线的方程解答题
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这是一份2024年高考数学小专题特训:圆锥曲线的方程解答题,共21页。试卷主要包含了已知点,,动点满足关系式等内容,欢迎下载使用。
1.已知抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点任意作互相垂直的两条直线,分别交曲线于点A,B和M,N.设线段,的中点分别为P,Q,求证:直线恒过一个定点.
2.已知椭圆,离心率为,两焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,且的周长为8.
(1)求椭圆的方程;
(2)圆的切线交椭圆于两个不同点,交轴于点,且,求面积的最大值.
3.已知抛物线的准线为,过抛物线上一点向轴作垂线,垂足恰好为抛物线的焦点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)设与轴的交点为,过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点.记直线的斜率分别为,若,求直线的方程.
4.设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是.
(1)求动点的轨迹方程,并说明轨迹的形状;
(2)当时,记动点的轨迹为,动直线与抛物线相切,且与曲线交于点,.求面积的最大值.
5.已知椭圆的长轴长为2a,焦点是、,点到直线的距离为,过点且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段的长.
6.已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点,且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度;
(2)求顶点的轨迹方程.
7.椭圆的左、右顶点分别为A,B,过左焦点的直线与椭圆交于C,D两点(其中C点位于x轴上方),当CD垂直于x轴时,
(1)求椭圆的方程;
(2)记直线AC,BD的斜率分别为,问;是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
8.已知动点到直线的距离与它到点的距离之差为
(1)求点的轨迹方程,并写出焦点坐标和准线方程;
(2)若曲线的准线与轴的交点为,点在曲线上,且,求的面积;
(3)若过点的直线交曲线于两点,求证:以为直径的圆过原点.
9.已知点,,动点满足关系式.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)是过点且斜率为2的直线,是轨迹上(不在直线上)的动点,点在直线上,且,求的最大值及此时点的坐标.
10. 已知双曲线的右焦点为,渐近线方程为.
(1)求双曲线的方程.
(2)已知双曲线的左、右顶点分别为,,直线与双曲线的左、右支分别交于点,(异于点,).设直线,的斜率分别为,,若点在双曲线上,证明为定值,并求出该定值.
11.如图,双曲线的离心率为,实轴长为,,分别为双曲线的左右焦点,过右焦点的直线与双曲线右支交于,两点,其中点在第一象限.连接与双曲线左支交于点,连接分别与,轴交于,两点.
(1)求该双曲线的标准方程;
(2)求面积的最小值.
12.已知双曲线.
(1)求与双曲线有共同的渐近线,且过点的双曲线的标准方程;
(2)若直线与双曲线交于、两点,且、的中点坐标为,求直线的斜率.
13.已知为抛物线的焦点,为坐标原点,为的准线上的一点,线段长度的最小值为.
(1)求的方程;
(2)过点作一条直线,交于,两点,试问在准线上是否存在定点,使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
14.已知抛物线:上有一点,为抛物线的焦点,,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点向圆:(点在圆外)引两条切线,交抛物线于另外两点,,求证:直线过定点.
答案解析部分
1.【答案】(1)解:因为抛物线的焦点F为,
双曲线的渐近线方程为:,即,
则,解得,故抛物线的方程为:.
(2)证明:设A,B两点坐标分别为,,则点P的坐标为.
由题意可设直线的方程为,
由得,,
因为直线与曲线C交于A,B两点,所以,,
所以点P的坐标为.
由题知,直线的斜率为,同理可得点Q的坐标为.
当时,有,此时直线PQ的斜率,
所以直线PQ的方程为,整理得,
于是直线PQ恒过定点.
当时,直线PQ的方程为,也过定点.
综上,直线PQ恒过定点.
2.【答案】(1)
(2)解:由题意可设直线,
因为与单位圆相切,所以,
再由它们联立方程组得:,
消去y得:,
所以,
点Q到直线距离,
所以面积为,
当且仅当时取得最大值。
3.【答案】(1)解:由题意,
代入,
得,
,
抛物线的方程为.
(2)解:当直线的斜率不存在时,与题意不符,
所以直线的斜率一定存在,设直线的方程为代入到中,
,
设,,则,
,
所以直线的方程为.
4.【答案】(1)解:设 , 则
化简得 ,
当 时, , 轨迹为一条直线;
当 时, , 此时轨迹为焦点在 轴上的椭圆;
当 时, , 此时轨迹为焦点在 轴上的双曲线;
综上: 当 时, 轨迹方程为 , 轨迹为一条直线,当 时, 轨迹方程为 , 轨迹为焦点在 轴上的椭圆当 时, 轨迹方程为 , 轨迹为焦点在 轴上的双曲线;
(2)解:当 时,
当直线 斜率不存在时, 又与 相切, 故此时直线 , 此时 O, A, B 三点共线, 不合要求, 舍去, 设直线 , 联立 得
由 得 , 显然
联立 得, ,由 , 结合 , 解得 设 ,
则
设直线 与 轴交于点 ; 则 ,
则
将 代入得 ,
因为 , 令 , 则 ,
设 , 则设 , 则
当 时, , 当 时, ,故 在 上单调遥增, 在 上单调递减,故 在 处取得极大值, 也是最大值,
故 最大值为
5.【答案】(1)解:由已知且,解得.
则有,故椭圆方程为.
(2)解:直线l:,联立直线与椭圆方程,,
设,,则有,,,
则,所以长为.
6.【答案】(1)解:将椭圆方程化为标准形式为,
则,即
可得,故
(2)解:,
由正弦定理,得
即动点到两定点的距离之差为定值,
动点的轨迹是双曲线的右支,且,
故顶点的轨迹方程为.
7.【答案】(1)解:因为椭圆的左焦点为,
所以,将代入,得,
故,所以
解得,所以,
椭圆方程为.
(2)解:因为直线CD过点,且点C位子x轴上方,所以直线CD斜率不为0,设直线CD的方程为,联立消去x得,
方程的判别式,
设,由已知,
于是,
所以,
又椭圆的左顶点A的坐标为,右顶点B的坐标为(2,0),
所以,
因为,
所以,
所以
所以为定值,定值为3.
8.【答案】(1)解:设,点到直线的距离与它到点的距离之差为,所以点到直线的距离与它到点的距离相等,由抛物线定义可得点的轨迹方程为,其中焦点坐标为,准线方程为.
(2)解:由(1)可得,,因为点在曲线上,所以设,
因为,所以,
化简可得,又,所以.
(3)解:设过点直线方程为,联立,化简得,
,
设,所以,,
所以
所以以为直径的圆圆心为,即,
半径为
坐标原点到圆心的距为离,
所以以为直径的圆过原点.
9.【答案】(1)由椭圆的定义可知,又因为,根据求得
所以椭圆方程为:.
(2)设的坐标为,且满足
则直线;直线
联立得:,所以
设
则当时,所以
此时
10.【答案】(1)解:因为渐近线方程为,所以,即.
,,.
故的方程为.
(2)解:因为点在双曲线上,所以,即.
联立得.设,.
.,.
.
.因为,所以,所以.
.
故为定值,定值为.
11.【答案】(1)解:,,,
解得,,,双曲线方程是;
(2)解:由(1)可知,设,,则直线的方程为,
联立直线的方程与双曲线方程,消去,整理可得,
恒成立.
由韦达定理可得,,所以,,所以点.
根据已知可知,,所以,.
同理解得,
所以,,
直线的方程为.
由可得,;由可得,.
由A、D坐标可得直线的方程为,
则直线与y轴交点坐标为,所以.
所以,.
令,
则.
设,则,
当,即时有最小值,此时,(舍去负值).
所以,.
当且仅当即时取到最小值,此时.
12.【答案】(1)解:设所求双曲线方程为,
代入,得,
所以所求双曲线方程为
(2)解:设,,因为、在双曲线上,
得,
13.【答案】(1)解:依题意,为的准线上的一点,线段长度的最小值为,
所以,所以抛物线的方程为.
(2)解:抛物线的焦点,准线.
设,由于直线与抛物线有两个交点,所以直线与轴不重合,
设直线的方程为,由消去并化简得:
,设,
则
,,
,
若“直线与的斜率之和等于直线斜率的平方”,
则,
,
,
,
,
,
,,解得或,
所以存在符合题意的定点,的坐标是或.
14.【答案】(1)解:由已知得,且,
解得,∴抛物线的方程为.
(2)证明:由(1)知,设圆:
在圆外,,即;
当过点的圆的切线有一条斜率不存在时,即是圆的一条切线,则,
是过点的圆的另一条切线;
此时切线与抛物线有且仅有一个交点,不合题意;
设过点的切线方程为,
设两条切线的斜率分别为,,∴,
整理得,∴.
设直线方程为,代入的方程整理得,
设,,∴,,
∴,∴,即,
∴直线方程为,恒过点.
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